捷联系统圆锥优化算法研究

【前言】捷联系统圆锥优化算法研究由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。Abstract: Among the numerous conventional treatises on strarpdown attitude algorithms, most utilize incremental angle to compute rotation vector. But that isn't appropriate for the fiber-optic gyro and micro-electromechanical system (MEMS) outputti...

摘 要:传统的捷联姿态算法采用角增量计算旋转矢量。而对于采用光纤陀螺、微机械陀螺等新型惯性传感器的捷联系统,陀螺输出信号为角速率。通过角速率积分得角增量会带来计算误差。因此,以角速率作为圆锥算法的输入信号。参照传统算法,用角速率表示旋转矢量的微分方程,以角速率的叉乘项拟合圆锥误差项,并且在典型圆锥环境中计算多项式的系数。推导出一组改进的圆锥补偿算法,并给出新算法的误差漂移表达式。采用典型圆锥环境测试新算法的性能,当算法的输入为角速率时,新算法的精度比较传统算法有显著的提高。 关键词:捷联姿态算法;旋转矢量;角速率;圆锥补偿

中图分类号:U666.1 文献标志码:A文章编号:16717953(2009)04002204

Study of Optimized Coning Algorithm for SINS

LIU Xingzhang FU Jiannan2

(1.Liaonan Shipyard,Dalian,116041,China;2.College of automation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Abstract: Among the numerous conventional treatises on strarpdown attitude algorithms, most utilize incremental angle to compute rotation vector. But that isn't appropriate for the fiber-optic gyro and micro-electromechanical system (MEMS) outputting angle rate. Because the integration of angle rate for the purpose of getting incremental angle causes error. So we used angle rate as algorithm input, expressed differential equation with angle rate, approximated coning term with multiply of angle rates. The coefficients were optimized under classical coning circumstance. The new set of coning compensation algorithms and their error drifts were derived. The performances of improved algorithm were tested under classical coning circumstance. When angle rate is used as input, the accuracy of attitude computation can be improved effectively as compared with conventional algorithms.

Key words: strarpdown attitude algorithm;rotation vector;angle rate;coning compensation

刚体转动的不可交换性导致圆锥误差的产生,而圆锥误差是影响捷联姿态矩阵计算精度的重要因素[1]。研究合适的旋转矢量修正算法是克服圆锥误差的有效途径。目前的旋转矢量算法都是基于陀螺输出角增量信息[2],对于陀螺输出为角速率信号的新型捷联系统已不再适用。本文以角速率作为算法的输入信号,设计出改进的圆锥补偿算法,提高了捷联系统姿态计算的精度。

1 传统算法

1.1 传统三子样算法

传统姿态算法以旋转矢量描述载体的运动姿态,旋转矢量的微分方程可表示为[3]:

•=ω+12×ω+1α21-αsinα2-2cosα×(×ω)

(1)

其中表示幅值为α=(T)1/2的旋转矢量,ω表示角速度。当α足够小时,的高次项可忽略不计。简化式(1),得到工程中常用的近似方程:

•=ω+12α×ω,α=∫ωdτ(2)

式(2)中的第二项反映了在姿态解算周期中刚体转动的不可交换性误差对旋转矢量计算的影响。

在每个姿态计算周期h内三次采样角增量信号,得到三子样旋转矢量表达式[4]:

Δ^=θ+3380(θ1×θ3)+5780θ2×(θ3-θ1)(3)

1.2 算法的误差分析

当载体的两个相互垂直轴有相同频率而不同相位的正弦角振动输入时,在与它们相垂直的第三轴就会产生圆锥运动。用载体的角速率描述典型圆锥运动为[5]

ω=αΨcosΨtbΨsinΨt0(4)

式中Ψ为锥运动角速度,a,b为沿载体两个正交轴的角振荡幅值。积分得角增量

α=∫t+htωdτ=a(sinΨ(t+h)-sinΨt)b(cosΨ(t+h)-cosΨt)0(5)

由式(2)、式(5)可得

Δz=12∫α×ωdτ=abΨ2h-1ΨsinΨh(6)

