时间：2023-10-05 02:14:35
【教学片段】
师：王叔叔在报纸上看到一则广告，某超市要招聘工作人员，月平均工资为1000元。于是，他高兴地去应聘了。一个月后，他领到了600元工资。他想，也许是自己工作不大努力，业绩不佳。第二个月，他工作上格外卖力，却仍然只领到600元。难道自己“上当”了？他有点坐不住了，找到经理并责问：为什么广告上明明写的平均工资是1000元，而我的工资却只有600元呢？同学们，你认为王叔叔问得有道理吗，经理会怎样处理这件事呢？
生1：王叔叔问得有道理，600元比月平均工资1000元相差太远，广告不真实。
生2：王叔叔问得没有道理，因为王叔叔没有真正理解平均数的意义。
生3：广告可能设置了圈套。
（学生纷纷交头接耳，争论不休）
师：同学们，王叔叔问得有没有道理，我们暂不讨论了，先看看经理是怎么处理的：经理为了说明他们的广告是正确的，将“工作人员工资表”给王叔叔看（课件呈现）：
师：根据这份工资表，你们能计算出他们的平均工资是多少吗？请用计算器计算。
生：月平均工资是1000元。
师：王叔叔领到的工资与平均工资相差那么大，原因究竟是什么呢？用哪个数表示工作人员月平均工资比较合理呢？大家分组讨论一下，提出各自的看法。
（学生分组讨论，教师巡视并参与讨论，讨论后各小组派代表汇报）
生1：用1000元来表示员工的月平均工资好像有点不够合理。
生2：是的，我们也认为不太合理，原因可能是经理、副经理的工资比其他人员高得太多了。
生3：我们组认为用700元、650元、600元表示工作人员月工资水平比较合理。
（学生通过观察和初步分析，已经感觉到了“极端”数据的“作梗”，并有了选择“中位数”的直觉）
师：大家都很善于分析，提出了自己的看法。究竟哪个数能合理表示他们的月工资水平呢？为了帮助大家解开这个“谜”，同学们和老师一起来认识两个“新数”好吗？（教师板书课题，学生自学课本）
师：根据你们自学的情况，你们能重新描述一下这个超市工作人员的月工资情况吗？
生1：我用连加方法算出了这个超市工作人员的月工资总额是11000元。
生2：每个员工的月平均工资是1000元。
师：月平均工资是表示超市工作人员月工资水平的一种方法，但是合理吗？你们有其他的想法吗?
生2：我想，还可以用650元表示月工资水平。
师：有什么理由？
生2：650是中位数。
师：大家同意吗？
生3：同意。因为650正好是中间一个数，有一定的代表性。
师：说得好。那么什么叫中位数呢？
生4：把这组数据按照月工资数的多少来把每个人排队，排在中间的是第4个员工，月工资650元。
生5：就是按月工资的多少来把每个人排队，排在中间的员工的月工资是650元。
生6：这个超市工作人员的月工资大多数是600元，（停顿片刻）好像不是大多数，是――
师：现在遇到障碍了，他拿不定主意是不是大多数。谁来帮帮他？
生7：应该是大多数。实际上一共有4个员工的月工资是600元，但没超过半数。
师：是否要超过半数，也就是说有6个员工的月工资是600元才是大多数呢？
生8：好像不是，月工资是600元的不到一半，但还是最多的。应该是月工资是600元的员工最多。
生9：这个超市工作人员的月工资可以用600元来表示。
师：好，谁再来说一说理由。
生10：600出现了4次，出现的次数最多。也就是有4个员工的工资是600元，这里600就是众数，有一定的代表性，比较合理。
师：很好！什么叫众数，大家看书上的表述，一起朗读。
师：通过刚才的两个新的统计量的学习，现在我们再来作最后的评判：究竟用哪个数表示超市工作人员月工资水平较为合理？并说说你的想法。
生11：用众数600元表示他们的工资水平都比较合理，因为这个超市工作人员的月工资是600元的人数最多。
生12：按工资表上从大到小排列的数来看，中间的650元（中位数）或出现次数比较多的600元（众数）表示他们的平均水平都比较合理。
生13：看来现在我们求月工资水平要根据实际情况去选择运用平均数、中位数或众数来表示了。
师：说得好极了！
【反思】《数学课程标准》指出，应注重学生对数据的理解分析，让学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程，帮助学生建立起数据分析的观念。为了落实这一教学目标，教师主要采取了三个步骤：首先，针对小学生的认知特点，利用学生已有的生活经验，创设一个教学活动的动力发动过程。毕竟对一个小学生来说，要进行数据分析，并能形成自己对数据的理解，的确是一件枯燥无味的事。“王叔叔真的上当了吗？”这一问题情境的创设，就是让学生能带着情境中遇到的问题，带着明确的任务，更积极、更主动、更深入地参与讨论，起到了“设疑激趣”的效果。接着，教师创设了一个对比理解、讨论分析的环节，让学生体会用哪个数能“合理表示”，产生思维碰撞，燃起学生的思维火花。因为学生已学过“平均数”这一内容，自然对“一组数据的平均水平”这一问题会直接用求平均数的方法进行解答。学生没有想到所学的这组数据受到了几个“极端”数据的影响，更没有想到对数据分析的方法不是唯一的，需要根据问题的背景去选择合适的方法。学生的这一内在需要，使教学顺理成章、水到渠成地引入到新知学习中。最后，在新知学习获得新的统计量的基础上，是学生进一步经历对数据进行比较和分析的过程，是学生清晰理解什么数是“能否表示”和“能合理地表示”，并针对具体情况正确选择运用平均数、中位数和众数的过程。这一过程的推进仍然是在合适的情境中进行与完成。学生在运用中进一步加深了对数据分析的重要性认识，体会到了数学在现实生活中的应用价值。（作者单位：江西省余江县平定乡中心小学 江西省鹰潭市工业园区小英小学）
本教学设计突出了以下方面：
一是把众数放在有意义的现实情境中学习。众数是在现实需要的基础上产生和学习的统计量。因此，众数的学习不能也不应该脱离现实情境。在本节课中，李阿姨应聘、我给鞋店当参谋、体育运动训练等现实情境都为学生认识、理解和运用众数取了极好的促进作用。有了这些典型的现实情境作支撑，学生就能自然感受到学习众数有趣而且有用。
二是把众数放在新旧知识的对比中学习。在认识众数之前，学生已经认识了平均数和中位数。在新课的引入中，教师巧妙地利用平均数制造冲突；在新课的学习中，教师注重了对平均数、中位数、众数的数学意义和统计意义的比较；在新课的练习中，教师强化了平均数、中位数和众数在现实生活中的灵活运用。
