信号时域和频域采样函数周期性与原信号的关系

摘 要：本文对信号的时域和频域函数采样后，所对应的频域函数和时域函数与原信号的周期关系进行了详细的探讨。

关键词：信号；时域；频域；抽样；周期性；Matlab仿真

0 引言

现实中的信号非常复杂，连续信号经过"抽样"，再对得到的抽样信号量化、编码变成数字信号。信号的抽样是对信号的初步处理，同时也是对具体信号性质正确分析的前提和基础。信号的"抽样[1]"是抽样定理的基础。正确理解和应用信号的时域和频域"抽样"过程，并且理清并学会应用他们之间的复杂的周期关系，对今后的学习和研究大有裨益。

1 抽样过程

本文所要讨论的问题都是在"抽样"的基础上进行的，首先给出下面"抽样"的定义：

"抽样"就是利用抽样脉冲序列p（t）从连续信号f（t）中"抽取"一系列的离散样值，这种离散信号通常称为"抽样信号"，并且以fs（t）表示。

2 连续信号的时域抽样[2，3]

抽样脉冲序列p（t）的傅里叶变换为p（w）=F[p（t）]；

抽样后信号fs（t）的傅里叶变换为Fs（w）=F[fs（t）]

本节我们将给出连续信号的时域抽样的具体过程。如下：

为了简化过程采用均匀抽样，并且抽样周期为Ts，对f（t）的时域抽样即为：

fs（t）=f（t）p（t）

由于p（t）是周期信号，根据周期信号傅里叶变换可以得到它的傅里叶变换为：

P？棕=2π■P■？啄？棕-n？棕■

其中P■=■■pte■dt

由频域卷积定理得到

F■w=■P■Fw-nw■ （1）

从（1）式中我们可以发现：信号在时域被抽样后，它的频谱 F■w是连续信号频谱Fw的形状以抽样频率w■为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被p（t）的傅里叶系数pn所加权.因为pn只是n的函数，所以Fw在重复过程中不会使形状发生变化。

3 单脉冲信号的频域抽样

由于单脉冲信号的频域是连续函数，为了与前面的连续信号的时域抽样进行对照，在这一节我们给出单脉冲信号的频域抽样的过程。

假设有一连续频谱函数F？棕，它对应的时间函数为Ft。如果F？棕在频域中被间隔为？棕1的周期序列？啄■？棕抽样.同时域抽样相同，F？棕的抽样也满足

F1？棕=F？棕？啄■？棕

周期序列？啄■？棕的逆变换为：

. F■[？啄■？棕]=■■？啄t-nT■=■？啄■t

再由时域卷积定理得到f1t=ft*■■？啄t-nT■，这样

f1t=■■？啄t-nT■

上式表明如果ft单脉冲信号的频谱被间隔为？棕■的冲激序列抽样，则在时域中相当于ft以T■为周期进行周期延拓，信号强度为原来信号的■倍。

4 离散时间信号的频域采样[4，5]

序列 的傅里叶正变换为：Xe■=■xne■

现在以■为采样间隔，对Xe■进行等间隔采样，得到：■■k=Xe■|■=■xne■

由上得知■■k是以N为周期的频域函数。

根据离散傅里叶级数理论，■■k必然是一个周期序列■■n的DFS系数。所以■■k的IDFS为：

■■n=IDFS[■■k]=■xm■■e■

由于■■e■=1，m=n+iN，i为整数0，m为其他值，所以

■■n=IDFS[■■K]=■xn+iN（2）

由（2）式说明频域采样■■k所对应的时域周期序列■■n是原序列x（n）的周期延拓序列，并且延拓周期为N。

5 结论

本文重点讨论了时域抽样和频域抽样的详细过程和信号的时域和频域函数采样后，所对应的频域函数和时域函数与原信号的周期关系。最终我们得到了对模拟信号进行时域等间隔采样，频域采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓函数。对连续频谱函数在频域等间隔采样，则采样得到的频谱对应的时域序列必然是原序列的周期延拓序列的结论。类似的结论对离散时间信号也有同样适用。综合以上，得到的最终结论为：时域采样，频域周期延拓，频域采样，时域周期延拓。

参考文献：

[1]郑君里.信号与系统[M].北京北京：高等教育出版社.2011.

[2]贾中云.李秀梅，等.数字信号处理[J].中采样定理的探索.中国电力教育.2012.

[3]验证时域采样定理和频域采样定理[J].西京学院课程设计报告.2012.

[4]汪飞.理解数字信号处理中的频域采样定理[J].科技创新导报.2012.

[5]高西全.数字信号处理[M].北京：电子工业出版社.2010.