逆向思维能力的培养

培养学生的思维品质是数学教学的宗旨，思维品质的培养是在解决问题的过程中实现的．因此，在解题教学中，教师要善于在无疑处巧设疑，引导学生学会寻找条件，运用条件，在思维过程受阻时，鼓励和引导学生重新审视数学问题所涉及的知识，进行多角度的分析研究，适时架起已知与未知之间的必要联系，帮助学生寻找问题的突破点，使学生渐渐养成多角度思考问题的习惯，克服思维的单向性，提高解题能力．

1. 抓住本质，逆否转化

解决数学问题过程中有时从正面思考会陷入困境，甚至无法解决，不防反其道而行之，从它的反面寻找解决问题的突破口，往往能巧妙简捷地解决问题．

例1：已知三条抛物线y1=x2+2ax+a2-a+3，y2=2x2-（4a-2）x+2a2-a，y3=x2-（2a+1）x+a2+2中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．

分析：“至少有一条与x轴相交”包括七种情况之多，若从正面着手，分类讨论则不胜其繁，如果注意到“至少有一条与x轴相交”的反面“三条都与x轴不相交”是等价的，而“三条都与x轴不相交”简单明了，因此仅需求“三条都与x轴不相交”的实数a的范围的反面即可，可避免繁琐的分类讨论．

解：假设三条抛物线都与x轴不相交

当a≤■或a≥■时三条抛物线中至少有一条与x轴相交.

通过寻找问题的对立面，并将它求解出来，然后从全集中排除对立面的部分――就是所求，解答过程别开生面、降低难度、简化运算．

2. 变换视角，反客为主

解决数学问题，从思维方法看大致有两种：由已知推出结论；由结论追溯到成立的条件，即分析与综合．多数习惯综合法，但在解决含有多变量的问题时，因受到思维定势的影响，常被题目中给定的“常量”与“变量”所迷惑，常陷入“思路通、运算难”的困境而不能自拔．不妨退一步考虑问题，抓住问题的本质：常量与变量的相对性．反客为主，往往能走出思维的迷宫，出奇制胜，简化解题过程．

例2：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，试求x的取值范围．

分析：习惯把x看作未知数，不等式x2+px>4x+p-3是含参数p的关于x的二次不等式，直接解比较难，难就难在含参数p的x的二次不等式．若把p看作“变量”，把x看作“常数”，则不等式x2+px>4x+p-3岂不就是关于p的一次不等式吗？再由一次不等式的解集与函数的关系，把问题转化为一次函数求解．

解：将原不等式变形得：（x-1）p+（x2-4x+3）>0，设函数f（p）=（x-1）p+（x2－４x+３），显然x≠1，则f（p）是关于p的一次函数，若不等式（x-1）p+（x2-4x+3）>0在0≤p≤4恒成立，当且仅当f（0）>0且f（4）>0，于是有f（0）＝x2-4x+3>0f（4）=x2-1>0，

解得x3.

通过对问题解决过程的剖析，若顺向解关于x的二次不等式，其繁难程度可想而知，若能抓住问题的本质、视角转换，巧妙变换主元和等价转换，则可拨云见日．辩证思维和创新思维能力的培养已渗透于解题教学过程中．

3. 执果索因，逆向分析

许多学生在解题过程中，习惯于从条件到结论的单一思维形式．事实上，有些问题，若从条件出发顺向推求思路不太畅顺、或在求解过程比较难，相反，由结论到条件的逆向分析、推导，可使问题峰回路转．教学中，教师创设应用逆向分析的教学平台，启发学生思考，鼓励学生勇于打破常规，敢于标新立异，善于转换思维方式，培养学生灵活应变能力和思维发散能力．

例3：将函数y=f（x）的图像向左平移1个单位，得图像f1（x），再作f1（x）关于直线y=x的对称图像f2（x），最后将f2（x）的图像向下平移1个单位得f3（x）=log2（x+１）的图像，求函数y=f（x）的解析式．

分析：根据条件和结论的逻辑关系，题目是求使结论成立的充分条件，由于第三步变换结果是已知的，将题设的变换来个“反变换”，问题便可迎刃而解（解略）．