牛顿运动定律中的传送带问题

摘要：传送带问题是以真实物理现象为依据的问题，它既能训练学生的科学思维，又能联系科学、生产和生活实际，因而，这种类型问题极具生命力。本文从牛顿运动定律的角度对传送带问题作了详尽的阐述，将传送带分为了三种类型分别具体举例，借以总结问题的突破方法，并作了变式拓展，以深化体会。

关键词：传送带类型 摩擦力的突变 变式

力学中的传送带问题一般归纳起来可分为三大类：水平放置运行的传送带；倾斜放置运行的传送带；平斜交接放置运行的传送带。解决此类问题的关键是对物体进行动态分析和终态推断，灵活巧妙地从力的观点和能量的观点来揭示其本质特征和过程。本文由于篇幅所限，只从牛顿运动定律角度阐述。下面分别举例加以说明，从中领悟此类问题的精华部分和解题关键所在。

一、分类解析

类型一：水平放置运行的传送带问题

处理水平放置的传送带问题，首先是要对放在传送带上的物体进行受力分析，通过比较物体初速度与传送带速度的关系，判断物体所受摩擦力是阻力还是动力；其二是对物体进行运动状态分析，对其全过程作出合理推论，进而采用有关物理规律求解。

1.传送带速度方向从物体出发点A指向终点B（为方便说明，本文对传送带运转方向的说明均以与物体接触的一面的速度方向为准）

（1）物体初速度v0小于传送带速度v的情况

例1：如图，有一水平传送带以v=2m／s的速度匀速运动，现将一物体轻轻放在传送带上，若物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，从A到B的长度为10ｍ，则传送带将该物体传送至B所需时间为多少？

分析：以传送带上轻放物体为研究对象，在水平方向受向右的滑动摩擦力，做v =0的匀加速运动。物体的运动有可能分为两个过程：一是在滑动摩擦力作用下作匀加速直线运动；二是达到与传送带相同速度后，无相对运动，也无摩擦力，物体开始作匀速直线运动。关键问题应分析出若达到传送带的速度时物体匀加速运动的位移是否小于皮带长度，才能判断第二个过程是否存在。

解析：由μmg=ma解得a=5m／s ，设经时间t ，物体速度达到传送带的速度，据匀加速直线运动的速度公式v=v +at 解得t =0.4s，时间t 内物体的位移S =at/2=0.4m＜10m，物体0.4s后无摩擦力，开始做匀速运动S =vt 。又因为S =S-S =9.6m，得t =4.8s，则传送10m所需时间为t=t +t =5.2s。

评析：本题是较为复杂的一个问题，涉及了两个物理过程。对于这类不能直接确定的问题可以采用试算的方法，如本题中可假设一直做匀加速直线运动，求出经过10m用2s，则2s末的速度v=at=5×2=10m/s，已超过了传送带的速度，这是不可能的；当物体速度增加到2m/s时，摩擦力产生突变，瞬间就不存在了，这样就可以确定第二个物理过程。

（2）物体初速度大于传送带速度的情况

若上例中物体以初速度v =4m/s从A端滑上皮带轮，其余条件不变，试分析其运动情况。

分析：物体相对皮带向右运动，在水平方向受向左的滑动摩擦力，做初速度v =4m/s的匀减速运动。物体的运动同样有可能分为两个过程：一是在滑动摩擦力作用下作匀减速直线运动；二是达到与传送带相同速度后，物体开始作匀速直线运动。关键问题也应分析出若达到传送带的速度时，物体匀减速运动的位移是否小于皮带长度，才能对第二个过程是否存在做出正确判断。

2.传送带速度方向从终点B指向物体出发点A

（1）物体初速度小于传送带速度的情况

如图，水平传送带以速度v逆时针匀速转动，一个小物块（视为质点）以v （v

分析：小物块水平方向上受向左的滑动摩擦力作用，向右做匀减速运动至速度减为零，之后仍在水平向左的滑动摩擦力作用下改向左做加速运动，v ＜v，由对称性得物块向左加速至v 时恰好回到A侧。

（2）物体初速度大于传送带速度的情况

若上例中小物块的初速度v ＞v，则同样滑上传送带时小物块受向左的滑动摩擦力作用，小物块向右做匀减速运动。若要能返回左侧，物块应向右减速至速度为0之后仍在水平向左的滑动摩擦力作用下改向左做加速运动，v ＞v，由对称性得物块将加速至传送带速度v，之后将以速度v作匀速运动回到左侧。