三是把众数放在学生自主活动中学习。在这一教学设计中，学生的学习活动始终是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生有足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理、验证等活动过程；学生能以认知发展水平和已有的经验为基础，主动探索、合作交流，理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，开展必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
众数教学反思（二）
本节课的课堂非常豪放，非常轻松，富有生机。整节课至始至终老师都不包办，充分体现学生为主体。
首先，我把课题更改为《寻找数据的代表》，而不是直接写成《众数》。这样做的目的，一是让学生和听课老师都有新鲜感，有强烈的未知欲望。第二也能充分体现本节课的教学内容。本节课不但要学习众数，还有很重要的一个目的就是要根据不同的数据特点和实际需要寻找不同的数据代表。所以，本人认为把课题更改为《寻找数据的代表》还是挺好的。
第二，导入课题体现新课程要求。我是设计学生熟悉的、喜欢的姚明的身高入手让学生寻找代表中国人身高的数据，然后出示国家统计局有权威的统计情况说服学生可以用平均数代表。再结合老师本人的身高设计两个对比例子：老师的身高是中国成年女性平均身高的中等偏上对吗？老师的身高是五个同事平均身高的中等偏下对吗？通过让学生对比，可知平均数和中位数虽然都可以表示一组数据的集中情况，但平均数有它的缺点容易受极端数据的影响，而中位数恰恰又能弥补这个缺点。虽然都是身高问题，有时要用平均数表示合适，有时要用中位数更合适。这样设计目的一让学生知道数学紧密联系生活，二能为后面的学习众数和三者的对比都起着铺垫的作用，从而很顺利地引出本节课我们继续寻找数据代表的课题。
第三，要让学生有问题思考，有话可说。这样做才能挖掘出学生的潜能。
2、引导学生用自己语言阐述众数概念。在讲到众数的概念时我是让学生用自己的语言来阐述，学生们在阐述过程中互相补充不断完善，学习效果挺好的。而且为了强调众数的众表示众多的意思时，我说是端午节吃粽子的“粽”吗？是植树节种树的“种”吗？学生说是群众的“众”，众多的“众”，于是我又顺便让学生用“众”字组几个成语，同学们举了很多成语：众目睽睽，众志成城……等等。不但与语文学科进行了整合，还进一步帮助理解了众数的含义。
3、讲完如何求众数，让学生猜一猜在求众数的过程中可能会遇到什么情况？学生们说得很好，有的说会遇到一组数据非常多的情况；有的说可能众数和中位数是同一个数；有的说可能出现多个众数，也在可能没有众数现象。本人认为只要放手，学生的思维都可以很活跃的。
本人有一个思考：就是在教学设计中，让学生寻找“生活中用到众数原理”的事例后，下个环节是出示一组数据让学生先求出平均数、中位数和众数？然后思考“一个数变化，平均数、中位数和众数会变吗？”这样的一个问题，目的是要为后面的比较三者之间的联系作准备。课后我在思考：学生寻找的生活例子的环节是高潮环节，学生学习热情高昂，举的例子也非常经典，能否把学生举出的实际例子直接运用升华到“一个数变化，平均数、中位数和众数会变吗？”这样的问题上呢？如果能这样设计效果一定会棒的。可见，今后在教学设计上还要再大胆些，一定要进一步创新！
众数教学反思（三）
这节课是在学生已经掌握“平均数”和“中位数”的基础上教学的，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系现实生活培养学生应用数学意识和创新能力的非常好的素材课，我以学生自己设计的个性作业——整理个人的资料为突破口，从资料中提取选拔参赛选手人数为话题，通过学生搜集数据、整理数据为契机，培养学生应用数学意识和创新的能力，在小组交流、合作中较为轻松地认识了众数。在引出众数概念的时候，我没有刻意制造悬念让学生去猜，去想，而是当学生认识了众数以后，以生活实例为背景，让学生通过具体事实加深理解众数的概念，帮助学生完善新知的建构。通过提出竞争性的语言，给学生以莫大的动力，使学生在合作学习中愉快的学习，转变学生的学习方式，让学生去探究、去发现。因为鲜活的资料就在自己的身边，生动的实例吸引和鼓舞了学生，在整个教学活动中，创设情境贯穿始终，学生倍感亲切，他们感到数学真的就在身边！各种真实的，贴近生活的素材和适当的问题情境，使学生在探索与思考中激发了学习数学的热情和兴趣；在小组讨论中，提高了合作意识与参与能力。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的特征。
计算平均数时,所有数据都参与运算,能充分地利用数据所提供的信息。在现实生活中常用,但易受极端值的影响。它代表一组数据的“一般水平”。
中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小,但不能充分利用所有数据的信息。它代表一组数据的“中等水平”。
一组数据中某些数据多次重复出现时,众数又是大家关心的一个量,但若各个数据重复次数大致相等时,众数就没有特别意义了。它代表一组数据的 “多数水平”。
同学们要根据平均数、中位数和众数的特征和具体问题中调查目标的不同,有选择地使用它们。
二、典型示例
例1(2011年张家界市)一家鞋店对上一周某品牌女鞋的销量统计如下：
尺码(厘米)2222。52323。52424。525销量(双)12511731该店决定本周进货时，多进一些尺码为23。5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是
A.平均数B.中位数
C.方差D.众数
解析平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量。销量大的尺码就是这组数据的众数，故选D.
例2(2011年遵义)今年5月，某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛。若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的
A.中位数B.平均数
C.众数D.方差
解析进入前8名，就是说要把17人的成绩按大小顺序排列，自己的成绩与正中间的成绩相比，因而要了解全部成绩的中位数，选A.
