浅谈初中数学教学中学生概括能力的培养

中图分类号：G4　文献标识码：A　文章编号：1008-925X(2011)05-0227-01

数学概括是一种特殊的概括，这种能力是在数学、符号和图形范围内的概括能力，她是求同、求异、比较、联系，不断综合的过程，例如，学生掌握整数、分数的知识后，可以概括归纳有理数，使概念扩大，学生了无理数之后，又可把有理数和无理数概括为实数，从而掌握系统的数学知识。

一、培养概括能力的意义

1、学生接受的知识主要是已经概括的间接的数学知识，但这些知识必须经过学生自己的数学活动，进行分解，理解，内化才能转化为自己的知识。

2、对数学教材的概括，在对知识的概括过程中，学生会发现知识的漏洞，查陋补缺，从而在概括以后，对知识的总体有一个完整地的认识。只有具有系统虾的知识结构，才能真正融会贯通地理解知识。

3、学生通过概括，把所学内容虾成知识网络。其中理解、分析的过过程都省去或用符号代替了。几十页，几百页书上的内容完整地呈现在一张纸上，一目了然，便于复习和应用。比如，学完了圆，对初中圆的知识进行总体概括，就不致于对“圆”望而生畏了。

(1)角的定理：圆心角、圆周角、弦切角、弧、弦、弦距的关系。

(2)垂径定理：弦、弧、半径、边心距――解直角三角形――正多边形、边、圆心角、半径、边心距、周长、面积。

(3)点、线、圆与网的位置关系：圆幂定理。

4、概括对学生心理起着重要作用。如记忆，人脑只能在短期内储存有线信息，为了减少记忆负担，必须对知识加以组织，知识间的联系越合理，互相联系程度越高，就越有利于形成知识组块，有助于记忆，提取，再生。而数学的记忆不具有自己的特性，数学记忆的本质在于对典型的推理与运算模式的概括的记忆。有能力的学生的数学记忆，在数与字母符号方面是具有概括性和运算性的，它与概括的智力模式及关系的保持是迅速再现的关系。记忆有明显的选择性，它只能以概括和简略的形式保持信息。试想：如果每个公式，概念及其推广都要作为一个结论去记忆，那么推广的越多，记忆的负担就越重了。

对知识进行概括以后，对学生的解题心理状态也有很重要的影响。学生在概括知识内容后，知识结构就完整地没有遗漏的呈现出来，心理上就会有一种整体感和踏实感。觉得一点东西都是自己学过的，即使出现异样，人家也是如此，则可以充满自信的把题目分解，类比成已知的知识，从而把题目做完整。而不至于认为人家有办法而自己的不知道以至于中途放弃解题，实践中往往有学生在老师分析答案时就大叫：“我也是这么想，可惜就是没做到底。”

5、归纳、概括数学知识是指在接触较多材料和类比材料的关系后提炼出来的，它把知识的本质联系提取出来了，这样就有利于时行变式训练，而不至于要通过题海战术达到“熟能生巧”的目的的。

二、概括能力的年龄特点

从初中数学来分析，概括能力可以分为三级水平：一级水平是数字概括：二级水平是形象抽象概括，开始了解代数概括但仍需要具体的经验帮助理解数学知识：三级水平根据假定进行概括，完全抛开算术的框图进行运算、定理、公式等形式的运算成为理解数学概念的主要手段。

三、概括能力的体现方式

1、对数学教材的概括。学生数学知识的获得本身也是一个数学活动的过程。为了获得一个新的数学概念，首先要对具体事例进行选择，这种选择要能有助于概括出形成概念的本质属性。同时对这些概念的比较，有比较才有鉴别，才能产生概括。这种比较包括相对概念的类比，同类事物的比较，易混淆概念的比较等。通过比较，判断哪些属于基本属性，哪些属于非基本属性，把这些本质属性从中分离出来，进行整理，以建立正确的数学概念。更高层次概括，是对概念进行结构整理，以形成一个知识体系。

2、对计算、推理、论证方式的概括。从计算来讲，一种计算方法实际就是一个概括，对解题程序，技巧、方法及解题思想的概括也是按不同层次水平进行的。首先是对适用于一类的题的解法通性的概括，如对二次方程的解法，对根式方程、分式方程、方程组的解法……。在这些解法的通性中可以概括为更一般的数学方法，它可以适用更广泛的数学领域，如换元法、配方法、待定系数法……，而这些方法则是更高层次数学思想的体现，这样层层递进的概括，以至形成强烈的数学意识，这种过渡也是从“外部的要求”向“内部的要求”的过渡。

3、对解题规律的概括。让解题规律的概括成为学生学习活动的一项重要内容。数学是用数学符号语言对周围客观世界的空间形式和数量关系进行的概括。学生对解题规律的概括，总结则是一种特殊的概括，要求学生在解题后，进一步把特例纳入一个已知的更一般的范围，加深对已知的有关规律的认识或从孤立，特殊的解法中，看出一般尚未为他人所知的规律，由特殊到一般。让学生概括解题规律是十分有益的，它对提高学习效率，提高学生解题方法和解题速度，发展概括能力，促进思维向更高层次发展有着重要作用。有些教师担心强调对解题规律的概括、总结会造成一种限制学生思维，不利于学生思维品质优化心理定势。这种担心不无道理，关键在于如何正确的去概括、总结解题规律。实际上，整体数学教学的目的之一就在于建立符号思维要求的具有数学方法论意义上的心理定势。这种观念系统的重要组成部分是数学思维能力的具体体现，是数学素养的重要标志，使学生终身受益。

4、对题型的概括。如：对应用题类型的概括：工程问题、行程问题、浓度问题、配比问题、数学问题等。

四、养概括能力的方式

1、正面突出对学生概括能力的要求。按学生的年龄特点先给予示范，学生模仿，然后要求学生随时进行概括，并养成习惯。如要求学生每堂课后概括所学内容，每一章后概括，归纳知识点、题型，期中、期末考试前对所学内容要求的渗透。

2、抓住典型题目。在学生最需要或者最渴望寻找统一规律(“万能公式”)时进行概括能力的培养是最好的机会。让他们体验概括能力的迫切需要，让他们尝到题目概括后的甜头和成就感。

3、概括过程是一个类比、分析、综合的过程。概括能力与其他的数学能力是分不开的。同时在培养概括能力的同时也对其他能力有一个相应的提高。概括能力的培养是一个不断渐进的过程，先要引导学生从易处入手，引导学生品尝概括后的喜悦感、成功感和美感，同时要激励和鼓励学生，不断提高自身独立思考的能力。