全等图形概念透析

在我们的生活中存在着大量的全等图形，如课本上提供的窗花、邮票等图案.数学中的几何图形有的形状相同，大小不同；有的大小相同，形状不同；也有的形状、大小都不相同.若两个几何图形的形状、大小完全相同（即能够完全重合），则称这两个图形是全等的图形.两个图形能不能称为全等，就是要看这两个图形叠放在一起能不能完全重合.若能，则可称为全等；若不能，哪怕有一点儿不能重合，那么就不能称为全等.

举个例子，倘若某人的私章是正方形的，那么盖出来的图形都是一模一样的正方形；学校的公章是圆形的，盖出来的图形都是形状、大小一样的圆形；假如印章制成三角形的，盖出来的图形就是全等的三角形.两个图形能不能全等，与图形之间的位置无关，如图1所示的两个图形能够完全重合，就可称这两个图形全等.

一、全等三角形的定义和性质

（1）能够 的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的对应边 ，对应角 .

特别要提醒大家注意几点：1.全等三角形的性质中，三角形全等是条件，对应角、对应边相等是结论；2. 学习三角形全等概念，关键是理解各种对应关系，利用性质，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边和对应角.在写两个三角形全等时，一定要把对应顶点的顺序写一致，以方便、准确地找到对应边和对应角.

例1 如图2，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PQO≌NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）.

A.PO B.PQ

C.MO D.MQ

【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，题目以“≌”符号连接两个三角形全等，各个对应位置上的字母表示的点就是对应顶点，两个对应位置上的字母表示的线段形成对应边.所以，本题中只需把实际问题转化为三角形全等问题，运用三角形全等的性质即可解决.

二、一般三角形全等的判定方法

（1）“边角边”即“SAS”，两边和它们的 的两个三角形全等.

（2）“角边角”即“ASA”，两角和它们的 的两个三角形全等.

（3）“角角边”即“AAS”，两角和其中一角的 的两个三角形全等.

（4）“边边边”即“SSS”，___________相等的两个三角形全等.

需要注意的是，有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等（即边边角），如图3，在ABC和EFG中，AB=EF，AC=EG，∠B=∠F，但这两个三角形不全等.

例2 已知：如图4，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求证：BC=ED.

【分析】俗话说：“证相等找全等.”要证BC=ED可由证明ABC≌CED得到，结合已知条件：AB=CE，AC=CD，只需找其夹角相等即可，而该条件可由AB∥CD得到.

【点评】根据题目已有的条件，寻找三角形全等所缺的条件，体会“边角边”的判定方法，在证明三角形全等后并能运用全等的性质解决问题.同时，按照“由已知想可知，由未知想需知”的思路，思考由条件出发，能得到什么结论，由结论出发，需要什么条件，前后能否互相衔接，形成证明思路.学习过程中，经常以此思路进行分析，定能不断提高分析问题和解决问题的能力.

三、直角三角形全等的判定方法

（1）利用一般三角形全等的判定方法都能证明直角三角形全等.

（2）“斜边、直角边”即“HL”， 对应相等的两个直角三角形全等.

例3 如图5，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：（1）BC=AD；（2）OAB是等腰三角形.

【分析】（1）由题意可知，ABD和BAC均为直角三角形，且有一组直角边对应相等，结合两三角形有一公共边，可用“HL”判定两个直角三角形全等，从而证得BC=AD；另外也可运用勾股定理，分别求BC、AD，得它们相等.（2）运用（1）中结论BC=AD，可再证AOD≌BOC（AAS）得到OA=OB，得OAB是等腰三角形.此外，也可考虑运用（1）中的全等证得∠CAB=∠DBA获得结论.

【点评】本题重点考查了直角三角形全等的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，属于难度较小的基础题，必须熟练掌握.需要提醒大家注意的是，在书写证明过程时，我们一定要注意前后的因果联系，说理时，条件一定要“到位”，千万不要因为题目中有条件，在说理中就可以不写，如本题中的直角三角形应由条件ACBC、BDAD得到，如果不写，那么下结论时，就显得条件不够充分，从而不具有说服力.

四、角平分线定理

如果题目的条件中给出一个角和它的角平分线，在其平分线上任取一点，并过该点作两边的垂线段，结合隐含条件（公共边），可通过“角角边”的判定方法判定两个三角形全等，得出角平分线定理：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.

例4 如图6，OP平分∠MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）.

A.1 B.2 C.3 D4.

【分析】当PQOM时PQ最小，结合角平分线定理可知：PQ=PA=2.

【点评】角平分线定理实际上就是由三角形全等得到的一个结论，掌握定理的关键是抓住角平分线和距离（垂直）.在说理时，要尽量做到条件充分、条理清楚，切不可直接由角平分线就得出结论，一定要由角平分线和两个垂直得到结论.

同学们在本章内容的学习过程中要做好以下几点：（1）在表达两个三角形全等时，要注意对应顶点应写在对应的位置上；（2）在运用全等三角形的性质时，要理解全等三角形的对应边相等，对应角相等；（3）在运用全等三角形的判定进行证明时，要注意分析题中的已知条件和结合图形及图形中的隐含条件进行思考；（4）在对两个三角形下全等的结论时，一定要在条件充分的前提下才能进行；（5）在探索三角形全等的条件时，同学们还要注意两条性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.

学好本章内容，同学们一定要注重经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，注重有条理地思考和表达，逐步学会说理，使说理做到有理有据，真正理解推理的过程.只有这样才能真正掌握全等图形的相关概念，做到理解透彻、运用灵活、证明到位.