浅谈在"鸡兔同笼"问题中数学模型的建构

摘 要："鸡兔同笼"问题是我国民间广为流传的数学趣题，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？下面就这个问题予以探讨。

关键词：鸡兔同笼 模型

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

一、1 如果笼子里都是鸡，那么就有35×2=70只脚，这样就多出94-70=24只脚

2一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是有24÷2=12只兔子。 35-12=23只鸡。

3那么笼子里有23只鸡，12只兔子。

4由此我们得出：（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数。 总头数-鸡数=兔数。

二、1如果笼子里都是兔子，那么就有35×4=140只脚，这样就少140-94=46只脚；

2一只鸡比一只兔子少2只脚，也就是有 46÷2=23只鸡， 35-23=12只兔子；

3所以笼子里有23只鸡，12只兔子。

4由此我们得出：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

三、方程法

随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。

第一种是一元一次方程法。

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

x=12

注：方程结果不带单位

从而计算出鸡数为 35-12=23（只）

第二种是二元一次方程法。

解：设鸡有x只，兔有y只。

则存在着二元一次方程组的关系式

x + y=35

2x+4y=94

解方程式可知兔子数为 y=12 则可计算鸡数为 x=23

那么在“鸡兔同笼”问题中数学模型是怎样建构的呢？

数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构（张奠宙语），一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型（顾泠元语）。

“鸡兔同笼”问题中数学模型应该属于结构型数学模型：建模与变式理论。

日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！我们看有这样一首民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二，几个人来几个狗？在这里猎人有两只脚其实就相当于鸡，而狗就相当于兔子。

看下面的例题：

例 全班一共有38人，共租了8条船，大船乘6人，小船乘4人，每条船都坐满了，大、小船各租了几条？

这样的题怎样解呢？其实在这里我们把解决“鸡兔同笼”问题的方法迁移到这里，问题就迎刃而解了。大船相当于兔子，小船相当于鸡，此题就可以改编如下：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有8个头；从下面数，有38只脚。兔子有6只脚，鸡有4只脚，求笼中各有几只鸡和兔？

解：（6×8-38） ÷（6-4）=10÷2=5（只小船）；8-5=3（只大船）

例：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子，自行车和三轮车各有多少辆？

在这道题里：三轮车相当于兔子，有3只脚，自行车相当于鸡有2只脚，解法如下：

（3×10-26） ÷（3-2）=4÷1=4（辆）；10-4=6（辆）

又如：1号、2号、3号选手进行比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。

（1）2号选手共抢答8道题，最后得分64分，她答对了几道题？

（2）1号选手共抢答10道题，最后得分36分，他答对了几道题？

（3）3号选手共抢答16道题，最后得分16分，他答对了几道题？

这道题依然与上述问题思路是一致的，只是兔子是10只鸡，鸡是 -6只脚，答对和答错的差值是10+6=16或10-（-6）=16

解：（1）（8×10-64）÷（10+6）

=16÷16

=1（道） （ 错的）

8-1=7（道）

（2）（10×10-36）÷（10+6）

=64÷16

=4（道） （ 错的）

10-4=6（道）

（3）（16×10-16）÷（10+6）

=144÷16

=9（道） （ 错的）

16-9=7（道）

鸡兔同笼问题的基本分析结束，类似的问题不外乎是在这个基本框架上的变化，都是可以通过简化、转变最终变成鸡兔同笼问题进行分析。通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”“大小船”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。指导学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“大小船“，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“4脚兔”变为“6脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。鸡兔同笼可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才显活力和魅力，也才能彰显其意义。

《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在小学阶段渗透数学建模思想已显得越来越重要。数学模型是对现实世界的某一特定研究对象，在作了必要的简化和假设之后，运用适当的数学工具，并通过数学语言提炼、表达出来的一个数学结构，如数学公式、数学概念、解题方法及某类知识的特征等。模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且是实现上述目的的基本途径。有了建模意识可以让我们对数学问题的把握更贴近本原，目光更长远。数学建模，是一种方法，是一种思想，更是一种观念，一种意识。