式(6)表示真实的圆锥误差项,这里圆锥误差的整流项仅存在于z轴。式(3)为传统三子样法的计算得到的圆锥误差项。两式相差即是算法的误差漂移。

ε=Δx-Δ^x(7)

当陀螺输出为角增量时,传统的三子样算法的误差漂移为

ε=1204120α2(Ψh)7(8)

当陀螺输出为角速率时,参照Simpson积分法,传统的三子样算法可采用下述的角增量提取公式:

θ1=[5ω(t)+8ω(t+h/3)-ω(t+2h/3)]•h/36θ2=[-ω(t)+8ω(t+h/3)+5ω(t+2h/3)]•h/36θ3=[-ω(t+h/3)+8ω(t+2h/3)+5ω(t+h)]•h/36θ=[ω(t)+3ω(t+h/3)+3ω(t+2h/3)+ω(t+h)]•h/6(9)

将式(9)代入式(3)中,再由式(7)可得角速率输入情况下,传统三子样算法的误差漂移为

ε=12592α2(Ψh)5(10)

通过比较式(8)与式(10)可知,由角速率积分提取角增量的过程中,Simpson积分法引入积分算法误差,导致总的算法误差明显增大。

2 改进算法

从上节可知,当使用角速率陀螺时,传统旋转矢量算法的适用性出现问题。其性能与不包含圆锥补偿的四阶Lgkd法相比并无优越性[6]。研究直接使用角速率信号表示旋转矢量,提出一类改进的圆锥补偿算法。

2.1 算法的优化设计

在典型的圆锥环境中对算法进行设计。圆锥运动的角速率描述如式(4)所示。则

ωi×ωj=[0,0,abΨ 2sin(Ψ(tj-ti))]T(11)

陀螺采样周期为H,即h=NH。计算周期为整数N倍的采样周期,则式(11)有

ωi×ωj=[0,0,abΨ 2sin(ΨH(j-i))]T(12)

由上式可见,与θi×θj的性质相类似,ωi×ωj的计算值仅与相对时间有关,而与绝对时间无关。

设λ=ΨH,式(12)化为

ωi×ωj=abλ2H2sin(λ(j-i))(13)

由于相同时间间隔的角速率叉乘项的计算值是相等的,用下式计算得Δ^。

Δ^=∑N-1i=0kN-iω(i)×ω(N)(14)

式中ω(i),i=0…N-1分别为姿态计算周期内的各个采样值。将式(13)代入式(14)中,可得

Δ^=abH2[(A11k1+A12k2+…+A1,nkn)λ3-(A21k1+A22k2+…+A2,nkn)λ5+…+(-1)i+1(Ai,1k1+Ai,2k2+…+A2,nkn)λ2i+1+…](15)

式中系数Ai,j定义为

Ai,j=j2i-1(2i-1)!(16)

为了确定系数ki的值,将式(6)中真实的圆锥误差项展开成Taylor级数的形式,有

Δ=ab2Ψ(Ψh)33!-(Ψh)55!+…=abH2[d1λ3-d2λ5+…+(-1)idiλ2i+1+…](17)

其中

di=N2i+1H22(2i+1)!,h=NH(18)

将式(15)写为矩阵的形式有

Δ^=abH2[λ3,λ5,λ7…]A∞×N•kN×1(19)

其中

A∞×N=A11…A1,N………Ai,1…Ai,N………(20)

kN-1×1=[k11,…,kN,1]T(21)

式(17)的矩阵形式为

Δ=abH2[λ3,λ5,λ7…]D∞×1(22)

其中

D∞×1=[d1,…,d2]T(23)

算法的优化过程既是在姿态更新周期内,使圆锥误差项的真实值与计算值尽可能相等。设子样数为N,那么待定系数ki的个数就为N。由式(19)和式(22),待定系数ki可以由下式计算

[Ai,j][ki]=[Di]i=1,…N j=1,…N (24)

优化系数ki是由矩阵Ai,j与Di,的前为N行计算得到的。由式(7)可知,改进圆锥补偿算法的误差漂移为

ε=abH2λ2N+3∑Nj=1AN+1,jkj-dN+1(25)

