基于有限元的弹塑性裂纹数值分析

摘 要：在线弹性断裂力学和D-M模型的基础上，推导出了受单向拉伸含中心穿透裂纹的理想弹塑性材料J积分的解析式；通过ANSYS对弹塑性J积分进行数值计算，与推导出的解析解比较，表明了用有限元方法计算弹塑性J积分具有相当高的精度；分析了J积分与裂纹初始长度及外荷载的关系；对理想弹塑性材料塑性区大小进行了探讨，结果表明，塑性区尺寸随外荷载增大而增大，并且外荷载接近屈服应力时，裂纹塑性区尺寸趋近于无穷大，进入全面屈服。

关键词：弹塑性断裂 J积分 D-M模型 塑性区尺寸 数值模拟 ANSYS

中图分类号：O344.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（c）-0091-03

一般脆性金属材料，如铸铁等在裂纹扩展前，其端部都将出现一个塑性区。当此塑性区尺寸很小，即远小于裂纹时，线弹性断裂力学仍有足够的精度。此类断裂称为小范围屈服断裂，可以采用对线弹性力学导出的应力强度因子进行修正的方法来处理。然而对于延性较好的金属材料，如果在裂纹扩展前，塑性区尺寸已经接近甚至超过裂纹本身的尺寸，就属于大范围屈服断裂问题。此时线弹性断裂力学理论已不再适用，用应力强度因子衡量裂尖应力场强度将失去意义。这种塑性变形占较大比重的断裂问题就要用弹塑性断裂理论来解决，目前广为应用的是COD原理.J积分理论等方法[1]。其中，J积分作为一个重要的断裂参量，在弹塑性领域中能起到反映裂纹尖端应力.应变场奇异性强度的作用，因而是描述材料断裂的一个重要判据。此外J积分具有与积分路径无关的特性，它可以避开裂尖高应变区求得可靠的结果。由于在工程应用上，弹塑性断裂的J积分数值计算十分困难，有限元法便成为求解J积分一个很重要的手段。

1 基本理论与方程

1.1 D-M模型与常见参量

对于含裂纹薄板结构，加载时发现裂纹尖端的塑性区成扁平状[2]，如图（1），这就是所谓的D-M模型，即Dugdale―Barenblatt带状屈服区模型。它是一个弹性模型，把裂纹长度由原来的2a扩展到2（a+d），裂纹尖端前缘的塑性变形只集中在裂纹的延长线方向一长度为d应力为的窄长材料中，而2（a+d）外材料仍处于弹性状态。基于此模型可以较好地处理具有穿透型裂纹的板的弹塑性问题，有的学者还对D-M模型进行了研究与应用[3-4]。

J积分是Rice在讨论裂纹问题时提出来的，它避开直接计算裂纹尖端附近的弹塑性应力应变场，并具有与路径无关的特性，可作为表示裂纹尖端应变集征的平均参数。COD[5]，即张开位移，是指裂纹体受载后，裂纹尖端的裂纹表面张开的位移量。一定的COD值对应于裂纹端部的一定应力与应变场强度，即可以把COD的值用作间接度量，并用符号δ表示。J积分与COD在弹塑性断裂力学中起很重要作用，在工程中常用来作为结构安全评定的参数。

1.2 J积分解析式的求解

下面以均匀受拉的中心穿透裂纹为例，求基于D-M模型的理想弹塑性材料下J积分的解析解。分为两个步骤：（1）D-M模型下，J积分与COD的关系。（2）D-M模型下，裂纹尖端张开位移，即COD。

步骤1 J积分与COD的关系

在图（1）所示裂纹尖端取回路ABC，即围绕塑性区的一个回路求J积分。

J=

沿AB BC段dy=0 ds=dx及=

所以J= （1）

又由式（1）得J= （2）

步骤2 裂纹尖端张开位移COD

裂尖张开位移δ可以由图（2）中的（a）与（b）的COD叠加而成。

图（a）与（b）情况下的应力强度因子[6]分别为：

由弹塑性裂纹特性知，裂尖处，解得

（3）

在x=a处，图（a）与（b）的裂纹张开位移分别为

裂尖的张开位移 （4）

综上，结合式（2）（3），得 （5）

此即为D-M模型下弹塑性材料J积分解析解表达式。

2 弹塑性J积分的有限元模拟

2.1 弹塑性J积分算例

以均匀受拉的中心穿透裂纹板为计算模型，平面应力状态，几何模型如图（3）所示。2a=50 mm，2b=200 mm，2h=400 mm.材料的屈服应力Mpa，E=205000Mpa，。由对称性可取模型进行建模分析[7-8]，全模型网格划分如图（4）所示。

