浅谈洛比达法则

摘要在一元函数极限的计算中，洛比达法则是解决这一问题的最有效方法，但洛比达法则也不是“万能”的，运用不当不但计算十分复杂，甚至得不出结果或导出错误的结果。

中图分类号：O172文献标识码：A

Shallow Analysis of L'Hospital

JIANG Yinshan

(Austral Business School of Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou, Guangdong 510545)

AbstractIn a circular function limit calculation, L'Hospital Law is the most effective way to solve this problem, but it isn't "universal", wrong using of it will be very complicated and lead to a wrong result or nothing.

Key wordsindefinite formulas; the substitution equivalent infinitesimal; Nonzero factor; limit

在一元函数极限的计算中，常常遇到求所谓“未定式”的极限问题。洛比达法则是解决这一问题的最有效方法，但洛比达法则也不是“万能”的，运用不当不但计算十分复杂，甚至得不出结果或导出错误的结果，所以给学生的学习带来很大的困扰，那么如何正确使用洛必达法则，本文就这方面进行一定的总结，希望能给学生的学习带来帮助。

1 洛比达法则的三个条件是结论的充分条件

现以洛比达法则I加以说明：

若函数f (x)与g(x)满足下列条件：

（1）在点a的某去心邻域内，f '(x)及g '(x)都存在，且g '(x)≠0；

（2）当xa时，函数f (x)及g (x)都趋于零；

（3） 存在，则=

在使用洛比达法则时应注意条件（3）仅是充分条件，即当有限 不存在时，虽然不能使用洛比达法则，但极限 仍可能存在。

例1．求

解：此极限属于型的未定式，但对分子和分母求导后，将变为

由于 cos 的极限不存在（振荡），故洛必达法则失效，但原极限是存在的，可用如下方法求得：

= x sin=xsin=1?=0

2 应注意检查使用洛比达法则的条件

首先检查所求的极限是否属于未定式，只有，型的未定式，才能使用洛比达法则，而0,∞型的未定式转化为或型；∞-∞型的未定式转化为型；00,∞0,1∞型0,∞型或型。故在使用洛比达法则时一定要检验它的型，洛必达法则可多次使用。

例2求

解：= = = 是错误的。

因为 既不是也不是型，故不能使用洛比达法则，其实 = 0

例3求

解：=不存在，但=(1+) = 1+0 = 1

从例3可以看出使用洛比达法则不但要检验未定式的型，还要看满不满足洛必达法则的三个条件。

3 使用洛比达法则应采用一定的技巧

在多数情况下，使用洛比达法则是有效和简便的，但对一些形式较为复杂的未定式极限的计算就不能一味地使用洛比达法则而要注意配合使用其它方法，才能在计算过程中简化。

3.1 使用未定式

例4 求 ( - )

法一：直接使用洛比达法则

解：原式= ，（型）=

=（洛比达法则）

=

=（洛比达法则）

=（洛比达法则）

=

= = 。

法二：洛比达法则与等价无穷小的代换结合使用。

原式=

=

=

=

= =

3.2 将“非零因子”分离出来

例5 求

如直接用洛比达法则计算将很复杂，我们发现分子和分母都有非零因子cos2x和。因此首先将它们分离出来，转化为两个极限的乘积后，再用洛比达法则就简单多了。

解：原式=

= 1・1 = =

参考文献

[1]马庆华.浅谈如何正确灵活使用洛比达法则.惠州大学学报,1999.12(4).

[2]吴M昌.微积分[M].中国人民大学出版社,2009.7.

[3]考研命题研究组.研究生考试应试教程[M].科学技术文献出版社,2006.2.