《高等数学》教学中需强调及补充的一个知识点

【摘 要】本文简要探讨了在《高等数学》某些知识点的处理方面应该兼顾后续课程如《概率统计》需要的必要性。对“积分上限的函数其被积函数是分段函数时求该函数”这个具体的知识点，在教学中应如何强调及补充给出了具体的教学设计和例题分析。

【关键词】高等数学；概率统计；积分上限的函数

《高等数学》和《概率论与数理统计》（以下简称为《概率统计》）是工科院校各专业的重要基础课程，但这两门课程又是让很多学生望而生畏的，尤其是《概率统计》课程。目前由于教材编排及内容设置等传统做法并没有很好地考虑到这两门课程知识之间的联系性，结果使很多学生在《概率统计》中用到《高等数学》的微积分知识时遇到困难，因为一些要使用的知识或在《高等数学》中一笔带过，或是根本没有相应的讲解及练习，所以使学生在学习这些内容时做不到平稳衔接，顺利过渡，进而加深了对《概率统计》课程的畏惧心理，导致该门课程教学效果大受影响。这些知识点包括如无穷限广义积分计算、二重积分的积分域为无穷平面域、积分上限函数的被积函数为分段函数、含参变量的积分等。本文仅以《高等数学》中讲授的积分上限函数为例，对于其被积函数为分段函数时如何求该积分上限函数的相关内容，提供一种教学设计，便于做好和《概率统计》课程相应知识点的衔接。

在传统的《高等数学》教材中，对于积分上限函数，是作为微积分基本公式出现之前的一个预备知识，对于这个重要函数的介绍，仅限于概念和它的求导公式。

定义：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且设x为[a，b]上的一点，则称Φ（x）=f（t）dt，（a≤x≤b）为积分上限的函数。

定理：如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数Φ（x）=f（t）dt在[a，b]上可导，并且它的导数Φ′（x）=f（t）dt=f（x），（a≤x≤b）。

教材中关于积分上限的函数没有更多的介绍，只给出了两个应用上述定理公式的例题，在课后习题中增设了一些如隐函数求导、由参数方程_定的函数求导、积分上限函数的复合函数求导、洛必达法则以及被积函数是分段函数时积分上限的函数的求法等等类型的习题。这些习题中，前面的那几种类型都是学生在《高等数学》中已经学习过的知识，不同之处在于其中出现的函数是本节新学到的积分上限的函数，教师一般会作为新知识应用及旧知识复习的结合，给学生加以讲解及练习。唯独被积函数是分段函数时积分上限的函数的求法这种题型，若非教师本人熟悉后续课程《概率统计》的相关内容，往往会觉得在高等数学课程中没有太大作用，学生比较难理解，接受起来比较吃力，因此往往就直接忽略了这样的题型。但这样的处理方式直接导致在《概率统计》课程中学生在学习诸如连续型随机变量由概率密度函数求分布函数等相关知识时遇到困难。因此，在高等数学本节教学内容的处理上，建议增加以下例题和练习题，并详细地加以分析和讲解，辅助以练习，从而达到在后续课程应用时能顺利衔接的目的。

例：设f（x）=x2，x∈[0，1）

x，x∈[1，2]，求Φ（x）=f（t）dt在[0，2]上的表达式。

在该例的讲解过程中，教师应着力于让学生区分清楚积分变量和积分上限处的变量x，以及它们各自的取值范围，即0≤t≤x，0≤x≤2。其中积分上限处的变量x具有两重属性，绝对的变化性和相对的固定性，即作为函数Φ（x）的自变量它是绝对变化的，但作为定积分f（t）dt的上限时它又是相对固定的。必要时可借助于定积分的几何意义，进行曲边梯形面积的图形直观演示，让学生清楚此例中函数Φ（x）的定义域是[0，2]。同时要强调，当积分区间变化时，相应的被积函数f（t）也会随着变化，如0≤x≤1时，f（t）=t2，而当1≤x≤2时，由于被积函数的不同需要利用“定积分对于积分区间具有可加性”这样的性质把积分区间分为0≤t

此外，教师应补充一些类似的题目，让学生仿照刚才的例题继续进行练习，通过例题的讲解和补充题目的练习，力争使学生对这一类问题全面掌握。这既有利于《高等数学》课程中学生对积分上限的函数这部分的学习深入扎实，又为《概率统计》课程相应部分打下了良好的基础。以下两道题目可供学生练习参考。

练习1：设f（x）=

sinx，0≤x≤π

0， xπ，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表达式。

练习2：设f（x）=

x，0≤x

2-，3≤x≤4

0， x4，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表达式。

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.《高等数学》（上）（第六版），高等教育出版社

[2]盛骤等编.《概率论与数理统计》（第四版），高等教育出版社