以一次函数为例探讨初中数学建模

【摘要】本文结合初中数学教学实践，以一次函数中数学模型的应用为例，探讨了不同层次的初中数学建模过程，指出了不同模型的优缺点，并且给出了教学上的建议。

【关键词】初中数学 数学建模 验证评价

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2012）20-0147-01

《数学课程标准》指出：数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学课程应体现“问题情境—建立数学模型—理解、应用与拓展”。以下仅以一次函数模型的应用为例，探讨几种不同层次的利用一次函数数学模型解题的过程。

一 直接给出模型

例1：已知弹簧的长度y在一定的限度内是所挂物质重量x的一次函数。现已测得所挂重物重量为4千克时，弹簧的长度为7.2厘米，所挂重物重量为5千克重物时弹簧的长度为7.5厘米，求所挂重物重量为6千克时弹簧的总长度。

解析：既然题干中已经明确给出了y与x之间具备的是一次函数关系，那么，实际上本题目中数学建模过程已经被省略掉了，学生没有了自己分析、联想获得模型的体验。可以设数学模型为y=kx+b，将已知的两个条件分别代入到这个模型关系式中可得：7.2=4x+b7.5=5x+b，求解二元一次方程组得解k=0.3b=6，从而得到模型y=0.3x+6，将x=6代入该模型中，得到y=7.8。从而得到该问题的最终结果，即当所挂物体重量为6千克时弹簧长度为7.8厘米。

这种直接给出数学模型的方法在初学一次函数，理解其待定系数法时不失为一种较为合适的数学题目设计，但是从数学应用的角度来看，对于学生从实际问题中抽象出数学问题能力的锻炼则是不利的，从这个角度讲，这种数学模型的应用应属于较低层次的应用。

二 猜测建立模型

例2：爸爸穿42码的鞋子，长度为26厘米；妈妈穿39码的鞋子长24.5厘米，小明穿41码的鞋子，长度为多少厘米？

解析：本例与例1相比只是缺少了二者之间存在一次函数关系的提示。许多人顺理成章地将其直接归入了一次函数模型中，由于事先没有给出尺码与长度之间具有一次函数关系，只能通过猜测建立关系并求得问题的答案，对于学生的能力也有了较高的要求和锻炼。实际上，由于该题目在设计时少给了一个条件，使本例中缺少检验评价过程，而这种对于模型的检验评价在数学建模过程中是极其重要的，因为这种检验能以事实验证模型是否合适。简单地讲，对于这个题目来说，如果只知道两对已知的函数数值，不能否定尺码和长度之间是否存在着其他函数关系（譬如二次函数关系），因此，在该题目的题设中应该再给出一个条件，如可以再给出“妹妹穿36码的鞋，长度为23厘米”，以便于获得一次函数模型后的验证。无疑，例2中一次函数模型的应用较例1高了一个层次。

三 实际推导模型

例题3：星期天，张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋的个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤，她即刻要求摊主退1斤鸡蛋的钱，张老师是怎样知道摊主少称了大约一斤鸡蛋呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来，由此你受到什么启发？

解析：把鸡蛋的实际重量看做是未知数x，而把显示的重量看做是y，于是如果没作弊，应该是y=x，但是老板作弊了，他又是如何作弊的呢？他无非是想让显示出的值y大于实际的重量x。如果老板在秤盘底下加了吸铁石，就相当于在x后面加上一个常数a，使得y=x+a，这里a表示一个固定的重量。这样，当顾客买5斤重的东西，老板就可以只给顾客4斤8两，那二两就是额外加的吸铁石的重量了。但是这里面存在着一个问题，就是说如果顾客买的东西很多，很重，缺少二两不算什么，也很不容易觉察到。但是如果顾客只是买4两东西，那么缺少2两就很容易被发觉了。聪明的老板预先不知道张老师会买多少鸡蛋，所以不会在秤盘底下加吸铁石，也就是说不会是y=x+a。那么又如何让y大于x呢？老板可以调整他的秤，使得有下面的等式成立：y=kx。其中k是大于1的一个数。这样，对于每一个x值，y值都比它大。也就是总有显示值大于实际值。根据这道题目的已知得到以下两个等式：

10=kx （1）

10.55=k（x+0.5） （2）

由（2）式可以得到：

10.55=kx+0.5k （3）

把（1）式代入（3）式，可以求得k=1.1，再把k=1.1代入（1）式，可以求得x=10/1.1=9.09。这样就求得了张老师所买的鸡蛋的实际重量是9.09斤，老板少给了她接近一斤的鸡蛋钱。由于已经求解出了k值，也即求出了x与y之间的正比例函数关系，所以从模型应用的角度讲，本例还可以进一步提出问题，如果张老师买的是五斤鸡蛋，那么贪心的商家会少称给张老师多少鸡蛋呢？

例3中所引用的题目是较早出现的一个老题目，但纵观该题目的题设计求解过程，处处“原汁原味”，这种“原汁原味”的题目，看似需要用数学知识去解决，却又留给了学生一定的思考空间，从模型猜想、模型建立直至模型求解和解释应用，都与生活实践密切联系，都可以用发生在学生身边的生活实际相解释，更重要的是该模型设计本身提供给了学生思考问题的时间和空间，如果教师对于该模型善加利用，可以充分发挥模型解决过程对于学生诸多能力的培养。是真正的“全鱼”而非“中段”。例题3与前两个例题相比，无疑是最高层次的数学模型应用。

以上三例一次函数模型的应用类题目，均试图让学生感受到数学就发生在我们身边，数学是有用的，其应用层次呈递进式提高。每一位数学教师都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的课程资源，让学生在做数学、体验数学的实践活动中自主地构建数学模型，感受数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣并增强数学学习的自信心。