例3(2008年扬州)星期天上午，茱萸湾动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下所示：
年龄1314151617人数21412年龄34563457人数122311(1)根据上述数据完成下表：
平均数中位数众数方差甲队游客年龄1515乙队游客年龄15411。4(2)根据前面的统计分析，回答下列问题：
①能代表甲队游客一般年龄的统计数据是；
②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？
解析(1)151。85。56(甲队的方差暂时不会求，但不影响第(2)的解答)。
(2)①由于平均数、中位数、众数数值一样，所以平均数、中位数、众数中的任意一个均可； ②平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征。因为平均数易受极端值的影响，而乙队游客年龄中含有两个极端值，平均数高于大部分成员的年龄。
小结对于一组数据来说,都有平均数和中位数,有时有众数,但对于一组表示实际问题的数据来说,这三个数不一定都有意义。哪个数据受到人们的关注,取决于数据的特点和调查的目的,望同学们仔细体会。
人教版五年级下册第六单元统计――众数。
二、教学目标
1.让学生理解众数的含义，会求一组数据的众数，理解众数在统计学上的意义。
2.能在具体情境中灵活选择适当的的统计量表示一组数据的特点。
3.提高学生独立思考、勇于创新、小组协作的能力。
三、教学重难点
教学重点：认识众数，理解众数的含义及作用。
教学难点：能在具体情境中灵活选择适当的统计量表示一组数据的特点，并能根据统计量对事物的发展进行简单的预测。
四、教学过程
（一）复习导入
1.师在黑板上写“统计量”三个字。
师问：老师写的是什么字？ 生答：
师问：你能根据这三个字提出问题吗？ 生答：
2.师再写几个字（平均数、中位数）。
3.这是我们以前学过的统计量，谁会求平均数？中位数怎么求？
（设计意图：主要是为了唤起学生的记忆，也是为后面的学习奠定基础。由于学生对于平均数与中位数的学习已有一段时间，可能有所遗忘。）
（二）教授新课
1.创设情景，激发兴趣
六一儿童节是我们重要的节日，为了庆祝“六一”儿童节，学校将举行一场舞蹈比赛。各个班级就要开始积极准备了。学校规定每班选10名队员，所以班级要先进行一次选拔，大家说选什么条件的合适呢？
2.学习新知
（1）出示课本122页的例1
（2）根据以上的数据，你认为参赛队员的身高是多少比较合适？
（3）小组合作，找出选参赛队员的标准。
（4）汇报交流，学生观察发现利用平均数和中位数不能解决这个问题，为了使身高比较均匀，我们一般不去考虑身高的平均数，也不去考虑排在最中间的是谁，我们考虑的是出现次数最多的众数。这就是我们今天要学习的众数。
（5）理解“众数”
“众”是什么意思？那在我们数学当中，怎样的数是一组数据中的众数呢？
（6）那刚才这组数据中，谁是众数？它代表谁的身高？
（设计意图：本课的重点不仅是能求众数，还要理解众数的含义。为了让学生对众数的认识能更进一步，培养学生的探究能力与合作能力，先让学生通过计算，对比分析，发现利用平均数和中位数不能解决这个问题，引出学生探求的兴趣，在让学生找到1.52m为标准时，发现众数是最佳方案，也为在具体问题中区分平均数、中位数与众数埋下伏笔。）
（三）练习巩固，加深理解
1.出示做一做
五（1）班全体同学左眼视力情况如下
5.0 4.9 5.3 5.2 4.7 5.2 4.8 5.1 5.3 5.2
4.8 5.0 4.5 5.1 4.9 5.1 4.7 5.0 4.8 5.1
5.0 4.8 4.9 5.1 4.5 5.1 4.6 5.1 4.7 5.1
5.0 5.1 5.1 4.9 5.0 5.1 5.2 5.1 4.6 5.0
（1）根据上面的数据完成下面的统计表。
左眼视力 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3
人数
（2）这组数据的中位数、众数各是多少？
（3）你认为用哪一个数据代表全班同学视力的一般水平比较合适？
（4）视力在4.9及以下为近视，五（1）班同学左眼的视力如何？你对他们有什么建议？
让学生合作完成，并展示汇报。
（设计意图：结合身边的数学，让学生体会统计知识和方法在实际生活中的应用，更进一步理解众数，适时引导用眼卫生，保护视力对生活、学习的重要性。）
2.思考填空
（1）平均数的大小与这一组数据里每个数据的（ ）有关系。
（2）中位数处于这组数据的（ ）。
（3）众数只关注（ ）。
（设计意图：通过填空获得众数、平均数、中位数的区别。）
3.售鞋问题
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
师：从表格中，你发现了什么？如果你是这家鞋店的经理，你会怎样进货？
（设计意图：怎样让学生在现实生活中灵活运用众数？学生从“假如你是鞋店经理，你会怎样进货？”的活动，充分体会到了众数在生活中另一层面的运用。）
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（五）课堂检测
某小组同学进行5分钟踢毽子比赛，每个成员的成绩如下：
134，131，131，121，130，126，162，131，122。
（1）这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少？
《众数》这节课属于小学数学“统计与概率”领域的内容，它的学习是在同学们已经初步理解平均数、中位数的意义，并会求一组简单数据的平均数、中位数的基础上进行的。教学时应通过丰富的生活情境将学生的学习融入其中，让学生在经历收集、整理、描述、分析等活动中理解众数并能根据实际情况灵活选择平均数、中位数、众数这三种统计量。感受它们在生活中的广泛应用。培养学生的统计意识，发展学生的数据分析观念。
