上半连续函数的若干性质

摘 要：本文介绍了上半连续函数的定义，上半连续函数与连续函数之间的关系，上半连续函数的等价描述，上半连续函数的若干性质以及一些例子。

关键词：连续；上半连续；下半连续；一致连续

函数的种类极为复杂，有一类函数并不连续，却具有一些与连续函数相近的性质，即连续函数的一个推广――半连续函数。上半连续函数是连续函数的一种重要推广，研究上半连续函数与连续函数之间的关系以及上半连续函数的性质对连续函数的理解会更加深刻。因此，讨论上半连续函数是一件很有意义的工作。

一、上半连续的定义

定义1：f （x）设在x0及其附近有定义，所谓f （x）在x0处上半连续是指：？坌ε>0， ？埚δ>0，当x∈E，|x-x0|

定义2：所谓f （x）在x0处下半连续，是指：？坌ε>0，？埚δ>0，当x∈E，|x-x0|f （x0）-ε.

二、上半连续函数的等价条件

1.函数在一点上半连续的等价条件

在给出上、下半连续函数的等价描述之前，先给出函数的上、下极限的定义.

定义3：设函f （x）数在集合A上有定义，x0∈A为A的一个聚点，当且仅当数M为f （x）在x0处所有子极限的最大者时，称M为f （x）在x0处的上极限，记作M=■f （x）.

定义4：函数f （x）在集合A上有定义，x0∈A为A的一个聚点，当且仅当数M为f （x）在x0处所有子极限的最小者时，称M为f （x）在x0处的下极限，记作M=■.

2.函数在集合E中上半连续的等价条件

定义：当且仅当f （x）在集合E中处处上（下）半连续时，称f （x）在E中上（下）半连续.

定理1：设E为闭集，f （x）在E上有定义，则f （x）在E中上半连续的充要条件是：？坌c∈（-∞，+∞），集合F（c）={x∈E：f（x）≥c}为闭集.

三、上半连续函数的若干性质

1.运算性质

定理2：（1）若在[a，b]上，函数f（x），g（x）上半连续，则它们的和f（x）+g（x）也在[a，b]上为上半连续.（2）若在[a，b]上，函数f（x）及g（x）>0，且上半连续，则它们的积f（x）・g（x）在[a，b]上是上半连续的.若f（x）>0且上半连续，g（x）

2.关于上半连续函数的界

定理3：有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界.具体来说，若f（x）在[a，b]上是上半连续的，则：（1）f（x）在[a，b]上有上界（？埚M>0，使f（x）≤M，？坌x∈[a，b]）；（2）f（x）在[a，b]上达到上确界（即：？埚x0∈[a，b]使得f（x0）=■f（x））.

3.一致上半连续与一致连续之间的关系

一致上半连续的定义：设f（x）是定义在区间I上的函数，若对？坌ε>0， ？埚δ>0，当x′、x″∈I，|x′-x″|

一致上半连续与一致连续之间的关系：f（x）在I上一致上半连续？圳f（x）在I上一致连续.

四、结束语

本文着重阐述了上半连续函数的若干性质，如运算性质，上半连续函数局部保负性，无介值性，关于上半连续函数的界，保半连续性，一致上半连续与一致连续之间的关系。当然，由于笔者知识尚浅，在上半连续函数的应用要求方面还做得不是很好，在今后的学习中有待完善。

参考文献：

[1]周运明，尚德生.数学分析（上）[M]北京：科学出版社，2008.

[2]曾眺英.半连续函数的性质[J].嘉应学院学报，2011，29（5）：20-24.