2.2 分析与讨论

2.2.1 J积分大小随裂纹长度的变化情况

为了方便表示，用作为裂纹长度的表征参数。取不同的裂纹长度，ANSYS分析程序给出的J积分值，并与D-M模型的解析解 式（4）进行比较，列于表1。从表中可以看出，J积分随着裂纹半长度a增大而几乎成线性增大。从误差在允许范围内知，ANSYS等有限元软件可较准确的求得J积分的值，从而为工程应用提供了方便与可行性。

2.2.2 J积分大小随外荷载的变化情况

为了方便表示，用作为外荷载的表征参数。取不同的外荷载，ANSYS分析程序给出的J积分值，并与D-M模型的解析解 式（4）进行比较，列于表1-II。图（5）示出了裂纹初始半长度a一定时，ANSYS给出的值与D-M模型解析解随外荷载的变化关系，呈非线性增大。同时发现在小于0.7时，由有限元方法计算的J积分与D-M解析解误差小于3%；当外荷载继续增大时，由于塑性区尺寸开始变得较大，见图（6），不能选择合理的J积分的路径，导致误差变得较大，需经多次选择才能找到误差小的路径。

2.2.3 塑性区尺寸随外荷载的变化情况

由3式可求出弹塑性裂纹的塑性区尺寸d=c-a ，由该式可以看出裂纹塑性区尺寸与裂纹初始半长度a及外荷载有关[9]。图（6）则给出了塑性区相对裂纹半长度的大小随外载荷的变化图，从图中可看出，当裂纹初始半长度a恒定时，外荷载增大时，塑性区尺寸也随之增加。并且接近1时，裂纹塑性区尺寸趋近于无穷大，也就是裂纹整个被塑化，此时整个板材已全面屈服，即属于全面屈服断裂问题。图（7）给出了平面应力下，不同外荷载时，塑性区的Mises屈服准则下的等效塑性应变云图。可以看出塑性区成蝶状，并且其大小随外荷载增大而增大。

3 结语

该文基于有限元软件对弹塑性裂纹J积分与裂纹长度及外荷载的关系，塑性区尺寸与外荷载的关系进行了数值分析。最后强调一点，J积分虽具有明确的理论基础和物理意义，可以作为表示裂纹尖端应力场奇异性强度的度量参数等优点。但严格地讲[3]，（1）只能适用于弹性体和服从全量理论的塑性体；（2）只能应用于二维；（3）只能适用于小变形问题；（4）只能适用于裂纹表面无荷载作用的情况。

参考文献

[1] Gross D.Bruchmechanik[M].Berlin Springer Verlag，1996.

[2] 洪启超.工程断裂力学基础[M].上海：上海交通大学出版社，1987.

[3] 李罡，李林奎，温海涛，等.基于D-M模型的研究与应用[J]. 喀什师范学院学报，2004（3）.

[4] 刘元镛，汤玄春.J积分的数值计算及Dugdale模型的弹塑性修正系数Φ的适用范围[J].西北工业大学学报，1987（4）.

[5] 郦正能，何庆芝.工程断裂力学[M].北京：航空航天大学出版社，1993.

[6] 中国航空院.应力强度因子手册[M].北京：科学出版社，1993.

[7] 赵海涛，石朝霞，战玉宝.基于ANSYS的J积分计算与分析[J]. 煤矿机械，2007（5）.

[8] 张朝晖.ANSYS12.0结构分析工程应用实例解析[M].3版.北京：机械工业出版社，2010.

[9] 李成，铁瑛，郑艳萍.弹塑性材料中裂纹的仿真研究[J].应用基础与工程科学学报，2011（5）.