在《课标》中，对统计与概率的总体要求是：要使学生“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，体会统计方法的意义，发展数据分析观念。”因此，我认为《众数》这一课的具体目标应该是：
1、联系学生生活实际创设情境，使学生通过观察、思考，正确认识什么是众数。
2、使学生经历用众数描述数据的全过程，体会众数的特点和作用。
3、通过自主探索合作交流，学生能根据数据中的信息进行简单的分析比较和判断预测，进一步增强数据分析观念，提高数据分析能力。
理解众数的意义及特点是本节课的一个重点。让学生学会选择恰当的统计量，表示数据的不同特点则是本节课的一个难点。为了突出重点、突破难点我设计了四个环节：创设情境、认识众数；依据情境、理解众数；分析比较、应用众数；全课小结，课后延伸。
一、创设情境，认识众数
教师设计一个猜年龄的游戏：（课件出示情境）有六个人在公园里做游戏，他们的平均年龄是15岁。猜一猜他们的年龄有可能是多少岁？学生运用已有知识经验，发挥自己的想象进行预测，教师从中揭示中位数和平均数并引出众数，接着解释 “众数”并揭示课题。
[设计意图：兴趣是学生主动学习，积极思维，勇于探索的内在动力。《课标》中也明确“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”，根据学生心理特征和已有的经验为背景设计的“猜年龄游戏”把学生的注意力锁定在课堂的数学思考中，从而引发认知冲突，感知众数的作用。引出今天的课题――众数。]
二、依据情境，理解众数。
这一环节是本课的重点，我分两个小环节完成。
1.问题引领，共同探究。
教师先出示例1情境――五年级要进行一次集体舞比赛，五（2）班准备选10名同学组队参加，既然是跳集体舞，就要选舞姿比较好的同学，经过第一轮的选拔，老师选出了20位舞姿比较好的同学。请同学们思考：接下来，该按什么条件去选出10位同学？师生共同讨论后让同学们试着来选择合适的身高。这一环节就是对平均数、中位数、众数三个统计量进行讨论，最后在同学们的辨析中得出要做到人员的相对齐整，就应该选择众数这个统计量。
[设计意图：观念的建立需要人们亲身的经历。要使学生逐步建立数据分析观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动中去。教师依据教材创设选集体舞队员的情境，提出问题给予空间与和时间让学生投入到运用统计解决实际问题的活动中，培养他们有意识地从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据再选择统计量。在选择时引发认知冲突，让学生感受到众数在生活中的应用，更好的理解众数能反映一组数据的集中水平或集中趋势这一特点。体会统计可以对相关事件做出决策。]
2.变教为引，自主学习。
为说明一组数据中众数的情况是不一样的，我设计了“找众数”环节：出示两班同学英语听写竞赛的成绩，其中第一组是有两个众数的，第二组是没有众数的。这样学生对众数就会有进一步的理解了。
[设计意图：充分利用教材习题资源，创设有效的情境，引领学生通过自主学习去发现、去探究，感悟到众数的特征。让学生在“发现的”过程中感受到学习数学的快乐。]
三、分析比较，应用众数
1.左眼视力调查情况。
先出示左眼视力的数据，让学生根据数据完成统计表并找出这组数据中的中位数和众数。小组讨论交流汇报：哪一个数据代表全班同学视力的平均水平比较合适。最后让学生给近视的同学提出建议。
[设计意图：教师注意创设情境，引导学生经历统计活动的全过程。对近视同学提建议这个环节，体现数学融入生活，并为生活服务。统计可以对出现的现象做出分析。]
2.今天当经理。
根据鞋店销售情况统计表，设计情景：如果你是鞋店的经理，怎样进货？
[设计意图：通过这一情境使学生认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。认识到统计在社会生活及科学领域中的应用。]
3.选择哪个统计量
让学生依据三个统计量的特点分析判断，在具体情境中选择使用哪一个统计量比较合适，用线连出来。
【设计意图：本环节是对三个统计量的对比理解。学生通过分析整理生活中存在的这些问题，选择合适的统计量。培养学生交流信息的能力，使学生能运用数学语言合乎逻辑的进行讨论与质疑。】
四、全课小结，课后延伸
让学生谈谈这堂课的收获，加深对众数的理解。出示生活中的数学，有关均码的介绍，拓宽知识面。让学生发现生活中处处有数学，培养学生学数学、用数学的浓厚兴趣。
[设计意图：本环节是学生对本课所学知识进行回顾整理的过程，使学生头脑中再现：发现问题，解决问题的过程，给学生机会去表达成功的喜悦。]
论文关键词：数学思考，过程与结论，因势利导
“果”即结论、结果，即“是什么”的问题。数学学习的过程固然重要，但结论的重要性也不亚于学习过程，它是学生经历学习过程的结晶，也是数学教学的落脚点。因此，我们既要重视数学结论的推导过程，更要重视数学结论引导与概括。教学中应精心选取素材，为数学结论的构建营造局势，在结论形成过程准确把握诱导的火候，由浅入深，由此及彼，多层面组织学生对所发生的数学现象进行分析和讨论，坚持集思广益而不迷失结论方向，巧妙地抓住与结论方向性很强的信息，有计划有目的地促进数学结论的生成。
一、在猜测活动中追问“可能是什么”。
【案例1】“可能与谁有关？”
“3的倍特征”激趣导入：
师：谁能说说2和5的倍数各有什么特征？
生：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。
师：假若给你一个数数学思考，要判断是不是2和5的倍数，你该怎么做？
生：我看个位上的数字来判断。
师：只需要看个位吗？其它位上的数字要不要看？
（生慎思后，齐答）不要！
师：看来2和5的倍数特征及判断方法都搞清楚了！受刚才的启发，你觉得3的倍数有特征可循吗？（估计有吧！？）
