中位线定理的应用技巧

三角形和梯形中位线定理在同一条件下具有两个结论；一个是位置关系，中位线平行于第三边（或两底），另一个是数量关系，中位线等于第三边（或两底和）的一半.

一、“遇到中点连中点”，直接构造中位线

例1已知：如图1，在四边形ABCD中，

AB=DC，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.猜想：

EF与GH有怎样的特殊的关系？试证明你的猜想.

分析：EF与GH的特殊关系，可以从两个方面来观察与思考：一是是否有特殊的位置关系，图中EF与GH是相交线段，则它们是否互相垂直；二是大小关系，显然EF与GH不会相等，但可以互相平分.

解：猜想：EF与GH互相垂直平分.

证明：连结EG、GF、FH、HE.

在ABD中，因为AE=DE，BG=DG，所以EG=

12AB.

同理GF=12CD，FH=12AB，HE=

12CD.

又因为AB=CD，所以EG=GF=FH=HE.

所以四边形EGFH是菱形， 所以EF与GH互相垂直平分.

说明：“遇到中点连中点”，本题通过连结中点，由此构造出三角形的中位线，从而利用中位线定理解决问题.

图1图2

二、有中位线无三角形时，添线补全三角形

例2已知：如图2，在梯形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点，

NE∥DM交BC于点E，连结ME.

求证：ME=DN.

分析：由M、N分别是AB、CD的中点，知

DN=12DC.因此，欲证

ME=DN，只需要证ME=12DC，联想三角形中位线定理，考虑延长

DM交CB的延长线于点P，构造出三角形中位线基本图形，由三角形中位线定理，问题便可得证.

证明：延长DM交CB的延长线于点P.

因为AD∥BC，所以∠ADM=∠ BPM.

因为∠AMD=∠BMP，AM=BM.所以AMD≌BMP.

因为DN=CN，NE∥DP，所以CE=PE，所以ME=12DC=DN.

说明：在证明四边形中有关边、角相等的问题时，常常是把边、角构造为三角形中的边、角来解决.若题设中有中点条件、线段的两倍或一半关系，则可考虑中位线，当条件不完备时，可以作辅助线构造中位线，为使用中位线定理创造条件.

三、有中点无中位线时，取中点连中位线

图3

例3已知：如图3，在四边形ABCD中， AC、BD相交于点 O、E、F分别是

AD、BC的中点，EF交AC、BD于点M、N.求证： OM=ON.

分析：要OM=ON，只需要证

∠OMN=∠ONM，由E、F分别是AD、BC的中点，联想三角形中位线定理，考虑取AB中点P，并连结EP、FP，构造出三角形中位线基本图形，易证

PE=PF，再由平行线的性质，便可证得结论.

证明：取AB中点P，连结

EP、FP，则EP、FP分别是ABD、ABC的中位线，

所以PE=12BD，PF=12AC，

因为AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

又因为PE∥BD，PF∥AC，

所以∠OMN=∠PFE，∠ONM=∠PEF，所以∠OMN=∠ONM，所以OM=ON.

说明：在三角形（或梯形）中，如果已知一边（或一腰）的中点，常常取另一边（或另一腰）的中点，以构造出中位线定理的基本图形来解决有关问题.

四、仅有中点时，先构造三角形，再构造中位线

图4

例4已知：如图4，在四边形ABCD中， AB=CD， E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N.

求证：∠BME=∠CNE.

分析：先连结BD构造出三角形，再取BD中点H，连结

HE、HF，构造出三角形中位线基本图形，易证

HE=HF，从而∠1=∠2，再由平行线的性质，便可证得

∠BME=∠CNE.

证明：连结BD，取BD中点H，连结HE、HF，

因为F是AD的中点，

所以HF∥AB，HF=12 AB，

所以∠1=∠BME，

同理：HE∥CD.HE =12CD，

所以∠2=∠CNE.

因为AB=CD，所以HF=HE，∠1=∠2，所以∠BME=∠CNE.

说明：本例是先构造三角形，再构造三角形中位线来解决问题.当图形中已有两个或两个以上的中点，但这些点的连线不能构成三角形的中位线时，一般是先连结某条线段，构造出三角形，再取该线段的中点，构造出这个三角形的中位线.

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