拆分概率统计逐个突破要点

近年来的高考试题表明：概率统计在应用题的考查方面，基本上取代了传统的应用题. 历年来，在各个地区的高考中概率统计一般考查一个小题和一个大题，难度中等偏下，分值基本上是20分左右，约占高考数学总分的13%．

一、概率部分

重难点剖析在求复杂事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成互斥事件的和；二是先求出此事件的对立事件的概率（适用于 “至少”“至多”），这是典型的集合思想．把一个复杂事件分解成几个彼此独立的事件时，要做到不重不漏．

例1在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“”．

（Ⅰ）现在对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试也按同样的方法进行．求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“”的概率；

（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“”的卡片不少于2张的概率．

简析（Ⅰ）记“第一位被测试者抽取的卡片上，拼音带有后鼻音‘’”为事件A，则P（A）=． 记“第二位被测试者抽取的卡片上，拼音带有后鼻音‘’”为事件B，则P（B）=． 记“第三位被测试者抽取的卡片上，拼音带有后鼻音‘’”为事件C，则P（C）=． 又A，B，C相互独立，则“这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音‘’”为事件ABC，所以P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=

=.

（Ⅱ）P=1－=.

点评本题主要考查独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法． 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 求某一事件发生的概率时，首先应分析具体问题中事件发生的概率类型，确定随机事件用了哪种模型，是互斥模型（正向思考）还是对立模型（反向思考）．

例2甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约． 甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约． 设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响． 求：

（Ⅰ）至少一人面试合格的概率；

（Ⅱ）没有人签约的概率．

简析用A，B，C分别表示事件甲，乙，丙面试合格． 由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）（Ⅰ）至少有一人面试合格的概率是1－P（・・）=1－P（）P（）P（）=1－

（Ⅱ）没有人签约的概率为P（・B・）+P（・・C）+P（・・）=P（）・P（B）・P（）+P（）・P（）・P（C）+P（）・P（）・P（）=

点评这种所谓的综合题，只要仔细辨认事件的内涵，将所求随机事件转化为或互斥或对立或独立的事件，逐一分解难点，就可以使问题迅速得到解决．

二、统计部分

重难点剖析要探求离散型随机变量的分布列，首先应该确定随机变量ξ取哪些值，并且必须找全离散型随机变量ξ的所有可能值及每个可能值所对应的概率P（ξ=k）；另外，二项分布是最重要的离散型随机变量模型，同学们应该熟练掌握其分布列的求法．

例3一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球． 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．

（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ；

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．

简析本题主要考查排列组合、对立事件、独立事件的概率和随机变量的分布列和数学期望，同时也考查逻辑思维能力、分析问题的能力及解决问题的能力．

（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）=1－=，得到x=5． 故白球有5个． （ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是

[ξ\&0\&1\&2\&3\&P\&\&\&\&\&]

ξ的数学期望Eξ=×0+×1+×2+×3=．

（Ⅱ）设袋中有n个球，其中有y个黑球，由题意得y=，所以2y

点评2007年、2008年各地高考试卷都有相关的试题．如果一个问题包含的正面情况比较多，则一般利用对立事件进行求解，即先求出欲求概率事件对立面的概率，再求出欲求事件的概率. 一般地，“至多”“至少”等问题往往会用这种方法进行求解．

例4已知随机变量ξ服从正态分布N（3，a2），则P（ξ

A． B． C． D．

简析ξ服从正态分布N（3，a2），则分布曲线关于x=3对称，P（ξ

点评正态分布N（μ，σ2）的分布曲线关于x=μ对称． 正态分布N（μ，σ2）的性质是个较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但由于考生不注意全面掌握每一个知识点，所以错误率相当高． 因此，同学们一定要全面掌握每一个知识点．

三、排列组合及（1+1）n

重难点剖析排列组合综合应用题一般从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． “分析”就是找出题目的条件与结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列（与顺序有关）还是组合（与顺序无关），对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决（这时常用分类计数原理）；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决（这时常用分步计数原理）．

例5有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）．

A． 1 344种 B． 1 248种

C． 1 056种 D． 960种

简析要满足中间行的两张卡片上的数字之和为5，只有1＋4=2＋3两种情形，其余4张卡片可以从余下的6张卡片中任意选4张进行全排列，再注意到中间两张卡片有前后之别，所以有CCAA种排法． 由于1＋4或2＋3有一种情形存在上述排法中，此时不满足仅有中间行的要求，而此时的排法有：第一行或第三行C种；从5，6，7，8中任选2张卡片，有C种；再注意到每行间两张卡片有前后之别，1＋4或2＋3在第一行和第三行之别，所以有CCAAAA种． 因此，满足要求的不同排法共有CCAA－CCAAAA=1440－192=1248（种），故选B．

点评对于特殊限制的排列问题，可以从总体数目中排除不合乎条件的，通过排除法求解，可以减少失误．

例6用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_______（用数字作答）．

简析将1与2作为一个整体，与其他4个数排列，相当于5个位置中选一个给1与2，共有5种，其内部排列有2种，其他数字共有AA=4种排法． 综上共有5×2×4=40个．

点评如果带有限制条件的排列组合问题中，既有特殊元素，又有特殊位置，解题时则或以元素为主考虑，或以位置为主考虑，不能某些步骤考虑元素，某些步骤考虑位置，否则易出错