《几何原本》经典长存

据说，在西方流传最广的书是《圣经》，而仅次于《圣经》的，就是欧几里得的《几何原本》。《几何原本》被西方人称为“数学中的圣经”。爱因斯坦说：“如果欧几里得的《几何原本》没有激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”

而在东方，同样也有一部书，能与《几何原本》相媲美，这就是被尊称为“算经之首”的《九章算术》。作为我国现存的最早的数学专著，《九章算术》在中国古代数学中的地位举足轻重。

《几何原本》和《九章算术》，是世界数学宝库里的两颗璀璨明珠，也是古代数学思想的两大源泉。

严肃的辩论，抽象的数学

公元前7世纪～公元前4世纪是希腊奴隶制度的发达时期。这个时期，埃及的几何学与巴比伦的算术先后传入希腊。由于社会的进步，物质大大丰富了，人们的生活需求进一步提高，社会分工也进一步明确起来。于是，一些奴隶摆脱了繁重的劳役，开始专门从事脑力劳动。

当时，古希腊的知识阶层都是由上层人物组成的，柏拉图、亚里士多德这些科学巨匠都出身于奴隶主贵族家庭。由于他们不为生计所迫，因而可以专心对自己真正喜欢的领域进行研究与探索。

正是由于这些贵族身居社会上层，他们与工匠等下层人物始终保持着一定的距离，于是，抽象的数学理论与具体的应用数学被分离开来。在当时的社会，科学由有身份、有地位、有学问的贵族老爷掌握，而技术则由一些无名的工匠传授。

导致数学理论与应用数学分家的另一个原因，是当时古希腊贵族中非常流行辩论。辩论需要概念准确、推理严谨，还需要各种随机应变的方法和技巧。由于辩论中所需的抽象的数学思维与应用数学大不相同，于是，奴隶主们认为数学应该是“贵族”的科学、身份的象征。他们觉得数学研究应该被视为一种高贵的信仰，而不是处理实际问题的方法。与生产生活息息相关的应用数学遭到了古希腊数学家的强烈鄙视。柏拉图就曾说过：“盖若辈徒知何谓规矩方圆，徒求其应实施，而视为平常之物，岂不可笑，不知几何之目的，乃最高深之知识也。”

就是在这样的社会环境中，抽象化的理论被强调，公理化的方法被发展，封闭的演绎体系由此形成。公元前300年左右，欧几里得完成了他人生中最伟大的著作――《几何原本》。书中的几何概念都是从客观事物中抽象出来的，无法直接指导实践。如今看来，这似乎也是作者有意为之。可以说，《几何原本》是当时特定学术思潮下的必然产物。

严谨的证明，严密的结构

《几何原本》分为13篇，全书有475个命题（有的版本有477个）。为了使命题之间具有严密的逻辑结构，欧几里得在书中创造性地采用了前人未曾使用过的叙述方式。

欧几里得首先列出了23个定义，然后列出了5个公理和5个公设（公理在所有学科中都适用，而公设只适用于几何学）。定义、公理和公设是无需证明的，它们将作为依据直接运用在命题的证明中。它们是一切命题和定理的本源，命题都是由这10个公理或公设以及相关的定义推导出来的。

值得一提的是，命题的排列顺序是经过认真考虑的，每一个命题的证明只允许采用定义、公理、公设和前面已证明过的定理作为依据，原则上不依赖其他理论。

这样编排有两个好处。一是让大家一开始就明确了书中每个概念的意思。例如，什么叫点？书中说：“点是没有部分的。”这样一来，阅读者就不会对这些概念产生其他理解。二是每个命题的证明过程都是一目了然的。欧几里得会在证明过程中标出使用的定义、公理和公设。据说，英国哲学家托马斯・霍布斯偶然翻阅欧几里得的《几何原本》，当看到毕达哥拉斯定理（即勾股定理）时，他对该定理的正确性表示了怀疑：“上帝啊，这是不可能的！” 于是，他开始从尾到头仔细阅读每个命题的证明，当他读到公理和公设时，终于完全信服了。

数学的巨著，科学的基石

让数学理论更严密

《几何原本》最大的作用，就是解决了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。具体地说，《几何原本》开创性地建立了几何的公理体系，明确地提出所用的定义、公理和公设，并用一小批公理和公设推导出几百个命题，由浅入深地揭示出这一系列定理。《几何原本》把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确定数学命题真实性的一个基本方法。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

催生了非欧几何

《几何原本》中的第五公设是：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在该直线同侧的两个内角之和小于180°，则另外的两条直线经无限延长后在这一侧相交。自《几何原本》问世以后，有些数学家注意到，直到第二十九个命题的证明中，第五公设才被使用，而且在以后的命题的证明中，第五公设再也没有出现过。因此，一些数学家想到，第五公设能不能作为定理而不是公设？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这个讨论持续了两千多年。

19世纪20年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，对第五公设的一个等价命题加以否定，得到命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并把这个命题与欧氏几何的其他公理和前四个公设相结合，形成了一个新的公理系统，而后展开了一系列推理。他认为，如果以这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。罗巴切夫斯基所用的证明方法其实就是数学中的反证法。

但是，在极为细致深入的推理过程中，他得出了一个又一个在直觉上匪夷所思、但相互之间不存在任何逻辑矛盾的命题。比如“三角形的内角和小于180°”“过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆”等。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一 ，第五公设不能被证明；第二，这套新的公理系统可构成一种新的几何学，其逻辑完整性和严密性可以和欧氏几何相媲美。这就是“非欧几何”第一次被提出。

让科学家们更理性

《几何原本》自问世以来，一直被公认为初等数学的最佳基础教材。两千多年来，《几何原本》引导了一代又一代的求知者跨入了辉煌的数学殿堂。

物理学巨匠爱因斯坦也精通几何学。他在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在12岁时，“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。事实证明，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示作用。在对狭义相对论的研究中，爱因斯坦就把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。

1661年，牛顿考入剑桥大学。一天，他在书店里买了一本《几何原本》，草草一翻，觉得书中的内容简单易懂，并没有超出常识范围，于是便将它束之高阁。1664年4月，牛顿参加了特列台奖学金考试，结果落选了。考官巴罗博士对他说：“你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这句话对牛顿的触动很大，于是，他又重拾不被自己重视的《几何原本》，从头到尾进行了反复与深入的钻研，这为他以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

促进了近代科学的产生和发展

《几何原本》总结了人类长期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世对数学的学习和研究提供了方法、课题和资料。在学者们看来，《几何原本》不仅深刻地影响了数学的发展，更重要的是，它所代表的逻辑推理方法与科学实验结合在一起，成为了世界近代科学产生和发展的重要前提。也就是说，《几何原本》的意义不单单是数学方面的，更主要的还是思想方法方面的。