摩擦力特例分析

[平衡状态下的摩擦力分析]

例1 如图1所 [ 图1]示，质量为[m]的物体放在水平放置的钢板[C]上，与钢板的动摩擦因数为[μ]. 由于受到相对于地面静止的光滑导槽[A、B]的控制，物体只能沿水平导槽运动. 现使钢板以速度[v1]向右匀速运动，同时用力[F]拉动物体（方向沿导槽方向）使物体以速度[v2]沿导槽匀速运动，求拉力[F]大小.

解析 物体相对钢板具有向左的速度分量[v1]和侧向 [ 图2]的速度分量[v2]，故相对钢板的合速度[v]的方向如图2所示，滑动摩擦力的方向与[v]的方向相反. 根据平衡条件，有

[F=fcosθ=μmgv2v21+v22]

从上式可以看出，钢板的速度[v1]越大，拉力[F]越小.

同时看出，在垂直钢板速度[v1]方向上，导槽两侧对物体压力差[ΔN]不为零，[ΔN=fsinθ].

点拨 本题很容易误以为滑动摩擦力跟速度[v2]方向相反，得出[F=f=μmg]的错误结论. 其实，滑动摩擦力总是阻碍物体间相对运动的，必须先找出相对滑动方向.

[倾斜状态下的摩擦力分析]

例2 在水平桌面[M]放置一块正方形薄木板[abcd]，在木板的正中点放里一个质量为[m]的木块，如图3所示.先以木板的[ad]边为轴，将木板向上缓慢转动，使木板的[ab]边与桌面的夹角为[θ];再 [ 图3] 接着以木板的[ab]边为轴，将木板向上缓慢转动，使木板的[ad]边与桌面的夹角也为[θ]（[ab]边与桌面的夹角[θ]不变）.在转动过程中木块在木板上没有滑动，则转动之后木块受到的摩擦力大小为（ ）

A. [22mgsinθ] B. [2mgsinθ]

C. [mgsin2θ] D. [mgsin2θ]

解析 若要求出物体受到的静摩擦力， [ 图4] 只需算出薄木板与水平面的夹角[α]（即斜面与水平面[M]的二面角的平面角）. 为此，我们画出立体几何图4，设[bf=x]，[ab=xsinθ]，又[abcd]为正方形，所以，平面[abcd]与平面[M]二面角的平面角的正弦[sinα=x22?xsinθ=2sinθ]，因此重力的下滑分量为[2mgsinθ]，即得摩擦力大小为[2mgsinθ]. 答案选B项.

点拨 本题中物体受重力、支持力、静摩擦力三力而平衡，这三力都在竖直面内，仍属于平面力问题，只是情景设置，初看起来很复杂，其实是一个在斜面上静止的问题.

[自锁状态下的摩擦力分析]

例3 机械设计中常用到一种“自锁”原理如图5所示，当连杆与滑块所在平面间的夹角[θ]大于某一值，无论施加多大推力[F]，都不可能使滑块[m]移动，为什么？设滑块与水平面间摩擦因数为[μ].

图5 图6

解析 对滑块[m]，受力分析如图6所示，根据平衡条件，有

[N=mg+FsinθFcosθ=f]

这里的实际静摩擦力[f]必须小于或等于可能产生的最大静摩擦力[fm]，即

[f≤fm=μN]

联立解得[F（cosθ-μsinθ）≤μmg]

显然，当[cosθ-μsinθ≤0]时，上述不等式中推力[F]无论多大恒成立，即滑块均保持平衡. 得[cotθ≤μ]，

亦即[θ≥arccotμ]时，无论推力[F]多大，滑块均静止. 其实，这个临界角就是“摩擦角”.

物体与接触面间可能产生的最大静摩擦力[fm]与正压力[N]大小成比例，即[fm=μN]，方向相互垂直，此 [ 图7]时二力合力[R=1+μ2N]，方向是确定的，跟[N]的大小无关.

点拨 为描述[R]这个确定方向，有时用[R]与接触面的法线夹角表示，有时用[R]与接触面夹角表示. 这里用[R]与最大静摩擦力[fm]夹角为[θ]表示，如图7所示，则[cotθ=fmN=μ]，[θ]是个定值，取决接触面间的材料性质.

[关联状态下的摩擦力分析]

例4 斜劈[B]放在水平面上，质量为[m]的物体[A]在外力[F1]、[F2]共同作用下，沿斜面向下运动. [F1]水平向右，[F2]沿斜面向下，斜劈[B]静止，受到地面向左的摩擦力. 若撤出某个力，在[A]仍向下运动，斜劈[B]仍静止，则关于[B]受到地面的摩擦力，下列说法正确的是（ ）

[图8]

A.若只撤力[F1]，[A]仍向下运动，则[B]受到地面的摩擦力仍向左

B.若只撤力[F1]，[A]仍向下运动，则[B]受到地面的摩擦力仍可能向右

C.若只撤力[F2]，[A]仍向下运动，则[B]受到地面的摩擦力可能向右

D.若只撤力[F2]，[A]仍向下运动，则[B]受到地面的摩擦力不变

解析 设斜劈[B]原来对[A]的支持力为[N1]，[A]受到的摩擦力为[f1]，有

[N1=mgcosθ+F1sinθ]

[f1=μN1=μ（mgcosθ+F1sinθ）]

题设斜劈[B]静止受到地面向左的摩擦力，故

[N1x=（mgcosθ+F1sinθ）sinθ]>[f1x]

[=μN1cosθ=μ（mgcosθ+F1sinθ）cosθ]

即[μ

只撤[F1]后，[N2=mgcosθ]，[f2=μN2=μmgcosθ]

水平分力[N2x=mgcosθsinθ]

[f2x=μN2cosθ=μmgcosθcosθ][

故地面摩擦力仍向左，但[f地=][（Nx-fx）]差值减小. 只撤[F2]对二者间的压力和摩擦力没有影响. 答案选A、D项.

点拨 [F2]对二者间的压力无影响，故对二者间滑动摩擦力没有影响;只撤力[F2]，[A]仍向下运动，[B]受到地面的摩擦力不变. 由题设条件“[A]沿斜面向下运动”“[F1]水平向右，斜劈[B]静止受到地面向左的摩擦力”，可挖掘出隐含条件[μ