算法的优化过程可总结为:首先,由式(20)、式(21)计算系数Ai,j与Di。然后通过式(24)得到优化后的系数ki。最后将系数ki代入到式(14)中,推导出改进的圆锥补偿算法。

2.2 算例

如果陀螺在t时刻输出角速率ω(0),并在每个计算周期内对陀螺输出在t+h/3、t+2h/3、t+h时刻采样两次ω(1)、ω(2)、ω(3)。得到改进的三子样算法

Δ^=3H8[ω(0)+3ω(1)+3ω(2)+ω(3)]+H2872240ω(0)+2756ω(1)+26192240ω(2)×ω(3)(16)

由式(25),改进的三子样算法的误差漂移为

ε=ab8907055(Ψh)9(17)

当N=2时,得到改进的二子样算法

Δ^=2H6[ω(0)+4ω(1)+ω(2)]+H2145ω(0)+2845ω(1)×ω(2)(18)

由式(25),改进的二子样算法的误差漂移为

ε=ab80640(Ψh)7(19)

通常情况下Ψh

3 仿真分析

在式(4)所描述的典型圆锥环境中,测试传统三子样算法(3I)、改进二子样算法(2C)、改进三子样算法(3C)的性能。

陀螺的器件误差设置为0。选取圆锥运动频率10Hz,即Ψ=20πrad•s-1,角振荡幅值a=b=1deg。陀螺的输出信号为角速率,采样频率为100Hz。各算法的姿态误差取对数形式如图1所示。由于圆锥误差的整流分量主要体现在航向误差角上[7],这里仅给出了航向误差角的曲线。以改进的三子样算法为例分析3I的误差漂移。误差漂移与陀螺采样频率的关系如图2所示。陀螺采样频率变化范围:100Hz~300Hz。误差漂移与圆锥频率的关系如图3所示。圆锥频率变化范围:1Hz~20Hz。

分析图1可知,在相同采样频率的条件下,改进的圆锥补偿算法比较传统算法精度上有显著的提高(3个数量级左右)。同时,算法的精度与计算周期内的子样数成正比。由图2可知,在同一圆锥运动频率下,算法的误差漂移与陀螺的采样频率成反比。由图3可知,在相同陀螺采样频率下,算法的误差漂移与圆锥运动频率成反比。即载体所处的运动环境越恶劣,计算就误差越大。

4 结论

以角速率作为输入信号,优化设计了旋转矢量多项式中的系数,推导得出改进的圆锥补偿算法。通过分析与仿真,可得以下结论:角速率输入时,改进算法避免了传统算法的积分误差,其性能优于传统算法;无论是改进算法还是传统算法,增加计算周期内的子样数,提高陀螺采样频率都是提高算法精度的有效途径。

参考文献

[1] B. ITZHACK.Navigation computation in terrestrial strapdown inertial navigation system[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic,1979,13(6):679-689.

[2] SAVAGE.P.G.Strapdown Inertial Navigation Algorithm Design,Part 2:Attitude Algorithms[J].AIAA Journal of Guidance,Control and Dynamics,1998,21(1):19-28.

[3] LITMANOVICH.Y.A.Two new classes of strapdown navigation algorithms[J]. AIAA Journal of Guidance,Control and Dynamics,2000,23(1):34-44.

[4] WU.Y.Y.Strapdown inertial navigation system algorithm based on dual quaternion[J].IEEE Transactions on aerospace and electronic systems,2005,41(1):110-132.

[5] SALYCHEV.O.S.Inertial Systems in Navigation and Geophysics[M].Moscow:Bauman MSTU Press,1998.

[6] ROSCOE.K.M.Equivalency between strapdown navigation coning and sculling integral/algorithms[J].AIAA Journal of Guidance,Control and Dynamics,2000,24(2):201-206.

[7] SALYCHEV.O.S.Applied Inertial Navigation:Problems and Solutions [M].Moscow:Bauman MSTU Press,2004.