最值问题的分类例析

最值问题是初中数学中的一类常见的问题，无论是在代数还是在几何中都会出现.它也是各类考试中的热点问题，以其表现形式多样、内容涉及面广、知识综合性强等特点越来越受到命题者的关注.但许多学生在遇到此类问题时，感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维阻滞.为了让学生开拓思维，提高分析能力，使学生从畏难的情绪中解脱出来，在教学中教师应予以高度重视.下面笔者就对最值问题的分类以例题形式进行分析.

一、利用两点之间线段最短

例1如图1，正方体的棱长为5 cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1=55 cm.这里我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题.

实践应用（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为多少？

（2）如图3，圆锥的母线长为4 cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°.一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10 cm，底面圆的周长为32 cm，点A距离下底面3 cm.一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处，请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

解析（1）（2）将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；（3）作出点A关于CD的对称点A′，可构造直角三角形或利用相似三角形等有关知识，进而求出BA′=20 cm，即是所求.

（1）画图分两种情况：

①AC1=（5+5）2+62=136，

②AC1=（6+5）2+52=146，

因为146>136，所以最短路程为234 cm.

（2）如图6，连结AA1，过点O作OPAA1，

则AP=A1P，∠AOP=∠A1OP，

由题意，OA=4 cm，∠AOA1=120°，

所以∠AOP=60°.

所以AP=OA·sin∠AOP=4·sin60°=23.

所以蚂蚁需要爬行的最短路程的长为

AA1=43 cm.

（3）画图，点B与点B′关于PQ对称，

可得AC=16，B′C=12，

所以最短路程为AB′=162+122=20 cm.

说明若两点在同一平面图形中，可直接利用“两点之间线段最短”找准最短线段，直接求出线段的长度即可；若两点存在于立体图形中，则需要将其展开为平面图形，然后构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度.

二、利用轴对称性

例2一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

解析（1）该函数的解析式为y=-2x+4（过程略）.（2）设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC=PC′.所以PC+PD=PC′+PD≥C′D，

即C′、P、D共线时，PC+PD的最小值是C′D.

连结CD，在RtDCC′中，

C′D=C′C2+CD2=22.

易得点P坐标为（0，1）.（亦可作RtAOB关于y轴的对称三角形）

例3如图9，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.

解析A、C是定点，且在定直线MN的同侧，P为定直线上的动点.由圆的对称性可知，作点C关于MN的对称点必为D.易知AD的长即为PA+PC的最小值.可求得OE=3，OF=4，过点D作DHAB于点H，易求得DH=7，进而由勾股定理求得PA+PC的最小值为72.

例4如图10，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连结PB、PQ，则PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）.

解析PBQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和最小.类似例3可求最小值为5+1.

说明在近几年的中考中经常出现利用轴对称或构造轴对称来解决求两条线段和、三角形周长、四边形周长等一类最值问题.这类问题的依据即是“两点之间线段最短” .具体操作时往往需要学生通过轴对称变换来确定关键点或关键线段，从而求出与之相关的点的坐标或线段和的最值大小等.