整体把握有序建构 丰富经验凸显价值

【摘 要】图形面积这部分内容可以从知识、方法及数学思想等维度进行梳理，不同图形面积之间既有不同之处，又紧密联系，并不断发展和提升，需要整体把握，有序建构。在有序建构过程中，要找准内容、方法及数学思想衔接的关键点，以学定教，不断丰富学生的数学活动经验，凸显这部分内容在培养学生数学学科核心素养中的价值。

【关键词】图形面积 整体思考 核心素养 价值凸显

图形面积教学是小学数学教学的重要内容，涉及内容多，分布在不同年级。不同图形面积知识内容、推导方法及所渗透的数学思想之间既有不同之处，又紧密联系，并不断发展和提升。因此，教师要整体把握，遵循数学逻辑顺序和学生不断丰富的学习经验，统筹安排，抓住关键，凸显这部分内容在发展学生数学核心素养方面的价值。

一、整体把握，有序建构

梳理图形面积教学中内容、方法及数学思想在各年级教材中的安排线索如下表。

教材内容的安排联系紧密，环环相扣。学生通过对面积的意义的学习为后续学习各种平面图形的面积做好准备；而通过对面积单位和测量方法的学习，又直接为学习长方形、正方形的面积做好铺垫；平行四边形的面积学习又以长方形的面积为基础，是把平行四边形转化为长方形后来推导面积公式的；三角形、梯形、圆的面积推导都以转化为平行四边形为基本研究思路，平行四边形的面积知识是学习这些图形面积的知识基础。这些图形面积知识之间的关系如下图：

这些图形面积的研究方法也有一条明确的线索。长方形、正方形面积公式的推导始于测量，学生积累一定的测量经验后自然体会到：长方形的长是多少，表示一排可以摆多少个单位面积，宽是多少，表示可以摆多少排，由此发现用“长×宽”可以计算出单位面积的个数，即这个长方形的面积。对平行四边形的研究一开始也延续用单位测量的经验，发现不能得到完整的面积单位，由此产生思维冲突，由单位面积的拼接而推广到图形的剪拼，把平行四边形剪拼成一个长方形来进行研究，因此平行四边形面积的研究方法是从测量到剪拼的一次提升，必须让学生经历这一过程。三角形和梯形的面积推导主要是用拼组的方法，即两个相同的图形拼组成原来已经学过的图形，但这种拼组和平行四边形的剪拼有很大的差异。平行四边形的剪拼是一种等积变形的过程，即在剪拼过程中面积保持不变，而三角形和梯形的拼组是面积发生成倍变化的过程。圆面积的推导方法是在前面图形面积学习的基础上综合运用所学方法进行研究的。

在这些图形面积的学习过程中还渗透着重要的数学思想，这些数学思想都是小学阶段必须关注的学科核心素养。如长方形面积学习中要关注归纳、建模的思想；正方形的面积公式又可以通过长方形面积公式类比而来；平行四边形、三角形、梯形的面积学习中要关注转化和类比的数学思想，同时还要关注通过观察比较转化前后图形的联系，进行演绎推理得出公式这一推理的过程，这种演绎推理小学中出现并不多，需要让学生有条理地表达。在“圆的面积”学习中除了在前面图形面积中渗透的化归、推理的思想外，还应该凸显圆这一图形所特有的极限思想的渗透。

从上面分析可以看出，图形的面积这部分内容的教学，应该同时关注学生在数学知识、数学方法和数学思想层面的基础和经验，总体把握，胸有成竹，以学定教，分块有序建构。

二、 抓住关键，统筹兼顾

（一）基于面积测量进行面积计算教学

面积计算源于面积的测量，面积计算是面积测量的升华。因此在学习面积单位以后，要让学生用面积单位对一些物体进行面积的测量，一方面加深对面积意义的理解，另一方面积累测量这一数学活动的经验，经历面积计算的由来。这样的操作活动要人人参与，留足时间。当学生经历一定量的测量以后，自然而然会进行思考，有没有更简单的方法知道被测物体的面积，激发了学生探索面积计算的欲望，也让学生经历知识产生的完整过程。在这一过程中还应该让学生依据面积单位进行面积的估计，建立面积观念，培养实际能力。

（二）以学定教，加强面积推导各种方法间的衔接

虽然平行四边形、三角形和梯形面积公式推导所用的数学思想是一致的，都应用了转化的数学思想，即通过剪拼或拼组转化成已经学过的图形进行研究，但所用的具体方法是不同的，长方形、正方形的推导方法从测量开始，由平行四边形完成从测量到剪拼的提升，三角形和梯形学习用拼组的方法进行推导， 看似有序递进，但有些方法对学生来说还是显得突然，有难度。特别是三角形面积公式推导中把两个完全相同的三角形拼组成平行四边形来进行研究，学生很难想到。笔者曾做过多次前测和试教，在上三角形面积一课时，让学生用已经学过的方法来研究三角形的面积，90%的学生都是通过沿高剪拼来研究，基本不会出现把两个完全相同的三角形拼组成平行四边形来研究的情况。细想原因，其实也很正常，前面平行四边形的剪拼是一种等积变形，虽然形状变了，但面积没有发生变化，学生能够理解。而把两个完全相同的三角形拼组成平行四边形，面积发生了成倍变化，学生就比较难理解这里的转化。因此需要了解学生的实际，设计能让学生自主思考的阶梯。笔者提供给学生一个等腰三角形和一个一般三角形，让学生经历这样的一次活动。

