浅谈“排列\组合”单元教学

一、调整教材内容顺序,加强认知结构的层级性

智慧技能的教学是学校教学的中心任务.著名认知心理学家加涅认为,智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用,它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系:概念(需要以辨别为先决条件)规则(需要以概念为先决条件)高级规则(需要以规则为先决条件).因此,对于中学数学的每个单元,学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习,以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中,形成具有良好层级性的认知结构.

该单元的教学次序是:基本概念的形成(排列与组合的概念、排列数与组合数的概念)基本算法规则的掌握(原理与公式)概念和算法规则相结合的应用(这里是以解题规律为主线,把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的),完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则,再到高级规则的层级顺序去进行的规律,理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次,加强了该单元认知结构的层级性.

二、运用先行组织者,促成认知结构的稳定性

运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式,是提高教材可懂度,促进学生对教材知识的理解的重要技术之一.其目的是从外部影响学生的认知结构,促成认知结构的稳定性.

因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时,其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们,因此,我们在该单元的入门课里,在没有正式学习具体内容之前,先呈现如图1所示的组织者,能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用.

值得一提的是,安排在本文的入门课――专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题,以及安排在基本原理课题中的两个引例,它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用.

三、实行近距离对比,强化认知结构的可辨别性

如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低,加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差,则会造成学生对排列和组合的判定不清,对加法原理和乘法原理的使用不准,从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性.因此,在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性,以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的.

按调整后结构的顺序教学,很自然地实行了近距离对比,加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度,从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性.

四、及时归纳总结,增强认知结构的整体性与概念性

我们知道,认知结构是人们头脑中的知识结构,也就是知识在人们头脑中的系统组织,它具有整体性和概括性.认知心理学认为,认知结构的整体性越强、概括水平越高,就越有利于学习的保持与迁移.因此,在每个单元的教学中,我们必须随着该单元教学进度的推进,及时归纳总结已学内容的规律,以促进学生认知结构概括水平的不断提高,最终促使学生高效高质地整体掌握该单元,从而形成整体性强、概括程度高的认知结构.

五、注意策略的教学与培养,增大认知结构的可利用性

智育的目标是:第一,通过记忆,获得语义知识,即关于世界的事实性知识,这是较简单的认知学习.第二,通过思维,获得程序性知识,即关于办事的方法与步骤的知识,这是较复杂的认知学习.第三,在上述学习的同时,获得策略知识,即控制自己的学习与认知过程的知识,学会如何学习,如何思维,这是更高级的认知学习,也是人类学习的根本目的.

在中学生的数学学习中,如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高,那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高,特别是在解题过程中,就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径,或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻,或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳,以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等.因此,中学数学教学,必须重视策略的教学和培养,让学生学会如何学习和如何思维,以增大学生认知结构的可利用性.

为此,在“排列、组合”单元的教学中,除注意一般性学习策略(如做笔记、画线、注记和写单元结构图等)的培养以外,更注重解排列、组合问题的培养和训练.

(1)在专题二、四、五、六里,对排列、组合问题解法的教学,始终按“仔细审清题意,找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件,推求问题实际效果,采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略,确定解题方法”的基本步骤进行,以培养学生在解排列、组合问题时,有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力.

(2)重视一题多解和错解分析(多解的习题要有意讲评,例题讲解可故意设错).

一题多解能拓宽解题思路,让学生见识各种解题方法和处理策略.另外,一题多解又能通过比较各种解法的优劣,使学生在较多的思路和方法中优选.同时,因为解排列、组合问题,其结果(数值)往往较大,不便于检验结果的正确性,而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较,来检验我们所作的解答是否合理、是否正确,从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用。