师：谁来猜猜3的倍数特征可能与谁有关？
生1：与个位上的数字有关系，你看，2和5的倍数特征就得看个位。
生2：个位上是3、6、9的数是3的倍数。
生3：（反对）16个位上是6就不是3的倍数。
师：是啊！13、16、19……好像都不是耶？看来3的倍数与个位是有关系，但不是唯一关系。可能还与谁有更大的关系呢？
生4：估计与十位也有关系，你看，3、6、9是3的倍数，但加了十位的1后就不是了，都是十位上的数字惹得祸！
生5：是的，13不是3的倍数，但33就是3的倍数了，所以与十位上的数字也有关系。
师：有点道理！如果不止两位数，是三位数、四位数呢？
生5：(接着)那肯定与个位、十位、百位、千位……每位上的数字都有关系。
……
师：你们的猜想不仅丰富，而且还有那么一点理性。下面请验证各自的猜想吧！
“数学本身就是一个充满着猜想的世界论文服务。”猜想是激起孩子们探究兴趣，打开思维闸门的突破口。当学生对2和5倍数特征的判断方法有了深入的认识后，老师顺势引出一个问题：“3的倍数会有什么特征呢？”学生难免会受到2、5倍数特征的启发，去主动探索3的倍数特征。为了将学生的思维导向教学目标，老师开展了两个层次的追问：首先让学生猜测3的倍数特征与谁有关，这是由2和5的倍数特征发展到3的特征的研究的自然延伸，学生自然会想到与个位有关系，只是迁移起了作用，并不是问题的本质之所在。接着老师顺势引导：3、6、9是3的倍数不错，但如果十位上为1的话，都不是3的倍数了，怎么办呢？会不会与十位上的数字也有关系？如果仅仅考虑了十位上的数字还不行，与百位、千位……都有关系呀！学生能从对个位数字的关注，扩展到对各位数字的关注，具有非常重要的意义。这一思维过程的发展源于老师对“可能是什么”的追问，自然导入下文的验证活动，水到渠成。
二、在认知活动中追问“究竟是什么”。
【案例2】“到底什么不同？”
“平均分”一课揭示“平均分”的意义：
师：现在有相同的六本笔记本要奖给口算比赛的前三名数学思考，你会怎么分？
生1：每人2本，这样公平。
生2：第一名分4本，其他两人，每人分1本，以突出第一名。
生3：我觉得按3，2，1这样分比较合理。
师：那么请小朋友仔细观察这三种分法，你觉得有什么不同？
生：数字不同。
师：哦，你发现数字不同，请你具体说说数字上到底出现了什么样的不同？
生1：第1种方法分得是2、2、2，第2种方法分得是4、1、1，第3种方法分得是3、2、1.
生2：第1种分法每个人都是2本，第2、3种分法每人的本数不相同，但也有道理。
生3：第1种分法更平均一点，如果分糖果的话，我觉得还是平均一点好。
……
师：刚才这个同学说到了了一个很重要的词语“平均”，其实第1种分法就叫做平均分。谁能来说说你对平均分的理解？
为了导出“平均分”的概念，老师创设了一个如何分奖品的问题情境，而后就是导出结论的过程。看看老师环环相扣的导语，就能明白其良苦用心。“你会怎么分”—“分法有什么不同”—“数字到底有什么不同”，其目的是顺着学生的思维走向，不断地暗示思考的方向，有序地拓展思维的层次，坚持将“平均分”的概念渗透在物品分类的过程中，渗透在数字特点的观察里，形成在数学现象的分析讨论中。
三、在探究活动中追问“还会是什么”。
【案例3】“还可能出现什么情况？”
“众数”概念初步建立之后：
师：假若我给你一组数据，你会找众数了吗？
生：会！看哪个数出现的次数最多，那个数就是众数。
师：是不是一定能找到出现次数最多的那一个数呢？
生：（迟疑）不一定吧！
师：那可能出现什么情况？
生1：有可能两个数出现的次数是一样的，而且次数是最多的。
师：会不会有这种可能？（生表示有）这时候众数又是谁呢？
生1：（补充）这两个数的平均数是众数。
生2：（反驳）也许那两个数的平均数一次都没出现，我觉得不能叫众数。
师：有道理！其实这时候就不止一个众数了，这两个数都是众数。
师：除此之外，还可能出现什么情况呢？
生：那就是每个数出现的次数都一样数学思考，如1次。
师：这种情况会不会？（点头表示会）对呀，这时候谁又是众数呢？
生1：所有的数都是众数。
生2：众数的“众”有“多”的意思，各出现一次能叫多吗？我觉得它没有众数。
……
师：是啊！当每个数据出现的次数一样，我们找不到出现次数最多的时候，那就没有众数。
师：通过刚才的讨论，我们发现众数其实有三种情况：即只有一个众数、不止一个众数、没有众数。能理解吗？
理解众数的意义并不难，抓住关键词“出现次数最多”就可以了。但实际情况中，“次数最多”就不好把握了。为了深入理解“众数”的涵义，老师先抛出了一个问题“是否一定能找到出现次数最多的那一个数呢？”一石激起千层浪，引起了学生的注意，“那可不一定吧”论文服务。紧接着老师引导学生分析了两种情况：一是出现次数最多的数不止一个，二是每个数出现的次数都相同。通过讨论与交流活动，学生深入其中，把求众数的三种情况剖析得淋漓尽致。
四、在小结活动中追问“应该是什么”。
【案例2】“你觉得应该圈什么？”
教学“通分”后，老师根据板书组织小结：
师：黑板上写的知识点，你看得懂吗？（老师引导学生全面建构一遍）
师：老师这里有一枝红粉笔，如果让你把重点的、关键的、有价值的东西圈起来，你觉得应该圈什么呢？同桌先说一说。
（生交流2分钟，指一生上台圈一圈）
师：别急！你们猜猜他会圈什么？
生1：我觉得他会圈“同分母”，因为只有化成了同分母了才完成了通分的任务。
生2：我觉得他会圈“最小公倍数”，因为最小公倍数是最简洁的公分母。
生3：我觉得他会圈“分数的基本性质”，因为分数的基本性质是通分的基础，如果在通分的过程中分数的大小发生了变化，那就不叫通分了。
……
（此时生再圈一圈，并说明理由）
师：看来这些都是重点，都是大家所必须理解和掌握的知识。也是，只有你们把这些因素都考虑进去了，通分才不会出问题。
这节课的小结，与众不同的是，教师巧妙地利用“圈一圈”的方式，组织学生一同经历了审视和反思知识要点的过程。仔细分析，不难发现数学思考，此处的“圈一圈”活动并不是简单的圈圈而已，而是在老师的两句导语“你觉得应该圈什么”和“你猜猜他会圈什么”的引导下，先同桌交流，促进个体对知识点的内化，而后集体交流，展示大家对知识点的思考与关注。从而完成了从整体到局部再到整体的构建过程，收到了较好的效果。
