复合电场中曲线极值的研究

摘 要： 本文作者结合自身的教学实践，介绍了复合电场中曲线极值的研究。

关键词： 复合电场 曲线 极值

运动的合成与分解是研究复杂运动的重要方法，在研究比较复杂的运动时，常常采用分解的方法，将运动看做是两个或几个比较简单的运动组成的，使问题容易得到解决。在应用分解的方法时注意运动的独立性原理，这是物体运动的一个重要特性，即一个物体同时参与几个运动，各个运动都可看做是独立进行的，它们互不影响。

微元法是分析连续过程积累的一种重要方法，其精髓就是把确定的研究对象分割为无限多个无限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，从而认识整体或全过程的性质和规律。这实质上是从复合到单一，从单一到复合的分析与综合思维方法。

在高中专题复习中常遇到复合场的极值问题的求解，如最远距离，磁感应强度的最大值，等等，通常均可利用分解的方法和微元法来加以分析和探究。

例1：在空间有相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B，一电子从原点释放，求电子在y轴方向前进的最大距离。（不计电子所受重力，已知电子电荷为e，质量为m）

分析：对电子在任一位置的受力进行分析，电子受到竖直向上的电场力eE及与速度垂直的洛伦兹力Bev。将电子的速度分解为水平方向的速度v和v竖直方向的速度，同时将洛伦兹力也分解为水平方向的作用力和竖直方向的作用力。而水平方向的洛伦兹力是由于竖直方向的速度产生的，竖直方向的洛伦兹力是由于水平方向的速度产生的。因此水平方向的洛伦兹力为Bev，而竖直方向的洛伦兹力为Bev。

由牛顿第二定律得：eE-Bev=ma；Bev=ma。

因此由微元法得：Bevt=mat。故有∑Bevt=∑mat。

设电子到达最高点时的速度为v，即Bey=mv=mv。全过程中只有电场力做功，根据动能定理得：eEy=mv。由以上各式得：y=。

点评：很多学生看到本题，第一感觉是无从下手，题目求解的是位移极值，而速度包括两个方向的速度分量都是变量，显然不能使用常规的位移公式求解，到此似乎已走投无路。然而根据综合电场力和洛伦兹力的受力特征，不难发现两个方向都有牛顿第二定律的表达式，把ma表达成m，那么利用vt的微元累积获得y，至此思路迅速柳暗花明。

例2：空间匀强电场的场强大小为E、方向沿着y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面指向纸内。有一质量为m、电量为q的带正电的粒子（不计重力），从O点出发开始计时，沿x轴正方向以初速度v=射入场区。求：

①带电粒子能够到达离轴最远的距离。

②从开始到t=的时间内，粒子沿x轴运动的距离。

③在t=时刻撤去电场，粒子在以后的运动中，还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k为已知常数）。则电场撤去后粒子还能发生的位移大小。

分析：带电粒子在复合场中的运动可看成是两个分运动的合运动，一个是沿x轴正方向以速度v做匀速直线运动；一个是在xOy平面内受洛伦兹力作用以速率做匀速圆周运动。由

Bqv=qE?圯v=，v=v-v=。

①设带电粒子以速v在磁场中做匀速圆周运动的半径为R。

由Bqv=m?圯R==。

②从开始到t=的时间内，粒子沿轴运动的距离s=vt=。

③带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=，当t==T时，带电粒子恰好回到x轴处，分运动的速度v与v的方向相同，此时带电粒子的速度仍为v，方向沿x轴正方向。撤去电场后，洛伦兹力与阻力始终垂直。设某瞬时的速度为v，加速度为a，根据牛顿第二定律：

=ma，

即a=。

取微小时间t，速度变化量为：

v=at=t=vt，

即vt=。

则电场撤去后粒子还能发生的位移大小：

s=∑vt=∑。

点评：本题巧妙地把v=分解成两份的水平分速度，一份实现了竖直方向的受力平衡，即水平方向做匀速直线运动；而另一份则用于完成匀速圆周运动，两个方向的分运动互相独立。

例３：两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U。同时，在这两板间还有方向与均强电场正交而垂直纸面向外的均强磁场。一束电子通过左侧带负电的板上的小孔，沿垂直于金属板的方向射入。为使该电子束不碰到右侧带正电的板，问所加磁场的磁感应强度至少要多大？

解析：在电场力和洛伦兹力的作用下，进入两板间的电子，初速度为零。设想此时电子具有沿竖直方向的速度正负，合为零，正速度所引起的洛伦兹力正好与电子在两板间所受的电场力相平衡。

照此设想，电子在其后的运动过程中将受三个力，这三个力所相应的加速度引起电子速度的改变。它和原来电子向下运动的速度的合成正是一种匀速率圆周运动模式，而电子向上运动这个分速度没有改变，也就是说它所引起的洛伦兹力的电场力始终保持平衡。于是，电子的运动结合起来，可视为是一个速率为v的向上运动和一个速率为v的匀速圆周运动的合成。

点评：本题同样有多种分析解法，巧妙地利用洛伦兹力不做功的特点，并采用牛顿第二定律在y方向进行微元累积，从而获得相对应的临界条件；也可巧妙地将粒子的运动分解成在同一平面内的匀速圆周运动与匀速直线运动的合成，在y方向引入+v和-v，使电子受到+v引起的洛伦兹力与板间的电场力相平衡，即向上匀速直线运动，而-v实现竖直平面内的匀速圆周运动，即巧妙地运用了运动的合成与分解知识来处理该复杂的运动过程。

以上几道例题都是带电粒子在复合场中做曲线运动的典型例题。从中我们不难发现，对于曲线运动，一般采用分解的方法处理问题。而利用运动的分解和微元法求曲线运动中的最值问题，正是这类题型的亮点和难点，也充分考查了学生综合分析能力、逻辑推理能力、探索能力和严谨的程序思考能力，以及独创能力，是一类综合性很强的试题，值得老师和学生认真研究和思考，从而达到举一反三的目的。

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