全品一次函数

一次函数是初中数学函数部分的起点，学好这一内容，能为以后进一步研究反比例函数、二次函数及其他相关知识打下坚实的基础.

大部分学生在学习这段内容后，都存在不同程度的困惑，特别是受前面学习的自然数、有理数、实数等“数”的影响，对函数意义的理解感到很渺茫，会不自觉地将函数与有关的数进行联系、归类.从而造成了许多认识上的混乱.

一、函数不是“数”

如果说整数、分数、有理数、无理数等数我们不仅能举出相应的数例来，而且还能在数轴上找到它们的相应的点的话，那么函数是什么呢？函数是一种关系，通俗地讲，函数是指两个变量之间的一种对应关系，那么变量又是怎么一回事呢？变量是相对于常量的.在一个事件过程中，始终保持不变的量我们称之为常量，而那些变化的量则称之为变量.在一次函数中有两个变量，比如：（1）y=3x、（2）y=x+1等式子，当式子中的一个变量x的值一旦确定，那么式子中的另一个变量y的值也随之确定了，即（1）中x的值确定3x 的值确定y的值确定，（2）式子中的x的值确定x+1 的值确定y的值确定.

二、数学模型化

任何一个二元一次方程，都可以化为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，例如方程3x-2y+4=0，化为y=

32x+2，x是自变量，y是x的一次函数.化为x=

23y-

43，则y是自变量，x是y的一次函数.可见一次函数的一般表达式就是形如：y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0）.当b=0时，即y=kx，（k≠0），y是x的正比例函数，反之，无论y是x的正比例函数y=kx（k≠0），还是y是x的一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），都可以化为kx-y=0、kx-y+ b=0的形式，这就是关于x、y二元一次方程.一次函数与二元一次方程在本质上是相同的，即含有未知数的等式，不同的只是函数的研究注重于因变量与自变量的那种对应关系.

三、“ 一”统到底

一次函数其基本模型是y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）总是存在千丝万缕的联系，也正是一次函数的出现，才使得这四个“一次”赋予了更新的内涵.

1.透过方程看函数

我们在学习一次函数前，已经系统地掌握了二元一次方程（组）的有关知识，两者从概念上看都是一次，说明未知数（或变量）的次数都是1，从式子的外形上看二元一次方程都可以转化为一次函数的形式（当然一次函数也可以转化为二元一次方程的形式）二元一次方程中的两个未知数就是一次函数中的两个变量.在一次函数中自变量x每取一个数值，函数y都有唯一的数值与它对应，一次函数的函数值是随自变量的取值的确定而确定，这与二元一次方程有无数个解是完全一致的.

2.借助图象解方程（组）

一次函数y=kx+b，（其中k、b均为常数，且k≠0），它的图象是一条直线.直线是由无数个点组成的，其中直线上每个点的坐标都适合方程y=kx+b，因此方程y=kx+b由无数个解，在同一直角坐标系中，如果有两条直线y=k1x+b1， y=k2x+b2不平行，那么它们必然有一个交点，而且只有一个交点，这个交点坐标既适合方程y=k1x+b1，又适合方程y=k2x+b2，这个交点坐标就是由方程y=k1x+b1，y=k2x+b2组成的方程组的解.如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2平行，它们没有交点，这个方程组就无解，如果直线y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一条直线，即两条直线互相重合，它们有无数个公共点，这个方程组就有无数个解.实践表明，方程组有无解以及它的解是否唯一，取决于k1、k2的关系：（1）当k1≠k2时，两条直线有唯一公共点，原方程组有唯一解；（2）当k1=k2、且b1≠b2时，两条直线无公共点，原方程组无解；（3）当k1=k2、且b1=b2时，两条直线有无数公共点，原方程组有无数解.

3.利用图象找解集

图1

一次函数的图象是一条直线，这条直线如果不与坐标轴平行、不经过坐标原点，则必然与两坐标轴相交，例如一次函数y=1.5x+3，其图象如图1所示.

该直线与x轴、y轴分别交于点A（-2，0）、B（0，3），由此图不难看出，当x= -2时，y=0，以点A为分界点，点A右边的图象处于x轴上方，点A左边的图象处于x轴的下方，这说明：当取x>-2时，y>0，即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2；当取x

四、撩开面纱成双对

1.天生的一对变量

借用教材中的话说：“如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数”.可见，函数中必须有两个变量，如果把其中一个变量规定为自变量，那么另一个变量就是这个自变量的函数.

例如：在正比例函数y=-12x中，x是自变量，y是x的正比例函数，当x每取一个确定的数值时，y都有惟一的数值与它对应，也就是说，只要x取一个确定的数值，y也就有一个确定的数值了.

2.函数图象中点的坐标是一对有序实数

在平面直角坐标系中，可以通过列表、描点、连线等一系列过程作出函数的图象，那么在平面直角坐标系上找出任何一点的坐标，都是用两个实数表示的，并且表示横坐标的数写在前面，表示纵坐标的数写在后面，两个数中间用逗号隔开，前后再用小括号括起来.

例如，一次函数y=2x+2.如图2，其图象与x轴、y轴的交点坐标分别是（-1，0）和（0，2）.图象上其他点的坐标也都是如此表示.

图2图3

3.画一次函数图象只需找出两个点

一次函数的图象是一条直线，由直线公理：两点确定一条直线.可知：画一次函数的图象时，只需找出图象上的两个点的坐标即可.例如要作一次函数y=3x-2的图象时，当x=0时y=-2，即点坐标是（0，-2）；当x=1时y=1，即点坐标是（1，1）；在直角坐标系中将经过点（0，-2）与（1，1）的直线作出，就是函数y=3x-2的图象，如图3.

在平面直角坐标系中，能作出函数y=3x-2的图象的点很多，因为在函数y=3x -2中，x每取一个值，y都有惟一的数值与它对应，这样的坐标点在平面直角坐标系上可以找出无数个，因此，只要从中任取两个坐标点，就可以作出函数y=3x-2的图象了.

4.一次函数y=kx+b （k≠0，k、b为常数）的图象所经过的象限中，有两个象限是由k的符号确定的

一次函数y=kx+b （k≠0，k、b为常数），当b=0时，其图象只经过两个象限.若k>0，图象只经过一、三象限；若k0时，其图象必经过一、三象限；若k

[江苏省灌云县圩丰中学 （222235）]