例析全等三角形开放型试题

三角形全等需要的条件比较多，判断定理也多，解决问题的途径具有多样性，因而成为中考开放题型最为常选的内容之一。此类题目重点考查学生的探索能力，能较好地培养学生的创新精神。下面举例分析此类试题的解法，以开阔学生的视野，创新学生的思维。

一、添加条件型

此类题目常告诉学生要求的结论，由自己添加条件或者从题中所给定的已知条件去选取，然后再根据选取的条件证明结论。

例1 如图1，已知:AB∥DE，且AB＝DE。

(1)请你只添加一个条件，使ABC≌DEF，

你添加的条件是[CD#4]。

(2)添加条件后，证明ABC≌DEF。

思路分析：由于AB∥DE，则可得∠B=∠DEF。因为AB＝DE，所以ABC和DEF中分别有一个角与一条边对应相等。

故在ABC DEF中，只需找一组对边BC=EF(SAS)构成全等；或者找一组对角∠A=∠D(ASA)构成全等，也可以是∠ACB=∠DFE(AAS)构成全等。另外,对应边相等也可以是证明上述条件成立的条件，如BC=EF，BE=CF,相对来说，前面的用来证明ABC与DEF全等更显而易见。

解：(1)可从下列条件：BC＝EF，BE＝CF，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，AC∥DF，任选其中一个填上。

(2)以∠A＝∠D为例证明。

AB∥DE，

∠B＝∠DEF。

∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠DEF，

ABC≌DEF(ASA)。

评注：以上只选取其中的一个条件进行证明，还有更多的方法供大家选择，同学们在课余闲睱时不妨用其他条件进行证明。

[TP5-n2.tif,BP][TS(1*2][JZ][HT6H]图1 图2[TS)]

[TP5-n3.tif,BP][TS(1*2][JZ][HT6H]图3 图4[TS)]

二、选择条件型

例2 在一次数学课上，李老师在黑板上画出如图2所示的图形，并写下了四个等式：①AB＝DC,②BE＝CE,③∠B＝∠C,④∠BAE＝∠CDE,要同学们从此四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形，请同学们尝试去做，并说出其中的理由（写出一种即可）。

已知：[CD#4]，

求证：AED是等腰三角形。

证明：[CD#4]。

思路分析：要证明AED是等腰三角形，则需证明AE＝DE,从而只需要证明ABE≌DCE。根据三角形全等的条件，结合图形可知，已有∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，故还需要选择的条件为①③,或①④,或②③,或②④。现以①③为例进行证明。

已知：①AB＝DC,③∠B＝∠C。

证明：在ABE和DCE中，

∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，

ABC≌DEF(AAS)，

AE=DE,即AED是等腰三角形。

评注：以上只选①③为例进行证明，同学们可以选另外三组条件进行证明，以开阔自己的视野。

三、结论开放型

例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图3所示的位置，图4是简化出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连结DC。

(1)请找出图4中的全等三角形，并给证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）。

(2)证明DCBE。

思路分析：观察图形，由题设知，ABC和AED是两个大小不同的等腰直角三角形，那么AB＝AC,AE＝AD, ∠BAC＝∠EAD＝90°，从而联想到ABE≌ACD。

解：(1) ABE ≌ACD。

证明如下：

ABC与AED均为等腰直角三角形，

AB＝AC,AE＝AD, ∠BAC＝∠EAD＝90°。

∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE,

即∠BAE＝∠CAD，

ABE≌ACD(SAS)。

（2）证明：由ABE≌ACD，∠ACD＝∠ABE＝45°,

∠ACD＝45°,

∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，

DCBE。

评注:开放型题目，条件和结论不确定，但它们之间又有一种必然的、内在的联系，要完成此类题目，必须认真分析已有条件，结合图形，找出合理的补充或选择条件，再得出由这些条件可导出的结论，然后进行证明即可。

（作者单位：河南省获嘉县城关镇大西关学校）