习题教学的探究性思考

思维是从解决问题开始的，而认识问题和明确地提出问题是解决问题的第一步，其主要任务是找出问题的本质，抓住问题的核心。作为数学教学主体的习题教学，更应在识题和提问的环节中帮助学生树立目标意识，自觉地挖掘题目本身的导向功能，使学生养成一个良好的解题习惯，这对培养学生分析和解决问题的能力，发展学生的智力品质是一种有效的途径。特别是对一些具有深刻背景的典型习题更不能轻易放过其教学价值。以下是笔者在高考复习中，针对学生的特点，引导学生对一道习题展开的探究性思考，仅供参考，以求商榷。

问题：已知函数f（x）=x2+ax+b，实数p，q满足p，q∈R+且p+q=1，求证：pf（x）+qf（y）≥f（px+qy）。

这道题是一道不等式的证明题，目的是考察学生掌握不等式证明的基本方法――比较法。学生通过作差、变形，易得pq（x+y）2≥0，从而得证。但如果我们了解到这道题所含的特殊背景，便可从以下几个方向引导学生进行创造性思考。

一、特殊与一般的思考

设疑：若将函数改为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则会对结论产生怎样的影响？

探究：学生重新审视刚才的解题过程，不难发现作差的结果变为

pf（x）+qf（y）-f（px+qy）=…=apq（x-y）2。

当a>0时，pf（x）+qf（y）≥f（px+qy）；

当a

评注：添加二次项系数后，结论更一般了。

二、联想与类比的思考

设疑：若将函数改为我们熟悉的f（x）=1ogax（a>0且a≠1）参数a的范围是否对结论产生同样的影响？试以f（x）=1ogax（a>0且a≠1）为例证明。

探究：学生通过多种方法的尝试，得出以下有效的途径。

pf（x）+qf（y）-f（px+qy）=1oga

=1oga

令t= ，则原式=1oga ，再构造函数g（t）=tp-（pt+q）（t>0）

求导，得g′（t）=ptq-1-p=p ，

g（t）在（0，1]递增，在[1，+∞）递减。

g（t） max=g（1）=0

0< ≤1。

故有，当a>1时，pf（x）+qf（y）≤f（px+qy）

当0

评注：参数a的变化同样影响了图象凸形的改变。

对f（x）=ax（a>0且a≠1）也可以通过作商，构造函数，利用最值求得类似的结果当a>0且a≠1时，

pf（x）+qf（y）≥f（px+qy）。

三、归纳与猜想的思考

设疑：从以上对特殊函数的探究，我们知识pf（x）+qf（y）与f（px+qy）大小关系取决于a的范围，而a的变化会直接影响函数图象凸性的改变，那么是否有某种规律性的结论适用于其它已知或未知的函数呢？

探究：学生通过交流，讨论容易得出以下两种结果：

对实数p，q，满足p，q∈R+且p+q=1时，都有

（1）对上凸函数y=f（x），有pf（x）+qf（y）≤f（px+qy）；

（2）对下凸函数y=f（x），有pf（x）+qf（y）≥f（px+qy）。

其中p，q∈R+，且p+q=1，当且仅当x=y或f（x）为一次函数时取“=”。

（注：学生通过以前的复习对上凸（下凸）函数已有所了。）

评注：显然上两式可以认为是凸函数的加强定义，在上面的式子中令p= ，q= 便可得到

[f（x1）+f（x2）]≥（≤），f 这就是下（上）凸函数的定义。如图上，若设A1，A2是y=f（x）曲线上两点，对应横坐标x10且p+q=1使x=px1+qx2。过x轴作垂线交曲线于A，交弦A1A2于B，则yA≥yB，故下凸函数的几何意义为：曲线上任意两点A1A2之间部分皆位于弦A1A2下方（或曲线在任意一点切线上方）。

四、推广与应用的思考

设疑：若函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数，对上述结论我们还可以推广到（a，b）内的任意n个点x1，x2…，xn，试给出结论。

探究：通过学生猜想、交流、讨论、教师引导，得出如下推广：

（延森不等式）y=f（x）若是区间（a，b）内的下凸函数，则当，x1，x2…，xn∈（a，b），且λ1，λ2…，λn∈R+，λ1+λ2+…+λn=1时必有f（λ1x1+λ2x2…+λnxn）≤λ1 f（x1）+λ2 f（x2）…+λn f（xn）。

（平均值不等式）当λ1，λ2…λn∈R+，且λ1=λ2=…=λn= 时，有如下结果：

f ≤ [f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]

评注：上述内容虽然超出了高中数学教学范畴，但可以让学生对延森不等式及其推论有适当的了解，同时利用这些结论展开如下应用，对培养他们的思维，拓展他们的视野也是大有益处的。

应用1：比较大小

例1：已知x，y，a，b∈R+，a≠b且x+y=1，试比较P= + 与R = 的大小。

简析：令f（x）= （x>0），则f（x）为下凸函数（可以证明）。

P =xf（a）+yf（b），R = f（xa+yb），

xf（a）+yf（b）>f（xa+yb）（a≠b），即P > R。

应用2：求最值

例2：已知a>0，b>0且a+2b=6，求1ga+21gb的最大值。

简析：由于y=1gx为上凸函数，故

1ga+21gb=3 1ga+ 1gb≤31g + =31g2

当且仅当a=b=2时，取得最大值31g2。

应用3：证明不等式

例3：已知P为ABC内的任意一点，求证：∠PAB，∠PBC，∠PCA中至少有一个小于或等于30°

简析：设α，β，γ，α′，β′，γ′，如图2，则α，β，γ，α′，β′，γ′∈（0，π）。

在3个小三角形中，利用正弦定理得：

PAsinα=PBsinβ′，

PBsinβ=PCsinγ′，

PCsinγ=PAsinα′。

三式相乘得

sinαsinβsinγ=sinα′sinβ′sinγ′，

（sinαsinβsinγ）2=sinαsinβsinγsinα′sinβ′sinγ′

≤ 6（平均值不等式）

≤sin6 （α+β+γ+α′+β′+γ′）（延森不等式），

6，

sinαsinβsinγ≤ 3。

不妨设sinα≤ ，则有α≤30°，或α≤150°，当α≤150°时，γ

爱因斯坦曾说过，提出一个问题比解决问题更重要，后者仅仅是方法和实验的过程，而前者则要找到问题的关键和要害。因此，我们在教会学生知识的同时，更要使学生学会思考和提问。同时，面对中学数学中日益增多的高观点题，我们有理由系统地掌握好数学的思想和方法，只有这样才能在教学中居高临下，游刃有余。