浅谈初中数学中全等三角形

【摘 要】全等三角形是初中数学几何图形中重要的一章，在几何证明题中也经常运用到构造全等三角形来证明线段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知识点，它在生活中的运用也很广泛。因此，本文将从全等三角形的构造、判定以及在生活中的实际应用进行分析。

【关键词】初中数学；全等三角形；构造；判定；实际应用

全等三角形是人教版八年级上册的知识点，它为学习后面的相似三角形和四边形做好铺垫。掌握全等三角形是做一系列复杂的几何证明题的前提，因为在几何证明中经常用到全等三角形证明线段相等和角度相等。如果没有掌握好全等三角形，很多几何证明题会变得棘手。在现实生活中，很多问题可以用全等三角形来解决，例如用全等来测河面的距离等。

一、全等三角形的构造

在初中的几何证明题中，有时题目给出的图形是没有现成的全等三角形，需要学生自己想办法去构造。那么问题来了，如何构造全等三角形呢？构造全等三角形，从大方向来说主要有2种方法：旋转法和作辅助线法。作辅助线一般都是指中线、角平分线、三角形的高、平行线等等。

1.旋转法构造全等三角形

旋转法构造全等三角形通常是通过旋转对应线段或者旋转等腰三角形的顶角来得到。

旋转等腰三角形的顶角一定角度，得到全等的三角形也是跟旋转三角形对应线段所用的思想是一样的。

2.作辅助线构造全等三角形

三角形的辅助线我们一般用得较多的是中线、角平分线和三角形的高。但是通过作平行线来构造全等三角形这种方法就比较少用，下面笔者主要分析作平行线来构造全等三角形。因为只要提到线段的中点，我们很容易想到把中点和顶角连接起来；提到角度，也容易想起角平分线；提到直角三角形或者等腰三角形，会想起三角形的高。唯独平行线我们是最容易遗忘的一种辅助线。

如上图，ABC中，∠B=∠C，D是AB上的一点，CE=BD，求证：FD=FE。仔细观察左图，并没有全等三角形，而证明两条线段相等的最常用方法为，证明这两线段所在的三角形全等。过点D作平行线DG交于BC于点G，这样在图形上就出现了一组全等三角形DGF和EFC，再利用题目给出的已知条件即可证明这组三角形全等，FD=FE也得以求证。为什么在这里要利用作辅助线平行线而不是其他的线呢？因为题目里面没有提到角度也没有提到重点，所以只能尝试平行线，而且平行线可以得出角度相等。

总之，发现题目给出的图形没有全等三角形，但是求证的是角度相等或者线段相等，最简单直接的方法就是构造出一组全等三角形。

二、全等三角形的判定

课本上提到了5种证明全等三角形的判断定理：①边角边（SAS）②角边角（ASA）③边边边（SSS）④角角边（AAS）⑤斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。在这里教师要提醒学生，在这5组判断定理中，最后一组必须要在直角三角形中才能使用，另外的4组没有限制。其中“边边边”是最容易判断的，只要证明两个三角形的三条边长度相等即可得出这两个三角形为全等三角形。

三、全等三角形的实际应用

在生活中我们发现很多东西，由于地理位置或者物体自身形状所导致部分的长度尺寸很难用测量工具去测出来。这时候利用全等三角形的概念，把实际问题转化成数学问题来解决。

例如：河流宽度的测试，容器内径的测试（如下图）

作图中，如果按照常规方法要测该池塘的长度，要在水面上测量，这样的方法是麻烦和困难的，但通过全等三角形在平地上建立模型，测量另外一条和AB相等的边的长度是比较容易，我们可以先在平地上找一点，可以直接分别达到A、B两点的C，连接AC并延长到点D，使DC=AC；连接BC并延长到点E，使BC=CE，再根据全等三角形的判断定理边角边求证ACB≌DCE，则得出DE=AB，直接在平地量出DE的长度即为AB的长度。容器的内径检测的工具卡钳，所用的也是全等三角形的定理，图中相交的实线即为卡钳的形状，是根据全等三角形的性质来制作的。

由此可见，学好全等三角形性质和定理，不仅是为了应付考试，更多的可以运用这个定理来解决生活中比较棘手的问题，化困难为容易。全等三角形这个概念还会促进一些生产测量用具的诞生的。数学理论和生活联系起来才是最有意义的。

【参考文献】

[1]马亚丽.问题来了：如何构造全等三角形解题.中学生数理化，2014（12）：14-15

[2]施克全.判定全等三角形的方法提炼.成才之路，2014（24）：86

[3]李圣春，万春.利用全等三角形解决实际问题.初中生世界，2014（38）：29-30

[4]陈辰侠.例谈“旋转法”构造全等三角形，外显解题思路与技巧.数学学习与研究，2015（08）：126