圆锥曲线的统一性

摘 要：圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在现实生活中也存在着许许多多的圆锥曲线，它们有着非常广泛的实际应用，因此有必要深入了解圆锥曲线各种性质.追寻前辈们的探索足迹，从锥面截线、轨迹观点、圆心运动、方程形式、曲线性质等五个方面对圆锥曲线的统一性进行了归纳.

关键词：圆锥曲线；统一性；定义；性质

椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线；通过直角坐标系，圆锥曲线又与二次方程对应，所以圆锥曲线又叫做二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的现实生活中也存在着许许多多的圆锥曲线，它们有着非常广泛的实际应用，因此有必要深入了解圆锥曲线各种性质.本文将追寻前辈们的探索足迹，从锥面截线、轨迹观点、圆心运动、方程形式、曲线性质等五个方面对圆锥曲线的统一性进行归纳，希望有助于大家更全面地认识圆锥曲线.

我们来重新回顾一下圆锥曲线产生和发展的主要探索历程：早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”.对于圆锥曲线，他们当初的主要兴趣在于用它来帮助解决古代的三大作图问题――化圆为方、倍立方和三等分角问题.直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究，一是德国天文学家开普勒（Kepler，1571～1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实，二是意大利物理学家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线.人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式.17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述，他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础.而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一.到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换.1745年，欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作，在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形经过适当的坐标变换，总可以化为标准形式.继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面诸如球面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等.

一、锥面截线的统一

现在我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线.

如果用一个不过圆锥顶点的平面去截圆锥的侧面，设圆锥的半顶角为α，圆锥的轴与平面所成的角为θ；当θ= ，交线是圆；当α

如果平面与圆锥侧面只交于一点（如下图a），当θ=α时，平面与圆锥侧面相切于一条母线（如下图b）；当θ

二、轨迹观点的统一

从点的集合或轨迹的观点看，到一个定点F的距离和到一条定直线L的距离之比是一个常数e的点的轨迹叫做做圆锥曲线.这个定点F叫做焦点，这条定直线L叫做准线，常数e叫做离心率.当0

这一结论在天体物理方面是有具体应用的：当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支.

三、圆心运动的统一

两条互相垂直的直线L与L1，垂足为K，定点O与动点O1在直线L1上，以O1为圆心以O1K为半径做圆O1（如右图）.

（1）如果动点即圆心O1在定点O的右边，点A在圆O1上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O、O1为焦点的椭圆C1.

（2）如果动点即圆心O1从定点O右边沿着直线L1向左移动与O重合，这时椭圆就变成了圆.

（3）如果动点即圆心O1沿着直线L1向右移动到无穷远处，这时圆O1就是直线L，当点A在直线L上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O为焦点，以L为准线的抛物线C2.

（4）如果动点即圆心O1沿着直线L1从左边回来，点A在圆O1上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O、O1为焦点的双曲线C3.

（5）如果动点即圆心O1从左边沿着直线L1向右移动到与O重合，这时双曲线退化为两条相交的直线.

简而言之，椭圆有两个焦点O、O1（假定点O1在点O右边），若O固定，考虑O1的移动，当O1向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，O1与O重合时即为圆；当O1向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，O1到无穷远处时即为抛物线；当O1从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当O1继续向右移动，O1又与O重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线.我们看到了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只需考虑焦点的各种移动方式.此外也可以说抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆.

四、方程形式的统一

1.在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）来表示，①当B2-AC0时，它表示双曲线.代数式B2-AC值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变，而这些曲线在代数上的区别只在于方程系数B2-AC的正负号.

另外，圆锥曲线还可以表示为：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.这是以定直线L为y轴，并且使x轴通过焦点F，得到的圆锥曲线的轨迹方程，其中p是定点F到定直线L的距离，e是离心率.

2.在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：当0

五、曲线性质的统一

由于圆锥曲线定义上的统一，必然会有其性质上的统一，即具有相似的性质.以下就其中的一部分作些初步的探讨.

性质一：（1）椭圆与双曲线上任一点M的两条焦半径MO、MO1与通过M点的切线夹相等的角度.

（2）抛物线上任一点M的焦半径MO、MO1（过M平行于轴的射线）与抛物线在M点的切线夹相等的角度.

据此易知，圆锥曲线具有如下的光学性质.

椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点.

双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点O处，光线或声波射到双曲线靠近O的一支上，经过反射以后，就好像从另一个焦点O1处射出来一样.

抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

显然，由圆心运动的统一定义直接可以得出性质一的结论.下面再采用解析方法，以椭圆为例给出证明.

性质二：已知切点（x0，y0），圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切线方程统一的形式为

参考文献：

[1]王树禾.数学百家.北京：国防工业出版社，2005-04.

[2]张楚廷.数学文化.北京：高等教育出版社，2000-07.

[3]蔡静.圆锥曲线的光学性质及其运用.福建中学数学，2007（03）.

[4]陈靖航.圆锥曲线一个性质的完善及推广.福建中学数学，2007（01）.

作者简介：许永祥，男，出生于1970年10月，中学数学一级教师，工作单位为福建省漳浦道周中学（邮编363200）。

（作者单位 福建省漳浦道周中学）