“分数”教材里一个没有解决的问题

人民教育出版社的五年级下册“分数的意义和性质”教材的开头，出现了一个画面。内容是有几个人用等距离打了结的绳子，测量一只箱子的边长。图边的文字提出了一个很有意义的问题：“剩下的绳子不足一节，怎么记？” 可惜的是，教材最后没有回答究竟如何用分数来表示这段绳子的长短。自己提出的问题却没有解答，不得不说是教科书的一个缺陷。

在数学上，这是问，一个小于单位1的量怎么表示？由此可以引出分数（或小数）。这是分数教学的根本目标之一。例如，日本2008年颁布的《数学学习指导要领》就强调：“分数是用于度量小于1的量”。本刊（小学版）2005年第8期刊有陈月兰的文章：《一个来自日本的分数教学案例带来的思考》。 其中就有如何测量一段“剩余长度”的实例。教例的过程是，以学生手中的教科书的长度作为单位1，如果三个“剩余部分”正好是一本教科书的长度， 那么这段“剩余部分”的长度是。由此阐明了学习分数的意义。

现在让我们来分析我国分数概念教学中的一个不足之处。

我国的分数定义是：“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。”这样的定义，必须要预先知道平均分为几份。但是许多情境是难以做到的。事实上，对一个平均分问题，有两种情形：

情形1：先知道“分几份”，然后问所分的那份结果的大小。这是用分数表示“整体里的一个部分有多大”。例如4等分月饼，问每块多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后问“该部分在整体中占多大？”。至于整体要平均分为几份，那是需要计算或测量的。

例如，一盒铅笔12支，现在取出3支，问取出的部分占整盒铅笔的多大的一部分？由于12包含了4个3（12÷3=4），所以3支恰好是12支铅笔平均分为4份之后的一份，答案也是。

这两类例子不可偏废。如果一提到分数就联想到等分月饼的模型，会限制人们对分数的理解。

让我们回到人民教育出版社数学教材中的那个例子。该情境要解决的问题是：在以一节绳子作为单位长度的前提下，用分数表示绳子剩余的那个“尾部”的长度。按照我国教材的分数定义，就必须预先知道要将一节绳子平均分为几份，并且知道尾部占其中的几份，才能写出那个分数。但是，问题情境里并没有给出这样的数据。因而这一问题不属于情形1，而是属于情形2。下一步怎么办？我们不得不通过试验加以测量。例如，如果一节绳长恰好是三个尾部之长，那么尾部长度就可以表示为三分之一；如果一节绳子包含三个“半截尾部”，那么尾部长度占一节的三分之二；如此等等。

通过以上的分析，我们可以看到，为了全面理解分数，知道“平均分为几份”的“分月饼”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不够的，我们必须熟练地掌握各种各样属于情形2的包含除例子。以下再举几例。

例1.一盒铅笔有15支。以一盒作为一个整体。如果我取出其中的5支，试问它占整体的几分之几？

这要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3个5。这就是说，如果将一盒铅笔平均分为3份，那么5支铅笔是整体的三分之一。如果我们取出其中的10支，同样用包含除（15÷5=3）知道15里包含3个5，因而将整体15支铅笔平均分为3份，每份是5支，两份是10支。这样一来，所取出的10支铅笔（作为整体的部分）是平均分为三份之后其中的两份，即占整体的三分之二。

例2. 我们班有35位同学。有5位同学参加书法比赛获得优秀奖。问我班有几分之几的同学获得此奖？

这也是情形2的问题。通过包含除，知道35里包含了7个5。现在如果将班级人数平均分为7份，每份是5人，所以获奖人数是全班人数的。

例3.在人教社数学教材五年级下学期的第64页中有“头部占身高的”这样的练习题。这也不单纯是平均分问题，而是问“占多少”的问题。实际上是在说：先规定了什么是头部高度，接着又算出了“整体身高恰好包含了8个头部高度”，所以“头部占身高的”。

例4.在前述用绳子度量箱子长度的例子中，如果我们知道了一节绳子是m厘米，“尾部“长度是n厘米。那么”尾部长度“是一节绳子长度的。

总之，分数的定义单纯用平均分的情形1作为引例进行概括，是不够的。过分强调，不求发展，将会带来呆板的思维定势。尤其因为“分数是整数之比”。以后分数的应用，多半会涉及部分与整体的比例关系，即情形2的问题。

这一现象似乎还没有引起广泛的注意，课程标准和教材也都没有充分关注。因而建议从理论和实践上进行研究，妥善处理。

（华东师范大学数学系 200062）