回顾上述案例，我的想法是：在结论的产生前引发学生多角度猜想，发展思维的预见力；在结论的形成中引导学生深入辨析，增强思维的辨证力；在结论的构建中引导学生自主审视，提升思维的反思力。总之，课堂是发展思维能力的主阵地，教师是思维发展活动的“导演”。在课堂教学中我们要善于抓住每个契机，因势利导，引发学生深入思考，努力打造“深思课堂”，全面提升学生的思维品质。
【参考文献】
1.詹明道.《名师课堂经典细节》.江苏：江苏人民出版社,2007.1
2.黄爱华.《黄爱华与智慧课堂》.北京：北京师范大学出版社，2006.4
众源地理数据具有以下10个特点:1)现势性高。众源地理数据具有明显的实时更新特点,现势性高。例如,堵在路上的行车者往往会将道路拥堵信息于Twitter、微博、Wikiloc、GPSies等网站。2)传播快。众源地理数据大多来自于互联网,借助社交网站和当地新闻等传媒系统的传播能力,进行快速传播和扩散。例如,美国加州2009年5月的Jesusita火灾期间,通过建立地图式火灾监视网站,迅速整合、了来自各种VGI和当地官方的实时火灾信息[7]。3)信息丰富。众源地理数据与人类活动及社会发展紧密相关,具有丰富的社会化属性、语义信息和时序信息。其参与创建的广泛性又使得众源地理数据能从更多角度,更多方面对地理要素进行描述。4)成本低。众源地理数据大多来自网民自发或无意采集的地理数据,其采集和处理的成本很低,极大地降低了地理信息获取和使用的成本,将更有效地促进地理信息技术的推广应用。5)数据量大。众源地理数据大多来自互联网用户有意或无意提交的地理数据,互联网用户群的迅速发展带来了众源地理数据的激增。无论是像OSM这样的共享网站,还是具体的众源地理数据使用者,均需面对海量众源地理数据的高效存储以及网络共享中的快速传输等问题。6)质量各异。众源地理数据主要由民众提供,其提供过程非常自由,参与人群非常广泛,所采用的数据采集设备精度不一,创建编辑过程中所用比例尺、采样精度不一,使得众源地理数据质量存在较大差异,甚至混杂着错误或恶意扭曲的成分。7)冗余而又不完整。众源地理数据主要由非专业人员创建,缺乏数据完整性,难以满足一些专业的地理数据要求,同时经过多人多次提交或多次编辑的众源地理数据存在着大量冗余。8)覆盖不均匀。众源地理数据虽然来源广泛,但是区域覆盖极其不均匀。例如OSM数据在英国伦敦的数据覆盖率明显高于中国湖北省的覆盖率。9)缺少统一规范。众源地理数据来源广泛,数据格式各异,不同数据的内容不同,数据组织和存储方式也千差万别。10)隐私与安全难以控制。自由创建和分享的众源地理数据有时会对他人及一些组织的隐私和安全问题产生影响。
2众源地理数据的来源与获取方法
2.1众源地理数据的来源
众源地理数据的来源主要包括:1)公共版权数据。这一类数据多由政府部门、企业、公益组织以网站或网络服务的形式,例如GoogleMap网站提供的正射影像,OpenStreetMap网站提供的交通路网等。也有一些部门和企业免费赠送的地理数据,例如Open-StreetMap上部分国家的主干交通数据由汽车导航数据公司AND(AutomotiveNavigationData)赠送[13]。2)GPS接收机数据。主要包括三类:①应某些组织和项目请求而特意收集GPS数据的志愿者;②共享自己拥有的有价值的GPS数据的普通人或组织;③相对被动、无意识上传GPS数据的网民,如“街旁网”用户的手机“签到”会上传GPS定位数据。3)网民自发创建的地理数据。OpenStreet-Map、Wikimapia等网站向用户提供了创建地理对象的功能。部分网民出于自我满足、利他主义、兴趣或是描述周围环境等目的[14],主动地在这些网站上创建、编辑、描述各种地理对象。GoogleEarth甚至允许用户对感兴趣的地物进行三维建模。4)Web2.0催生的其他地理数据。Web2.0简化了客户交互过程,出于信息共享和社交目的,部分民众积极地将自己的信息到网上,这些信息可能包含了地理数据。例如Flickr提供了上传照片并在地图上关联实际地理位置的功能。类似的数据源使得众源地理数据的种类更多样化、更完整。
2.2众源地理数据的获取方法
众源地理数据的获取一般包括以下环节:1)下载初始化设置。包括设定下载API和登录信息,选定数据范围(包括空间范围和时间范围等)。根据研究目标,指定行政区划或区域边界坐标,或指定用户某时间段所的数据等,作为待获取数据的区域或范围。2)数据获取。利用开放的众源地理数据网站所提供的API接口,如GoogleMapAPI,GoogleEarthAPI,街旁OpenAPI,FacebookAPI等,在网站所提供权限范围内,实现所选区域数据的直接读取。也可以利用网络爬虫技术设计专用的网页分析算法,从互联网上搜索并下载GPS路线数据、矢量地图数据等。3)数据规范化分析与转换。众源地理数据具有多源异构性,其存储格式多样、时间版本不一、坐标体系相异。合理有效地利用众源地理数据需要对其数据格式进行分析,利用文本解析、空间数据引擎等技术将众源地理数据转换为在统一存储格式、坐标体系及概念体系下表达的空间数据,并建立相应的众源地理数据表达规范。4)数据入库。将众源地理数据按统一规范转换后,将其导入到空间数据库中进行存储和管理。
3众源地理数据处理与分析的关键技术
3.1众源地理数据的质量评价方法
