理性关注数量关系的运用

【摘要】对于解决问题的策略这一主题内容的教学与讨论，一直是大家关注的话题之一。从怎样引入策略，怎样形成运用策略解决模式性问题的一般过程与方法，到怎样通过变式和对比性的练习，使学生解决问题的能力和运用策略的意识都有相应的发展与提升等问题。

【关键词】数量关系 课题教学

《课程标准》中明确指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数量之间的关系是数学研究领域的重要组成部分，它反映的是数量之间的本质的而非表面的、普遍的而非特殊的、客观存在的而非人为的内在联系。数量关系起两个作用：一是根据数量关系可以推断出先算什么、后算什么……，二是根据数量关系可以确定每一步用什么方法算、怎么列式。数量关系为解决问题提供了思维方法，为列式提供了理论依据。

在教学《解决问题策略―替换》时，笔者从数量关系对问题分析、解决的作用，促进学生策略意识的形成、促进学生数学思维的发展等方面入手，进行了理性思考与组织教学。现就结合这节课的教学谈谈数量关系的运用与价值体现。

一、引数量关系为回顾和铺垫

师：这里有几个简单问题，知道答案的直接说。[课件出示（杯子图）抢答题]

⑴把720毫升的果汁倒入9个相同的小杯中，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？

⑵把720毫升的果汁倒入3个相同的大杯中，正好都倒满，每个大杯的容量是多少毫升？

追问：这两个问题都是已知总量和杯数，怎样求每杯的容量？

结合学生回答板书：总量÷杯数=每杯的容量。

师：这三种量之间的关系与我们今天所学知识关系密切。

研究数量关系是数学学习的本质要求，从现实问题中“抽象出的数学问题”向“解决问题方法”的转化，这里利用图文式问题的解决引出数量关系：总量÷杯数=每杯的容量。首先是帮助学生回顾这一基本关系，其次为后面知识的学习进行铺垫，再有为了后面的问题引入提供了一个对比平台。从这三点可见这一数量关系的引入是重要的、必要的。

二、用数量关系引思考，寻焦点，帮助解决为什么替换、怎样替换

⑶小明把720毫升的果汁倒入6个相同的小杯和一个大杯中，正好都倒满。小杯容量是大杯的 ，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

在理解题意的基础上教师问：这里，求小杯和大杯的容量各是多少，可以直接用总量÷杯数计算大杯或小杯的容量吗？

借助数量关系与学生已有知识，不能直接用算式的方法解决两种未知量的矛盾引发学生的思考：前面可以直接用总量÷杯数求大小杯的容量，而这里不可以直接计算。追问：不可以直接计算的原因在哪里？

有问题就有思考，学生通过思考发现这里大杯和小杯的容量同时都未知，而且是6个相同的小杯和一个大杯的总量是720毫升。不可以直接计算的原因找到了，引导学生回到题目中找一找，解决这个问题的突破口在哪里？解决矛盾问题的突破口很快找到了：小杯容量是大杯的 。

在倍比关系以及总量÷杯数=每杯的容量的指引下，学生自然会会想到替换的策略。随后教师明确指出本课将围绕：为什么替换，怎样替换，替换过程中要注意什么等几方面进行学习。

这个过程充分展现了数量关系在解决问题过程中的价值。在解决问题的过程中引发了学生思维的冲突、学生的思考、寻找解决问题的焦点、启迪学生发现问题、解决问题等一系列活动都缘于运用了数量关系：总量÷杯数求每杯的容量。

三、用数量关系理清替换的过程与方法，指引学生正确解决问题

师：怎样将大杯替换成小杯。一起看，把1个大杯替换成3个小杯，现在全变成了（小杯），现在共有几个小杯？原来共有几杯子？（9杯，杯子的总数变了），这是我们在替换过程要注意的地方。9个小杯共装果汁多少毫升？（还是720毫升，总量不变）。

师：现在可以根据总量÷杯数计算了吗？（可以）。

师：在计算前请同学们想一想：为什么替换前不可以，替换后就可以呢？

学生交流后，明确通过替换将两种未知量变成了一种未知量，就可以用总量÷杯数先计算出小杯的容量，再求大杯的容量了。

在计算时，同样紧扣数量关系：总量÷杯数=每杯的容量，提醒学生：替换后总量和杯子数分别是多少。这样学生就不会因为替换后找不到解决问题的注意点而不能正确列式解决问题了。

至此，数量关系：总量÷杯数=每杯的容量充分发挥了它的作用与价值。它帮助我们引导学生的思维主动参与学习，轻松自然地突破了重难点。笔者认为这都因为是突出了数量关系的运用，为问题解决、策略引入、意识的形成搭好了台，唱好了戏。

四、用数量关系，提升学生的思维

巩固应用替换策略的练习的环节有这样一组题：下面几个问题哪些可以运用替换策略解决？如果可以，怎样替换？

问题①：1枝钢笔和3枝铅笔共10.8元，钢笔的单价是铅笔的6倍。钢笔和铅笔的单价各是多少元？

问题②：一套餐桌椅有4把椅子和1张桌子共800元，桌子的单价比每把椅子贵200元。椅子和桌子的单价各多少元？

问题③：用2个大盒和5个同样的小盒装满球，正好是90个。每个大盒装20个球。每个小盒装多少个？

在学生交流的过程中，突出在替换后根据什么数量关系来计算，小结时，引导学生体验替换后运用数量关系的共性：在倍比关系中，替换后要注意数量发生了变化；在相差关系中，替换后要注意总量发生了变化，进一步把多领域里的数量关系统一为总量、数量与每份量之间的关系。这不仅是数学的本质，更升华了学生的思维。

综合以上一引、三用数量关系的过程与价值体现。笔者认为：解决实际问题的教学，需要数量关系做理论基础、思维支撑；为了使学生会解决实际问题、能解决实际问题，有必要对学生进行数量关系的训练，有必要培养学生熟练应用数量关系进行有根据、有条理地分析和判断的能力；解决实际问题的教学不仅仅是为了解决问题，还要在解决问题的过程中，使学生进一步理解和掌握数量关系，提高学生解决问题的能力，提升学生的数学素养。

参考文献

[1]银庆辉；词义丰富的have[J]；中学英语之友；2011年07期

[2]龚雷；另类距离[J]；中学生数理化；2014年02期