构建一次函数解题

【前言】构建一次函数解题由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。(3)求小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式. (4)设想小明相遇拿到课本后,改由父亲骑车送小明前往学校,小明还会迟到吗?若会,迟到几分钟;若不会,能提前几分钟到校? 分析:结合题意可知,小明与父亲相向而行,根据函数图象可知点A的意义是两人相遇,由此便可得出小明...

在近几年的各地中考试题中,一次函数的模型与应用深受命题者的青睐和关注,这类试题的信息容量大,背景丰富,一般以表格、图象、文字等形式表达出来.

一、从生活情景中构建一次函数

例1某天早晨,小明到校后发现忘记带数学课本了,一看表,离上课还有20分钟,他立刻步行返回家中取书.同时,小明的父亲发现小明没带课本,带上课本立即以小明步行速度的2倍骑车赶往学校.两人在途中相遇,小明拿到课本后按原速步行回校,到学校时发现迟到了4分钟,图1是父子俩离校的路程s(米)与所用时间t(分)之间的函数关系图象,请结合图象回答下列问题:

(1)小明家离学校多远?说出A点的实际意义.

(2)两人相遇处离学校多远?

(3)求小明父亲前往学校的路程s与时间t的函数关系式.

(4)设想小明相遇拿到课本后,改由父亲骑车送小明前往学校,小明还会迟到吗?若会,迟到几分钟;若不会,能提前几分钟到校?

分析:结合题意可知,小明与父亲相向而行,根据函数图象可知点A的意义是两人相遇,由此便可得出小明的路程+父亲的路程=2880米. 求出两人的速度,进而计算出相遇时离学校的距离,从而确定A点的坐标,再利用待定系数法求出小明父亲前往学校的路程s与时间t之间的函数关系式.

解:(1)小明家离学校2880米,A点的实际意义是父子两人经过12分钟相遇.

(2)设小明的速度为x米/分,则小明父亲的速度为2x米/分,得12(x+2x)=2880.

解得x=80,所以两人相遇处离学校12×80=960米.

(3)设s=kt+b,过点(0,2880),(12,960),

得b=2880,12k+b=960.

解得b=2880,k=-160.即s=-160t+2880.

(4)令s=0,即-160t+2880=0,解得t=18.

又18

点评:本题以发生在同学们身边的事情为背景,解题的关键在于将现实生活中的实际问题转化为数学模型,建立方程、函数、不等式等.

二、从表格中构建一次函数

例2某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱,这两种饮料每箱的进价和售价如下表所示.设购进A种饮料x箱,且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为y元.

(1)求y关于x的函数关系式?

(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润.(注:利润=售价-成本)

分析:由表格中的信息可以得到A、B两种品牌饮料每箱的利润,再根据它们的数量求出总利润,进而利用函数的性质求出最大利润.

解:(1)y=(63-55)x+(40-35)(500-x)=3x+2500,即y=3x+2500(0≤x≤500).

(2)由题意,得55x+35(500-x)≤20000, 解这个不等式,得x≤125.

当x=125时,y最大值=3×125+2500=2875(元).

该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时,能获得最大利润2875元.

点评:此类题目往往取材于日常生活中的事件,由表格中的信息通过分析整理得到函数关系式,并运用它解决实际问题.解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据.

三、从图象中构建一次函数

例3 A、B两座城市之间有一条高速公路,甲、乙两辆汽车同时从这条路两端的入口处驶入,相向而行,并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城,乙车驶往A城,甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系如图2所示.

(1)求y关于x的表达式;

(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶,设行驶过程中,两车相距的路程为s千米,请直接写出s关于x的表达式;

(3)当乙车按(2)中的状态行驶与甲车相遇后,速度随即改为a千米/时并保持匀速行驶,结果比甲车晚40分钟到达终点,求乙车变化后的速度a,并在图2中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数图象.

分析:在(1)中由图象可知y是x的一次函数,并通过点(0,300)、(2,120),于是可以求出y关于x的表达式;在(2)中,利用两车相遇的数量关系可得出s关于x的表达式;在(3)中要求乙车变化后的速度a,关键是要求出两车相遇时的时间及相遇后乙车到达终点所用的时间.

解:(1)由图可知y是x的一次函数,设y=kx+b.

图象经过点(0,300),(2,120),

b=300,2k+b=120.解得k=-90,b=300.

y=-90x+300.

(2)s=-150x+300.

(3)在s=-150x+300中,当s=0时,x=2.

即甲、乙两车经过2小时相遇.

在y=-90x+300中,当y=0时,x=■.

所以,相遇后乙车到达终点所用的时间为■+■-2=2(小时).

乙车与甲车相遇后的速度a=(300-2×60)÷2=90(千米/时).

乙车离开B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数图象如图3所示.

点评:解决此类问题一是要能深刻理解题意,二是要准确“识图”,从图象中获取有效信息进行加工处理.

四、从实际问题中构建一次函数

例4某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块,A型板材规格是60cm×30 cm,B型板材规格是40cm×30 cm.现只能购得规格是150cm×30 cm的标准板材,用一块标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:(图4是裁法一的裁剪示意图)

设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张,且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.

(1)上表中,m=,n=;

(2)分别求出y与x和z与x之间的函数关系式;

(3)若用Q表示所购标准板材的块数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?

分析:用字母或式子表示相关的量,利用所给板材规格数量列成等式,从而得出有关y与x和z与x的函数的关系式.再根据实际问题中的数量关系得出Q与x的关系式,运用相关函数的性质进行分析,从而解决实际问题.

解:(1)0 ,3.

(2)由题意,得

x+2y=240,y=120-■x.

2x+3z=180,z=60-■x.

(3)由题意,得Q=x+y+z=x+120-■x+60-■x.

整理,得Q=180-■x.

由题意,得120-■x≥0,60-■x≥0.

解得 x≤90.(注:事实上,0≤x≤90 且x是6的整数倍)

由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小,此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.

点评:本题的关键是要弄清题意,挖掘出图表中提供的信息,正确运用相关知识和方法来分析和解决所提出的问题.

五、从动态几何图形中构建一次函数

例5 如图5,点A、B在直线MN上,AB=11厘米,A、B的半径均为1厘米.A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,B的半径在不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).

(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)

与时间t(秒)之间的函数表达式;

(2)问A出发后多少秒两圆相切?

分析:在(1)中A以每秒2厘米的速度自左向右运动的过程中,AB之间的距离存在两种情况,当0≤t≤5.5时,距离会由11变得越来越小;当t>5.5时,AB之间的距离就会由0变大.在(2)中两圆相切存在着外切和内切两种情况,A自左向右运动的过程中会发生四次相切的情况.

解:(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;

当t>5.5时,函数表达式为d=2t-11.

(2)两圆相切可分为如下四种情况:

①当两圆第一次外切时,由题意,可得11-2t=1+1+t,解得t=3;

②当两圆第一次内切时,由题意,可得11-2t=1+t-1,解得t=■;

③当两圆第二次内切时,由题意,可得2t-11=1+t-1,解得t=11;

④当两圆第二次外切时,由题意,可得2t-11=1+t+1,解得t=13.

所以,A出发后3秒、■秒、11秒、13秒两圆相切.

点评:解决动态问题的关键是抓住运动变化过程中暂时静止的某一瞬间,进行观察联想、猜测分析、归纳总结,寻找出变量关系式,从而使问题得到突破和解决.