众源地理数据一般由缺乏足够地理信息知识和专业训练的非专业人员提供,因此存在数据质量问题,使用时需考虑其冗余性,有效性,完整性和精确性等。如何对众源地理数据的质量进行分析和评价是需要研究的首要问题[4,15]。众源地理数据的质量是影响众源地理数据广泛应用的重要因素。Oort(2006)总结了空间数据质量需要考虑的11个指标:数据来源、空间精度、时间精度、属性精度、逻辑连贯性、数据完整性、语义准确率、元数据质量、分辨率、数据使用目的和质量变化等。众源地理数据的质量分析在用以上全部或部分指标作为评价标准的同时,还应加入对数据提供者的质量评价,充分考虑人为因素对数据质量的影响,建立更加有效的质量分析和评价模型,从而保证众源地理数据的有效性和可用性。影响众源地理数据质量的因素主要包括三个方面:①数据的采集或地图的绘制由非专业人员提供,可能存在一定的人为误差;②数据可能来自不同的数据源,具有不同等级的精度;③不同采集者使用不同精度的GPS,采集的数据精度存在差异。众源地理数据的精度不能依靠常规的地图精度评定方法评估,需要选择合适的质量要素建立质量分析模型,依据质量分析模型与精度更高的数据进行分析对比来评估其数据质量。目前,国外专家已经对欧洲地区的OSM数据质量问题进行了研究。如对英国地区的OSM数据质量进行分析,从定位精度和数据完整度两个方面建立OSM数据的质量评估模型;在评估希腊首都雅典的OSM数据质量时,将数据质量评估模型扩展到长度完整度、名称完整度、类型精度、名称精度和定位精度等方面。从OSM数据的完整度、专题精度、定位精度三个方面对OSM数据质量进行了分析研究[16-18]。数据提供者的非专业性是众源地理数据质量不确定性的重要原因,Grira等人指出众源地理数据的使用者和提供者在众源数据上下文中具有认知区别[19],有必要建立针对数据提供者的评价模型。Exel等人提出在众源地理数据的质量控制指标中增加用户指标[20],如用户的数据上传次数、修改次数、反馈意见等,从而建立用户质量测度模型,实现众源地理数据的质量控制。
3.2众源地理数据的信息提取与更新方法
众源地理数据的信息提取与更新是以众源地理数据作为数据源,以其低成本和高时效的优势实现地理信息的快速提取和及时更新。它是传统地理信息更新方法的重要补充,在特定情况下可以发挥不可替代的作用。如Goodchild指出,在面对印度洋海啸等严重自然灾害时,从传统的遥感影像上获取道路因影像有云或浓烟遮蔽受限制时,利用当地众源用户在GoogleEarth上及时标识的地物信息来补充数据库就更加高效[4]。近年来国内外开展了一些利用众源数据进行地理信息提取和更新的方法和应用研究。在灾害快速响应方面,众源地理数据发挥了重大作用。美国圣巴巴拉市的4次大型火灾案例研究表明,尽快建立新的道路数据库可以提供有效的逃生路线[7]。海地大地震后,大众在OpenStreetMap上协作完成道路、房屋和其他地物的重新编辑以建立震后地理数据库,利用常规测绘方式需花费上万英镑,同时耗时几年,而利用众源地理数据仅用了三个星期[8]。众源地理数据用于城市道路设计能较大提高人们的满意度,Seeger指出众源地理数据在良好引导和补充城市规划道路数据库更新和重构中将发挥积极作用[15]。Steffen在Geo-Wiki项目中利用众源用户对数据库中地物属性信息进行补充和修改[6],能明显提高效率及可靠性。众源地理数据提供的纹理和三维信息,被O-ver等结合DEM经综合生成了三维可视化数据库模型[21]。Zhang等利用众源GPS轨迹数据,在行进方向的法线上进行模糊C-均值聚类,将相邻车道分开,建立了几何精度较好的道路数据库,可用于数据库更新[22]。Mondzech与Sester指出众源地理数据应用于行人导航比现存地形图数据库更有优势,因为它更新快且提供了大量真实的快捷路径,众源地理数据可对传统数据库进行很好的补充[23]。众源地理数据为建立和更新地理数据库提供了一种不同于传统测绘方式的新途径。它不仅能有效地提取道路等地物和标注属性信息,而且能用于导航数据库的更新。但是由于众源地理数据来源众多且缺少统一规范,存在不足,目前尚未能广泛应用于大区域范围内高精度的数据库更新中。综合以上分析,众源地理数据信息提取与更新的研究思路为:以建立众源数据的质量模型和多源数据配准和变化检测为核心,研究众源地理数据的信息提取与更新的协作机制和方法。主要研究方向包括:①研究实现众源地理数据的高覆盖率和高完整性。众源地理数据虽然来源广泛,但是在单一的某个平台上部分区域的覆盖率存在较大的局限性。需要从现有的众源地理数据平台(Wikimapia、BingMap、GoogleMap等)中获取尽可能多的数据以提高区域覆盖率和属性信息完整性。同时应研究将不同区域的更多用户参与到众源地理数据的协作机制。②建立规范合理的质量模型。为来源广泛、质量各异的众源地理数据建立有效的综合取舍和聚类机制,以及快速处理算法。需要研究数据量和来源控制的范围,从而最有效地得到能满足数据库更新这一应用的数据覆盖率、完整性和几何精度。③提高众源地理数据库的几何精度。可结合高分辨率遥感影像、全景影像、Lidar数据等对初始建立的数据库的几何位置进行精纠正,对不同数据的配准和修正位置精度的算法进行研究。④基于众源地理数据建立地理数据库并进行更新。研究两种不同规范的数据库的配准,对不同时间数据库的几何与属性信息进行比较,发现减少或新增部分,并用判别规则合并两套数据库的信息以实现数据库更新。
3.3众源地理数据的分析与挖掘方法
众源地理数据作为一种由大众采集并向大众提供的开放地理数据,蕴含着丰富的空间信息和规律性知识。利用空间数据分析与挖掘方法可以从中提取信息、挖掘知识,从而为具体应用提供服务。1)众源地理数据拓扑分析。大部分众源地理数据的描述采用的是一种包含拓扑性质的数据结构。如OSM数据中的点、线、面等几何要素及其关系是通过顶点、路线和关系等来描述的。通过对某区域内的要素进行拓扑分析,能发现点、线、面的分布规律,挖掘该区域的空间结构和模式。例如,利用瑞典的OSM数据进行自然道路网络的提取与拓扑分析,发现自然道路网络存在无标度特性[24];利用香港的街道网络数据和年度平均的每天交通流量数据,通过街道网络的拓扑表示和分析,从而进行交通流量预测[25]。进行拓扑分析时经常用到平均度、平均路径长度和聚类系数等统计指标,结合空间统计方法可以探索地理要素的分布结构和模式。