关于数字积分插补算法的理解

摘要 数字积分插补算法是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法，易于实现多坐标联动，在数控系统中得到广泛应用。多数教材在讲述该算法时，在推导了用累加和表示积分值的过程后，没有进一步解释算法中各参数的物理含义，学生理解起来有困难。本文基于数字积分法的原理，详细阐述了算法中各参数的物理含义，并以数字积分直线插补算法为例做了进一步分析，便于学生掌握该算法的本质。

关键词 数字积分插补算法 数控系统 物理含义

中图分类号：TG659 文献标识码：A

0 引言

插补算法是影响数控系统性能的重要因素，是数控技术课程的核心内容，数字积分插补算法又称数字微分分析法——DDA（Digital Differential Analyzer），是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。它的优点是脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动，容易实现二次曲线、高次曲线和空间直线的插补，在数控系统中得到广泛应用。

一般教材都结合函数积分原理讲述该插补算法原理，即将函数 = （）在到区间的积分，近似视为曲线下许多小矩形面积之和。

一般还要假设为单位时间和累加器容量为单位面积而将上述公式变为：

若累加过程中超过一个单位面积就产生一个溢出脉冲，则累加过程所产生的溢出脉冲总数就等于所求的积分值。上述公式从数学角度容易理解，但是 用“1”替代的依据是什么，对应的是否发生相应变化，的物理含义是什么，多数教材并没有进一步论述，这种内容上的模糊影响了学生对算法本质的理解。

1 数字积分插补算法的物理含义

数控插补算法的本质是将基本数控轨迹分解为数控运动所需的最小位移量，而位移正是速度的积分。因此，公式（1）中函数 = （）的物理含义应该是某个坐标轴的速度函数，下面对其做进一步说明。

假设某数控系统要加工的平面任意曲线，在及坐标轴的速度分量如图1（a）和（b）所示，该曲线的数字积分插补算法工作过程是每个脉冲源到来时，对各运动轴的速度分量进行积分以确定相应坐标轴的位移量，当位移量超出一个脉冲当量时相应轴就溢出一个进给脉冲。可见，要走出给定的曲线轮廓，速度分量就要按曲线规律变化，并按公式（3）各自积分。

若将脉冲源周期看作 的单位时间“1”，脉冲当量看作累加器的单位面积容量，则的单位是脉冲当量/脉冲源周期，和分别指给定时间内和轴的位移，单位是脉冲（当量）个数。为保证插补精度，每次沿坐标轴进给脉冲不能超过一个，因此均应小于1。

可见，数字积分法的基本原理可以形象地比喻为“零存整取”，它将曲线在各坐标轴的速度与时间的乘积（即进给位移量）分段收集起来，当某个轴收集的进给量不够指定值（通常等于脉冲当量）时就暂存在累加器里，超出指定值时就进给一个脉冲，同时溢出后的余数继续用于后面的累加，直至到达曲线终点。

数控机床加工的典型轮廓由直线和圆弧组成，各个插补算法也主要包括直线插补和圆弧插补两类，下面以第一象限的数字积分直线插补算法为例做进一步分析。假设直线起点为坐标原点，终点为，程编速度为。如前所述，要想控制数控系统走出直线，则和方向的速度必须保持如下关系，即：

由于数控机床在进行直线加工时，轨迹的终点是确定的，因此各个坐标轴的速度 = 和 = 也是不变的（而在圆弧加工时，各个坐标轴的速度是瞬时变化的）。按照前述解释，和分别指单个脉冲源周期在和轴上各输出多少个脉冲当量，且二者都应小于1。在硬件数字积分器里，通常取 = 1 / ，累加次数就统一为 = ，为累加器的位数；在软件数字积分器里，的取值只要保证和小于1即可，一般也取成 = 1 / ，为所用数据变量长度。

2 结论

本文对数字积分插补算法的物理含义进行了详细的解释，使学生在理解数控插补算法时不再是生记一些枯燥的公式，便于其掌握数控插补算法的本质。

参考文献

[1] 胡占齐，杨莉.机床数控技术[M].机械工业出版社，2007.5.

[2] 王润孝，秦现生.机床数控原理与系统[M].西北工业大学出版社，1997.6.

[3] 陈蔚芳，王宏涛.机床数控技术及应用[M].科学出版社，2008.