师：同学们都想到了用这样的方法（指向板书中的“转化―联系―公式”）研究三角形的面积，真的可以吗？我们试试，打开学具袋，拿出三角形，同桌合作研究。

探究反馈，收集两份代表作品展示。

师：同学们，老师收集了两个代表性的作品，他们转化成功了吗？

生：第一个成功了，第二个没有成功。

师：那这是谁的作品？介绍一下你是怎么得到的？

生：沿着底边上的高剪开，然后拼成长方形。

师：哦，你是先剪再拼（剪拼）。

师：这个作品是谁的呀？你也来说说。（生答略）

师：两位同学的作品，同样都是沿着高剪开，一个成功，一个没有成功，这是为什么呀？你说……

生：它是等腰三角形，这个不是等腰三角形。

师：是呀，它是等腰三角形，等腰三角形沿着高剪为什么就能转化成功？（多个学生说）

师：原来像这样的等腰三角形沿着高剪得到两个一样的三角形，就可以拼成我们熟悉的图形。这个三角形沿着高剪得到的图形不一样，所以没有转化成功。

师：那这个三角形，有什么办法也可以让它转化成功呢？

生：再拿一个与它一样的三角形去拼成学过的图形。

师：好的，老师这里有一个，你来试试。

师：转化成功了吗？

师：找两个一样的三角形，拼一拼，组成一个学过的图形。这是我们今天学习的一种新方法――拼组。

这样的设计，消除了“拼组”这种方法出现的突然性，突破了教学难点，充分发挥了学生的主动性，实现了由“剪拼”到“拼组”的提升。

（三）合理使用数学情境

为了引起学生的学习兴趣，教师在进行面积计算教学时也往往会用情境引入。如教学平行四边形面积计算时，教师经常用求平行四边形的花坛、车位等面积问题来引入，三角形的面积教学时用求红领巾的面积来引入，这样的数学情境效果一般，可有可无。数学情境应该为促进学生数学思维而设计，要支撑学生的思考和联想。下面的情境可能会更有效。

教师出示一个长方形和一个平行四边形。

师：这两个图形大家一定认识，从题目中你能获得哪些数学信息？

预设：长方形的长是7cm，宽是5cm；平行四边形的底是7cm，高是4cm，“邻边”的长是5cm。

师：根据这些信息你会计算它们的面积吗？谁先来说说长方形的面积应该怎样算？

预设：7×5=35（平方厘米）

师：那平行四边形的面积呢？大胆猜想一下。

预设：7×4=28（平方厘米）

预设：7×5=35（平方厘米）

师：同一个平行四边形却出现了两种方法，你想说什么？

师：那就是说至少有一个是错的。

师：发现了至少有一个错，那接下来我们就可以做什么？

预设：实验验证。

这样的情境引入至少有两方面的作用，第一，从长方形的面积计算进行迁移，自然会有两种结果：一是邻边相乘，二是底乘高。这就让学生形成了思维冲突，究竟孰是孰非，使学生产生进一步研究的欲望；第二，为平行四边形转化成长方形埋下伏笔（面积不变），也为彻底弄明白长方形与变形后的平行四边形之间的关系准备了很好的学习材料（面积变化），理解平行四边形面积=底×高的本质。

（四）注重数学学科核心素养

面积教学这部分内容是培养学生观察能力、思维能力以及用数学推理、数学思想解决问题等数学核心素养的很好的载体，要充分发挥这些内容在发展学生数学核心素养中的作用。

如在平行四边形转化成长方形之后，在三角形、梯形、圆转化成平行四边形之后，都应该充分利用信息技术手段，引导学生观察转化前后的图形之间的联系，并进行数学表达。

在找到转化前后图形的联系之后，引导学生进行规范的数学推理。如三角形的面积教学中，可以让学生规范地表述：平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，因为平行四边形的面积等于底×高，也就是三角形的底×高算出了平行四边形的面积，三角形的面积等于平行四边形的一半，所以三角形的面积=底×高÷2。

这样规范推理和表述为培养学生严密的逻辑性和今后继续学习演绎推理打下扎实的基础。

在三角形面积公式的推导过程中，教师要牢牢抓住转化成平行四边形后，“平行四边形的面积与原三角形的关系”这个关键，让学生进行观察和分析，突破公式中“÷2”这个难点。

在梯形和圆的面积教学中，学生会综合运用多种方法进行转化和推导，教师可以按照这样的程序进行教学。请各小组代表分别介绍自己的方法，按照“怎样转化” “转化前后图形的联系” “推理得出公式”这样的程序进行汇报，并请其他学生质疑。

学生在获得数学知识的同时，在数学活动经验、数学研究方法、数学思想等方面都得到发展。

（浙江省慈溪市教育局教研室 315300）