在利用众源地理数据进行网络拓扑分析时,可考虑与其他地理数据源集成和综合分析。2)利用众源数据探索地理空间的无标度特性。无标度从数学意义上讲就是某种现象的大小分布服从幂律分布。传统的地理学研究认为地理空间存在高斯分布的特性,而最近基于大量的地理数据的实证研究发现地理空间存在无标度的特性。例如,利用美国的OSM数据进行自然城市的提取与统计分析,发现美国的城市大小(无论是人口还是道路节点的个数)满足齐普夫定律[26];利用欧洲三个国家(英国,德国和法国)的OSM数据进行街区多边形提取与统计分析,发现所有这些街区大小服从Lognormal分布[27];利用TeleAtlasMultiNet地理数据库对德国20个城市的道路网进行统计分析,发现所有道路上的行车时间服从幂律分布,也就是具有无标度特性[28]。3)利用众源地理数据进行导航分析,为人们出行提供帮助。例如,综合应用OSM地图与航空影像研制协作导航系统,结合A*算法和用户评价在交通网络上进行路线计算和搜索,为行动不便以及有个人偏好的行人提供路线设计[29];对OSM的一些城市道路网络数据进行分析,计算转弯最少、路径最短的导航路线[30]。4)众源交通数据挖掘。众源交通数据中隐含着规律性的交通知识。利用空间数据挖掘方法可以挖掘出对交通管理和大众出行具有指导意义的规律性知识。例如,利用伦敦个人摩托车的GPS移动路线研究人们选择路线的偏好,发现路线选择时更多考虑的是角距离而非街区距离,即人们在出行时往往会选择转弯较少的方案[11];利用OSM的大范围道路数据对人们的出行进行模拟研究,认为人们的出行模式主要受路网结构的影响,由此为出行行为和路径优化研究提供了新的视角[31];对基于用户轨迹挖掘的智能位置服务进行研究,探讨了基于个人历史轨迹、多人轨迹数据的大众旅游推荐、个性化朋友和地点推荐等[32]。利用志愿者采集的GPS数据,基于历史位置对用户出行的相似性进行分析和挖掘,有助于探测用户之间的关系以及地理位置的相关性[33];利用志愿者采集的GPS数据研究志愿者的空间移动规律特性,指出该出行距离具有较强的 Levy移动特点,并通过基于的模型进行了验证,有助于人类动力学的实证与机制研究[34]。综合以上分析,众源地理数据分析与挖掘的研究思路为:利用网络拓扑分析、空间数据统计建模、地理模拟、时空数据挖掘、统计物理学等方法对众源地理数据进行分析和挖掘,从中提取空间信息,挖掘空间知识。主要研究方向包括:①众源地理数据的拓扑分析。利用拓扑分析方法研究并构建众源地理数据的网络拓扑关系。②地理空间的无标度分析。利用空间数据统计建模方法研究地理现象的幂律分布。③导航分析:通过众源地理数据的交通流量分析和最优路径分析,为人们的出行提供导航服务。④众源地理数据统计建模:对众源地理数据的统计特性进行探索性分析,构建统计模型并分析其统计规律。⑤出行行为规律分析:利用空间聚类、频繁模式挖掘等空间数据挖掘方法从众源地理数据中挖掘出规律性知识,分析人们的出行规律,从而为大众旅游推荐、个性化朋友和地点推荐等提供基础。⑥人类动力学研究:利用统计物理学方法和地理模拟方法,研究出行距离分布,构建动力学模型,为交通规划设计、传染病控制和无线网络协议设计等提供支持。
4总结与展望
例1 (2006年长春市)某班组织一次数学测试，全班学生成绩的分布情况如图1.
（1）全班学生数学成绩的众数是_______分.全班学生数学成绩为众数的有________人.
（2）全班学生数学成绩的中位数是_______分.
（3）分别计算两个小组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比.
评析：本题主要考查统计学中对条形图的分析，众数、中位数的意义.
思路和解答 众数是出现次数最多的数.求中位数时，先把数据按由小到大排序， 中间一个数(数据个数为奇数时)或中间两个数的平均数(数据个数为偶数时)即为中位数.
（1）95，20. （2）92．5.（3）12/50=24%,13/50=26%,第一、二小组超过全班数学成绩的中位数的人数占全班人数的百分比分别为24%，26%.
例2 (2006年浙江舟山)学习了统计知识后，班主任王老师叫班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，图2和图3是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，计算“步行”部分所对应的圆心角的度数.
（2）求该班共有多少学生?
（3）在图2 中，将表示“乘车”的部分补充完整.
评析：该题将扇形统计和频数分布直方图有机地结合在一起，进一步理解二者的区别和联系.
思路和解答：（1）(1-20%-50%)× 360°=108°.
（2）由扇形统计图得知骑车人数占总人数的50%.又由频数分布直方图得知骑车人数为20，所以该班人数为20÷50%=40.
（3）乘车人为数40-20-12=8.在频数分布直方图中画出.如图4.
练习题
1.(2006年吉林市)在种植西红柿的实验田中，随机抽取10 株，有关统计数据如下表：
（1）这组数据的平均数为_______个，众数为__________个，中位数为__________个.
（2）若实验田中西红柿的总株数为200，则可以估计成熟西红柿的个数为________.
2.(2006年泉州)在“手拉手，献爱心”捐款活动中，某校初三年级5个班的捐款数分别为260，220，240，280，290(单位：元)，则这组数据的极差是__________.
3.(2006年晋江)一组数据-1，0，1，2，3，的方差是_________.
4.(2006年苏州)某校测量了初三(1)班学生的身高(精确到1cm)，按10cm为一段进行分组，得到如图5所示频数分布直方图，则下列说法正确的是() .
A．该班人数最多的身高段的学生数为7人
B．该班身高低于160．5cm的学生数为15人
C．该班身高最高段的学生数为20 人
D．该班身高最高段的学生数为7人