一道自主招生试题的拓展

[摘要]纵观2005年、2007年高考卷及2011年的卓越联盟试题，都涉及椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值问题.对这类问题进行了深入思考，从而进行推广，得到一般的结论.

[关键词]椭圆最值问题拓展

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140036

2005年高考全国卷II理科第21题、2007年高考全国卷I理科第21题和2011年卓越联盟试题第13题这三道题目均是求椭圆内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.限于篇幅，在此仅呈现2011年卓越联盟的第13题.

题目：（2011・卓越联盟）已知椭圆的两个焦点F1（-1，0），F1（1，0），且椭圆与直线y=x-3相切.（1）求椭圆的方程;（2）过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

受上述三题的启发，笔者思考如何求抛物线内以两条相互垂直的焦点弦为对角线的四边形面积的最值.鉴于此时四边形面积的最大值是不存在的，故仅讨论最小值.笔者编制了如下一题.

题1：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.

解：（1）xAxB=p24=4，p=4，则抛物线的方程为y2=8x.

（2） 设弦AB所在直线的倾斜角为θ，则

S四边形ABCD=12|AB||CD|sinπ2=12×2psin2θ×

2psin2（θ±π2）=

2p2sin2θcos2θ=

2p2

14sin22θ

≥

8p2=128

.

此时弦AB、CD所在直线倾斜角分别为π4，3π4或3π4，π4.

笔者对题1进行深入思考，并对其进行变式，得到题2.

题2：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作夹角为π3的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的倾斜角.

解：第一问解答如题1.（2）设弦AB所在直线的倾斜角较小，为θ（0

S四边形ABCD=12|AB||CD|sinα=12×2psin2θ×

2psin2（θ+α）×

sinα=

2p2sinα{-12[cos（2θ+α）-cosα]}2

=8p2sinα[cos（2θ+α）-cosα]2.

①当α=π3时，则当2θ+α=π时，θ=π-α2=

π3

，四边形ABCD的面积取得最小值，

Smin=8×42×sinπ3（cosπ-cosπ3）2

=25639

，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3.

②当α=2π3时，则当2θ+α=2π时，θ=2π-α2=

2π3

，四边形ABCD的面积取得最小值，但0

综上，四边形ABCD面积的最小值为25639，此时弦AB所在直线的倾斜角为π3，弦CD所在直线的倾斜角为2π3，倾斜角互补.

反思：若将直线AB与CD的夹角π3改为其他度数，方法同上，亦可求得四边形ABCD面积的最小值，且此时直线AB与直线CD的倾斜角互补.若将y2=2px（p>0）改为y2=-2px，x2=2py，x2=-2py（p>0），方法亦同上.对此类题目进行推广，可得到一般的结论，在此不展开证明，留给有兴趣的读者去证明.

对于题1，直线AB与直线CD垂直，即kAB・kCD=-1，即抛物线两条焦点弦所在直线斜率的乘积为定值，求四边形ABCD面积的最小值.笔者对题1进行变式，得到题3.

题3：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D两点，且xAxB=4，kAB・kCD=-4.（1）求抛物线的方程;（2）求四边形ABCD面积的最小值，并求此时弦AB、CD所在直线的斜率.

题3留给有兴趣的读者去求解.

[参考文献]

苏进文.椭圆焦点弦四边形面积的最值[J].中学数学研究，2008（4）.