类型二：倾斜放置运行的传送带

这种传送带是指两皮带轮等大、轴心共面但不在同一水平线上（不等高），传送带将物体在斜面上传送的装置。处理这类问题，同样是先对物体进行受力分析，而判断摩擦力的方向是关键，正确理解题意和挖掘题中隐含条件是解决这类问题的切入点和突破口。（为简化问题，在此只讨论物体无初速度的情况。）

1.物体从底端到顶端类型

例2：如图所示，传送带以恒定速度v=2m/s运行，传送带与水平面的夹角θ=30°，现将质量m=10kg的物体轻放在传送带的底端，经过一段时间后，物体被送到高为h=2m的传送带顶端。已知物体与传送带间的动摩擦因数μ= /2，g取10m/s 。求：物体从传送带底端运动到传送带顶端所用的时间。

解析：要求时间，必须先弄清物体是怎样从底端运动到顶端的。将物体放到传送带上后，由于它与传送带的速度不等，故二者之间必产生相对滑动，这时传送带对物体有沿斜面向上的摩擦力作用。根据物体的运动情况可知，它对地将做沿斜面向上的匀加速运动，加速度大小为a=（μｍｇcosθ-ｍｇsinθ）/ｍ，物体的速度加速到v所用的时间为t =v/a，在时间t 内物体沿斜面向上的位移为s =v t /2=0.8m，传送带底端和顶端之间的距离为d=h/sinθ=4m＞0.8m，显然，经过时间t 后物体还尚未到达斜面顶端。物体的速度达到v后，由于μmgcosθ＞mgsinθ，它不可能相对传送带向下滑动。因此，它只能与传送带一起以共同速度v沿斜面向上做匀速运动。注意，当物体与传送带刚达到共速的瞬间，它们之间的摩擦力经历了一次突变过程，即由原来的滑动摩擦力突变为静摩擦力，摩擦力的大小由原来μmgcosθ突变到mgsinθ。至此，物体从底端运动到顶端的运动过程已十分清楚。接下来求时间就是水到渠成的事了，后半段t =（d-s ）/v=1.6s,所以总时间t=t +t =2.4s。

评析：此种情况要求动摩擦因数μ大于tanθ（θ为传送带与水平面的夹角）才可，若动摩擦因数μ＜tanθ，则由于μmgcosθ＜mgsinθ，它根本不可能相对传送带向上滑动。

2.物体从顶端到底端类型

传送带速度向上

例3：如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A到B的长度为16ｍ，传送带以V=10m/s的速度顺时针转动。在传送带上端无初速地放一个质量为0.5的物体，它与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，求物体从A运动到B所需的时间。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

分析和解答：物体放在传送带上后，传送带给物体一沿平行传送带向上的滑动摩擦力，因ｍｇsinθ＞μｍｇcosθ，即μ＜tanθ，物体由静止开始加速下滑；a=（ｍｇsinθ-μｍｇcosθ）/ｍ=2m/s ;物体一直加速至B，S＝at /2＝16ｍ,得ｔ＝4s。

评析：显然此种情况下若μ＞tanθ，物体根本无法下滑。

传送带速度向下

①μ＜tanθ

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例4：如图所示，若上例中传送带的速度方向为逆时针转动，仍求物体从A运动到B所需的时间。

分析和解答：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿平行传送带向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，有a =（ｍｇsinθ+μｍｇcosθ）/ｍ＝10m/s ，

物体加速至与传送带速度相等所需的时间ｔ ＝ｖ／a ＝1s;

发生的位移ｓ＝a ｔ/2＝5ｍ＜16ｍ;即物体加速到10m/s时仍未到达B点。

当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体一沿平行传送带向上的滑动摩擦力（即滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了"突变"），此时物体所受合力仍沿传送带向下，物体继续加速下滑。

第二阶段，有a ＝（ｍｇsinθ－μｍｇcosθ）/ｍ＝2m/s ;设此段物体滑到底端B所用时间为t ，由运动学公式可知L -S＝ｖt ＋a t/2；解得：t ＝1s。所以物体由Ａ到Ｂ经历的总时间ｔ=t ＋t =2s。

②μ＞tanθ

若上例中，μ＞tanθ，则物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿平行传送带向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑；开始阶段有ｍｇsinθ＋μｍｇcosθ=ｍa ;物体加速至与传送带速度相等所发生的位移S＝v /2a ，若s＜16ｍ,即物体加速到皮带速度时仍未到达B点。

当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＞tanθ，ｍｇsinθ＜μｍｇcosθ，此后传送带给物体一沿平行传送带向上的静摩擦力（即摩擦力的方向及大小在获得共同速度的瞬间发生了“突变”），此时物体合力为零，物体以与皮带同速匀速下滑。

