浅析数学中探索性问题的解题策略

摘 要： 数学中存在许多创新问题，需要我们去探索解决，探索性问题的解决对于提高思维能力具有重要的意义。作者结合自己的体会，谈谈探索性问题的解题策略。

关键词： 中学数学 探索性问题 基本类型 解题策略

探索是人类认识客观世界的过程中普遍存在的最生动的思维活动。思维方法可以分为两大类：一类有关探索发现的方法，叫合情推理；一类有关严格求解证明的方法，叫逻辑推理。

探索性问题与传统题型不同。传统题型给出已知条件，要求解出预定结果，或证明已经给定的结论。探索性问题可能条件不够完备，结论也不唯一固定，具有开放性，解题过程具有探索性。这类问题很难用我们经常用的观察与比较、抽象与概括、分析与综合、特殊化与一般化、直觉与演绎、猜想与推理、类比与联想等基本思维方法来解决。但这类问题对培养中学生独立解决问题的能力、自觉参与科学发现、数学创造性思维具有重要意义。由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，对方法的灵活性要求较高，题意新颖，解答者必须具有扎实的基础知识和较高的数学能力。从探索性问题的解答来看，现成的套路少，对观察、实验、联想、类比、猜想、抽象、概括、发现问题和分析问题的能力要求较高。就目前中学数学所涉及的探索性问题的解决，可以归纳一些一般的思维方法和一些常见的解题策略。高中数学新课标范围内的常见的探索性问题可以粗略地分为以下五种基本类型。

一、结论探索型

此类问题一般分为肯定型、否定型和讨论型三种。这类问题的基本特征是给出条件而无结论，或结论的正确与否需要确定，探索结论，而后证明结论。

例如：0.的分数表示是否存在，存在找出结果，不存在说明理由。

分析：根据有理数的知识，任何一个有理数都可以用（m，n为互质的整数）的分数形式表示，如0.＝，0.＝。但是0.的分数表示在各种参考书中都没有给出一个确切的回答，需要学生去探索，本文给出以下几种方法。

（1）用级数的方法分析0.的分数表示就是1.

0.＝+++…++…，+++…++…是一个收敛的几何级数，＝=1，或＝+=+=1.

（2）用有理数域对加、减、乘、除是封闭的，计算0.的分数表示也是1.

①令0.＝x，则10x-x=9，所以x=1.

②因为0.＝0.＋0.＝+=1

（3）关于其它有理数的分数表示.

①-0.=-（+++…++…）=-=-1

②4.的分数表示是多少？

解：令4.＝x

则10x-x=45

所以x=5

即4.9＝5

二、存在判断型

这类问题是在确定的题设条件下判断某一数学对象是否存在。解决这类数学问题的基本策略是，先假设需要探索的对象存在，以题设条件和这种假设为出发点进行数式运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则否定存在，如果不出现矛盾，则肯定存在，给出证明。

例如：存在两个实数a、b，A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m+15，m∈Z}，C={（x，y）|x+y≤144，是平面内的集合，讨论是否存在a和b，使得（1）A∩B≠?准；（2）（a，b）∈C同时成立。

分析：本题是存在性问题，可先假设存在a、b使（1）、（2）同时成立。为探索本题结论，可从其几何意义入手。

解：A为直线y=ax+b上x等于整数n时点的集合，B为抛物线y=3x+15上x等于整数m时点的集合.若A∩B≠?准，即存在a、b及整数p使ap+b=3p+15成立。其几何意义是点P（a，b）在直线L：px+y-（3p+15）=0上；集合C为圆面x+y≤144，（a，b）∈C的几何意义是点P（a，b）在圆O x+y≤144内部或边界上。因此C要使（1）、（2）同时成立，即要求P点在直线L上又在圆的内部或边界上，显然要求圆心O（0，0）到L的距离d满足d=≤12，所以（p3）≤0，而（p3）=0成立，因为p为整数，所以上式不能成立.故不存在a、b使（1）、（2）同时成立。

三、探索条件型

这类问题的外在形式是给出结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证，找到结论成立的充分条件。

例如：已知二次项系数为负值的二次函数f（x），对任何的x∈R，f（2-x）=f（2+x）总成立，当f（1-2x）与f（1+2x-x）满足什么条件时，才能使-2

分析：本题从结论中的二次函数自变量x的取值范围-2

解：由上述条件得到f（x）的对称轴是直线x=2，因此只需考虑两种情况：当f（1-2x）>f（1+2x-x）时，有1-2x>1+2x-x，即x+2x

四、探索规律型

这类问题的基本特征是给出若干具体的数、式、函数、不等式等，要求观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出一般规律，然后给出严格的证明。

例如：设数列{a}的各项为正数，前n项和为s=（a+），猜想a的通项公式并证明。

分析：n=1时，得a=1；n=2时，a=1；n=3时，a=。故猜想a=。

证明：用数学归纳法证明略。

五、想象构造型

这类问题的条件和结论都隐含，需要解答者从问题的条件出发，通过合理想象，巧妙构造出能反映问题本质的数学形象，并由此解决问题。

例如：设函数f（x）的定义域是全体实数，?坌x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且存在正数C，使f（）=0，试问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是说明理由。

分析：用想象构造法。

解：因cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，如是有f（x+c）+f（x）=f（x++）+f（x+）=2f（x+）f（）=0，所以f（x+c）=-f（x），f（x+2c）=-f（x+c），于是f（x+c+c）=-f（x+c）=-f（x），f（x+2c）=f［（x+c）+c］=-f（x+c）=-［-f（x）］=f（x），所以2c是f（x）的一个周期。

参考文献：

［1］数学分析.华东师大出版社.

［2］中学数学教学参考.陕西师大出版社.

［3］世纪金榜.2009.

［4］5年高考3年模拟.2009.

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