理解概念是关键

人教版数学教材三年级上册的“有余数的除法”是表内除法知识的延伸和扩展，教材安排了竖式格式学习、有余数除法意义理解以及有余数除法竖式学习三课时。“有余数的除法”作为除法笔算的起始课，理解概念应该是这一内容学习的前提。对此，笔者设计了如下教学过程。

一、 关注操作，突显概念的本质特征

“有余数的除法”是以表内除法知识作为基础来进行学习的。学生在实际生活中会有一些感性的认识和经验，但缺乏清晰的概念认识。因此，笔者有意识地联系学生已有的知识和经验，来沟通有余数除法和表内除法的关系，在具体情境中感知“有余数的除法”的意义。在引出新概念的同时，来揭示概念的发生和形成过程。

【片段一】

师（课件出示15个三角形）：一共有15个三角形，现在取其中的5个拼成一朵小花。想一想，15个三角形一共可以拼成几朵像这样的小花？

生：三朵。

师：你是怎么想的？

生：5个三角形拼成一朵，15除以5等于三朵。

师：你真能干，用一道简单的除法算式就表示出了你分的过程。

师：这里有19个三角形，静静地想一想，每5个拼成一朵小花，可以拼几朵这样的小花？如果换一个造型，每3个拼成一条小鱼。想一想，19个三角形又能拼出几条这样的小鱼呢？

师：有结果了吗？在你的练习纸上分别有19个三角形。请圈一圈，圈好后，试着用一道除法算式来表示出你分的过程。

师：看着你圈的图，对照你的算式，说说你是怎么分的？

生：这里有19个三角形，我把它们每5个圈一圈，最后多了4个。

师：那你呢？

生：我也是每5个圈一圈，多的4个是余数。

师：同学们，你们也是这样想的吗？让我们一起看着大屏幕再来分一分吧。（课件演示思考过程，帮助学生理解分到不能再分一份，所剩下的数就是余数）

师：剩下的4个三角形已经不能再拼成一朵花了。难怪刚才有些同学用了“余数4”来表示。

在理解“余数”意义的环节中，选择比较简单的圈图形的形式，更好地帮助学生进行知识和生活经验的迁移，通过“15个三角形，每5个拼成一朵花，能拼几朵”到“19个三角形，拼花（5个一朵）和拼鱼（3个一条）”引发学生的认知冲突。学生通过圈图等活动，用自己的方式表示出了分的结果。学生自主地把自身的活动经验内化为对有余数除法的理解，并从不同的角度充分感受“余数”的意义及“有余数除法”的意义。

二、 注重对比，揭示概念的内涵和外延

数学概念教学的根本任务就是正确揭示概念的内涵和外延。对于“有余数除法”的概念，不仅要准确地揭示它的内涵，而且要挖掘它的外延，使学生对概念的理解逐步完善。本节课，教师通过设置不同层面的分析、比较、归纳、概括等活动，让学生把握有余数除法的本质和规律，从而形成概念。

【片段二】

在学生初步理解4个三角形不能再拼成一朵小花，是剩余的数之后，教师又组织了“用3个三角形拼鱼”情况的讨论，教师用投影仪展示学生圈出的结果以及算式：19÷3＝6（条）……1（个）。