评析：从上述例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻。

类型三：平斜交接放置运行的传送带

这种类型的解题思路实际是前面两种类型的组合。

例5：如图所示的传送皮带，其水平部分ab=2m，bc=4m，bc与水平面的夹角α=37°，一小物体A与传送皮带的滑动摩擦系数μ=0.25，皮带沿图示方向运动，速率为2m/s。若把物体A轻轻放到a点处，它将被皮带送到c点，且物体A一直没有脱离皮带。求物体A从a点被传送到c点所用的时间。

分析：此题讨论物体水平段运动过程同类型一中例1的分析，易知物体A先作初速为零的匀加速运动直到与传送带速度相同，再由计算可得，而后A在水平传送带上作匀速运动；而倾斜段运动过程的讨论同类型二例4中第二阶段的分析，A在bc段以与皮带相等的初速度做匀加速运动至c点。本题答案为2.4s(具体解答过程略)。

二、解题方法归纳与提升

从以上示例可知，对传送带类型的动力学问题，我们的基本分析方法为在受力分析（关键是摩擦力的判断）的基础上再划分物体的运动过程。要判断第二个运动过程是否存在，需假设物体的速度能达到与传送带同速时，比较物体此段通过的位移s与传送带长度L的关系，若s＜L,则物体所受摩擦力在刚达同速时刻发生突变（特别对倾斜皮带还需比较μ与tanθ的关系），从而得到第二阶段的具体运动情况，使问题得以突破。

三、变式赏析

由于物块在传送带上滑动，既有对地位移，又有相对传送带运动，形成了学习的难点，也成为高考命题的热点，因此对传送带动力学过程的变式分析（就是传统传送带问题的拓展）也显得尤为重要。下面选用一组传送带变式问题予以赏析。

变式1如图所示，两圆柱体A、B的半径均为r＝0.2m，圆柱体圆心间的距离s＝1.6m，在机械带动下，均以ω＝8rad/s的角速度顺时针旋转，两圆柱的轴平行且在同一水平面上，均匀木板放置在两个圆柱体上面，柱面与木板间的动摩擦因数μ＝0.16。开始时，木板的重心恰在A的正上方。若木板由静止开始运动，则当它的重心恰好到达B的正上方时，经历的时间为（ ）。（g取10m/s ）

分析：木板受圆柱体A、B的滑动摩擦力作用，由静止开始向右做匀加速直线运动，经过时间t，木板运动速度与圆柱体A、B的线速度相等，由计算可得此时木板向右运动了距离l＜s。此后木板与圆柱体间无相对运动，不受摩擦力，做匀速直线运动。所求时间为两段运动的时间之和，答案为C。

变式2传送带被广泛地应用于码头、机场和车站，如图所示为一水平传送带的装置示意图，紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v=1m／s运行。将一质量m=4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动．设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L=2m，g取10m/s 。

(1)行李做匀加速直线运动的位移为多少?

(2)若提高传送带的运行速率，行李就能较快被传送到B处，求行李从A处以最短时间传送到B处时传送带对应的最小速率。

进而用数学知识来加以处理，使之得出传送带的运行速度至少多大。

评析：此题应先分析行李在ｔ＝6s内是何种运动，然后作出判断，进而求出加速度；再由数学知识求得传送带的速度为何极值时，其由Ａ到Ｂ的时间最短，这正是解题的突破口和关键。这是一道立意较新的数理有机结合的物理题，达到了考查学生能力的目的。

变式3（2006年全国高考理综I第24题）一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点)，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a 开始运动，当其速度达到v 后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

评析：本题在典型的传送带做匀速运动的基础上，增加了传送带有一段做匀加速运动。首先要认识到本题的主要物理过程，传送带在外力(电机)作用下先加速后匀速，煤块在滑动摩擦力作用下一直做匀加速直线运动直至相对传送带静止；其次要理解“留下了痕迹”的物理意义是什么（说明煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于a ）。本题旧题新作，不落俗套，有一定的开放性，能帮助学生对传送带物理模型的深入认识和运用。

从以上分析可以看出，处理传送带的相关问题首先是要认真读懂题意，深刻理解题目所描述的物理过程，全面仔细进行受力和运动状态双分析，尤其注意物体与传送带速度相等时刻物体所受摩擦力的突变这个关键点，再应用物理规律列方程求解。平时解题时应勤思考、善比较、多归纳，这样融会贯通，方能有效提高应用能力，掌握处理物理问题的方法。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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