无穷远点留数的一个重要性质及应用

摘要： 利用无穷远点留数的性质，给出了复变函数中一类周线积分■f（z）dz计算的简单方法。

关键词： 无穷远点；留数；性质

中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1006-4311（2012）04-0196-020引言

留数理论是复变函数论中重要的内容。利用函数无穷远点留数的性质，可以大大地简化一类周线积分■f（z）dz的计算。

1预备知识

定义[1]：设∞为函数f（z）的一个孤立奇点，即f（z）在去心邻域N-{∞}：0?燮r

设f（z）在0?燮r

f（z）=…+■+…■+c■+c■z+…+c■z■+…，由逐项积分定理及■■=2πi，（n=1）；0，（n≠1的整数）（一个重要的常用积分）

这里C表示以a为心，ρ为半径的圆周。（注意：积分值与a，ρ均无关，a可为0）。

即知■f（z）=■■f（z）dz+c-1=0（1）

也就是说，■f（z）等于f（z）在点∞的洛朗展式中■这一项的系数反号。

计算留数■f（z）的另一公式。

令t=■

于是φ（t）=f■=f（z），

且z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞}：0?燮r

■■f（z）dz=-■■f■·■dz

所以

■f（z）=-R■sf■·■ （2）

定理[1]（无穷远点留数的性质）：如果函数f（z）在扩充Z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1，a2，…，an…，∞，则f（z）在各点的留数和为零（即■■f（z）+■f（z）=0）

2无穷远点留数的应用

例 1.计算积分

I=■■dz

解：被积函数一共有七个奇点：z=±i，z=■■（k=0，1，2，3）以及z=∞。前六个奇点均在|z|=4内部。

要计算|z|=4内部六个奇点的留数和是十分麻烦的，所以应用上述定理及留数定理得

I=2πi-■f（z）。

由下式可知f（z）在∞处的洛朗展式中■这一项的系数C-1

f（z）=■=■

=■1-2·■+…1-3·■+…，

因此，■f（z）■=-1,故I=2πi。

另外，可应用公式（2）。先看

f■■=■·■=■

它以t=0为一阶极点。所以

I=2πi-■f（z）■=2πi■f■·■=2πi

例2.计算积分■■，C为正向圆周：|z|=2。

解：除∞点外，被积函数的奇点是-i，1与4。根据定理

有■f（z）+■f（z）+■f（z）+■f（z）=0

其中f（z）=■

由于-i与1在C之内部，由留数基本定理（2）得到

■■=2πi■f（z）+■f（z）

=-2πi■f（z）+■f（z）

另一方面

■f（z）=■（z-4）■=■

■f（z）=Res■■

=■■=0

从而

■■=-2πi■+0=■

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]哈尔滨工业大学数学系组编.复变函数与积分变换[M].北京：科学出版社2004.

[3]（美）James Ward Brown著，邓冠铁等译.复变函数及应用[M].北京：机械工业出边社，2007.

[4]莫叶.复变函数论（第一册）[M].济南：山东科技出版社，1980.