师：能说说你是怎么圈出拼小鱼的结果的？

生：我就是每3个圈在一起，圈出了六条，还剩下1个三角形。

生：我是想谁最接近19，18除以3等于6，那么就是六条，19比18还多1个。

师：你刚才提到了18，那么你能结合这幅图，说说18在哪里吗？你能在图上指一指吗？

师：也就是说19个三角形，用18个拼了六条小鱼，还剩下1个。让我们一起看着屏幕观察这个分的过程吧。

师：拼出一条小鱼，二条小鱼，三条小鱼，四条小鱼，五条小鱼，还能再拼吗？（课件出示３个三角形圈一圈，剩下4个三角形）

师：我有个小小的疑问。同样是剩下4个三角形，刚才拼花的时候，你们说剩下4不能再拼了，这会儿也剩下4个，怎么就还能再拼了呢？

生：因为拼小花需要5个三角形，剩4个三角形不足以拼成一朵小花，现在是拼小鱼，它是３个三角形拼成的，还能拼出一条小鱼。

师：你真厉害，一下子就找到原因了，掌声送给他。（课件演示只剩下1个三角形）

师：那现在还能再拼吗？

师（小结）：像这样拼到不能再拼出一份所剩下的数，在数学上它就叫做余数。

师：数学上，我们还用了一个专门的符号来表示。

生（接）：省略号。

师：那么这个算式就可以改成19÷5=3（朵）……4（个），读作：１９除以5等于3朵余4个。表示把19个三角形，每5个拼成一朵小花，拼成了三朵，还多了4个三角形。

师（指着拼小鱼的题）：你能按照我们的分法把这道有余数的除法写出来吗？请再次修改你的算式。写好算式的同学可以和你的同桌说一说，这个算式表示的意思。

教师通过不同的分类，让学生感受到“分到不能再分一份”或“不够每份再分一个”所剩下的是“余数”。教学中设置了三次不同层次的对比分，引发学生对余数的思考，直击余数和除数的关系，也再次感受到“只有分到不能再分一份”的时候才是余数。这样，经过几次不同层面的对比、分析和概括之后，学生对有余数除法的内涵和外延都有了更深刻的认识，并为后续学习打下了良好的基础。

三、 呈现过程，理解竖式的表达方式

对“有余数的除法”竖式的计算格式以及竖式意义的理解，是本课的教学难点之一。那么在教学中是否可以通过加强“分的过程”与“竖式”之间的联系，帮助学生理解竖式各部分的意义？

【片段三】

讨论的问题：19个三角形，平均分给6个小朋友，结果会怎样？

学生操作思考，并写出算式，口头交流计算结果和思考过程以后，交流的重点指向对竖式的写法与意义的理解。

师：其实，在数学上，可以用一道除法竖式很清楚地表示出这个分的过程，想试试看吗？

（学生尝试用竖式表示出分的过程，教师巡视，并选择学生不同的表示方式进行板书）

师：我发现同学们大致会用两种表示方法。说说你的这道竖式是怎样表示出你分的过程的？

生：我是想19个三角形平均分给6位小朋友，每位小朋友分到3个，还剩1个。

师：你是把横式竖着来表示，对吧？挺有想法的。

师：那你能结合图形，说说你的竖式是怎样表示出分的过程的？

生：19个三角形，平均分给6个小朋友，就除以6，每个小朋友分到了３个，三六十八，19减18等于1。

师：谢谢你。同学们，对比这两个竖式，你觉得谁更能表示出分的过程？

生：第二个。

师：为什么？它好在哪？

生：多了18。

师：那18是从哪里来的？

生：三六十八。

师：那这个18表示什么意思？可以结合拼图仔细想一想，再回答。

生：18是分完的三角形。

生：19减18很容易就算出剩下1个三角形了。

生：19个三角形，平均分给6个小朋友。

师：19就是要分的总数，也就是被除数，平均分给6个小朋友，６这个位置是除数。

师：这个竖式究竟是怎么写出来的呢？这位小老师，你说，我来写。（示范写竖式并练习）

师：比较横式和竖式，哪一个更能表示出分的过程？

生：竖式。

师：是呀！所以当人们遇到被除数或除数比较大的时候，就会利用列竖式的方法来帮助计算。你能在这个横式中找到隐藏的18吗？

生：3乘6等于18。

事实上，复杂计算通常会被分解，而竖式就是按一种程序计算并把中间结果记录下来而得到的形式。可以说，竖式就是一种简洁有效的表达方式，它是意义转化为方法的有效载体，既是方法，更是概念。因此，理解每一步、每一个数的意义，是掌握方法、正确计算的前提。

（浙江省杭州市采荷第二小学 310016）