订货问题的一个随机存储策略

[摘要] 对订货问题给出了一个随机存储策略，确保商品数量满足需求，不积压、不脱销，而且总费用最小。

[关键词] 存储策略 随机 模型

一、问题的提出

商店在一周中的销售量是随机的，每逢周末经理要根据存货的多少制定出下一周的商品进货计划。为了不使存储费用增加，商店的流动资金积压，周末的进货不宜过多，但是又不能使下周的货物脱销，影响营业额，进货又不应太少。

在这种情况下，适合经理采用的一种简单的订货策略是制定一个下界m和上界M，当周末存货不少于m时就不订货；当存货少于m时则订货，且订货量使得下周的存货量达到M。这种策略称为(m,M)随机存储策略。

那么如何确定m,M呢？显然，m,M的确定应以总费用最小为标准。为方便起见，时间以“周”为单位，货物数量以“件”为单位。

二、模型假设

1.每次订货费为c0(与数量无关），每件商品购进价为c1，每件商品一周的储存费用为c2，每件商品的缺货损失为c3，c3相当于售出价，应有c1＜c3。

2.一周的销售量是r随机的,r取值很大,可视为连续变量，其密度函数为p(r)，显然p(r)具有性质:

。

3.记周末的存货量为x，订货量为u，并且立即到货，于是周初的存货量为x+u。

4.一周的销售量是集中在周初进行的，即一周的储存为x+u-r，不随时间改变。

三、模型的建立与求解

按上述假设条件，显然，当x≥m时，u=0;当x＜m时，u＞0，令x+u=M。确定m,M应以总费用最小为标准。

由于销售量r是随机的，从而储存量和缺货量也是随机的，所以一周的储存费、缺货损失也是随机的，因此目标函数应取一周总费用的期望值，即长期经营中每周费用的平均值，也就是平均费用。

根据假设条件得平均费用为：

其中

我们先确定M:

当u＞0时，令即

记x+u=M，因为可得

并且所以订货量u加上原来的存量x达到(2)式所示的M，可使平均费用最小。

下面确定m:

当存货量为x时，若订货，则由(1)在M策略下，平均费用为

J1=c0+c1(M-x)+L(M)，

若不订货，平均费用为J2=L(x)，

当J2≤J1时，即L(x)≤c0+c1(M-x)+L(M)时应不订货，于是 m的方程是

L(x)=c0+c1(M-x)+L(M)（3）

当c0,c1,c2,c3,p(r)给定后，由(2)式，（3)式可以解出m，M，得到这种销售问题的随机存储策略。

参考文献:

[1]姜启源谢金星叶俊:数学模型[M]．北京:高等教育出版社，2003

[2]华南理工大学编:经济数学模型[M]．华南理工大学出版社，1999

[3]齐欢编:数学模型方法[M].武汉:华中理工大学出版社，1992

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。