谈高中函数作图的几种方法

摘 要：函数作为高中数学教学内容的第一重要模块，不论是在高考的试题比例中，还是在实际的生活运用中，都占有很大的比例。高中函数涉及到的知识包括各类函数的定义与概念、图像及性质。其中函数的图像是非常重要的，因为它能表示函数的解析，它能直观反映函数的性质，它能直接解答部分"实际或数学问题"。因此，高中函数作图是高中数学教学中非常重要的知识点。

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数形结合是高中数学知识中很重要的一种学习方法，并且很有用，能够灵活地运用数形结合的方法，可以进一步帮助学生掌握数学知识。尤其是在函数和几何中，数形结合能够有效地帮助学生快速的解决问题，甚至省去相对较为复杂的计算，所以，教会学生掌握函数作图的方法是非常重要的。

函数作图是函数学习的重要组成部分，也是辅助学生更好的学习函数的重要方法，因为，从函数图像中，我们可以看出函数的单调性、最大值、最小值、周期、奇偶性等重要性质。

因此，我们可以看出数形结合对于高中函数解题是非常重要的方法，所以，我们需要掌握好函数作图的方法。

一、列表描点法

该作图法是高中函数作图中最基本的，也是最简单的作图方法。列表描点法作图分为三个步骤：

第一步，列表：首先需要确定函数f（x）的定义域，其次在函数定义域内取若干x的值，然后对应x的取值列出相应的函数值表。

第二步，描点：在列出表格之后，再在平面直角坐标系中描出相应的点。

第三步，用光滑的曲线依次连接相应的点，得到的光滑图形便是所求函数的图像。

二、利用图像特征作图

利用图像的特征作图即为简化的描点法，它主要依靠学生对于函数图像的熟悉程度决定的。当我们知道需要作图的函数图像的大概形状和特征时，我们就只需要找到图像关键的点，然后依次连接关键点便也可以得到函数的图像。而没有必要严格的按照描点法画图。

但是，想要利用图像的特征作图，首先就得需要学生对于各种函数图像的特征有着准确的了解和定位，看到函数的解析式便能够明确这是什么函数，这个函数的基本图像大概是什么样子，然后，在此基础上，加上具体函数的具体数字加以计算，得到关键点的数字，再对应坐标描点，才能够得到函数的图像。例如，一次函数的图像就是一条简单的直线，所以，只需要找到任意两个不同的点，链接点便可以得到函数图像;二次函数的图像是一条抛物线，所以在作二次函数图像时需要确定图像的顶点，对称轴，函数图像开口方向，以及函数图像与坐标轴的交点即可，然后链接这些点，就能够画出二次函数的图像。

另一类的图像和英文字母N（a>0）或倒写的N（a<0）相似。所以对于三次函数只要根据首项系数和极值点就可以确定其草图。

四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e图像也有两种基本类型：一类是抛物线型;另一类的图像和英文字母W（a>0）型或M（a<0）型相似，所以对于四次函数只要根据首项系数确定张口方向，再结合极值点草图立马画出。

利用函数图像特征作图是数学中比较常用的图像作图方法，因为只需要按照熟知的函数图像形状，再确定几个关键点便可以做出函数的草图，节约时间，错误率也相对较少。所以，在教学过程中，教师和学生都多常采用此方法作图。

三、利用基本函数的图像，通过变换作图

利用基本函数的图像，通过变化作图主要就是找到函数的基本函数，然后根据基本函数的图像，再经过解析式所需求的变换，来画出所求图像。例如一次函数的基本函数就是y=x，二次函数的基本函数则是y=x2，所有的二次函数都是在此基本函数的基础上经过平移、对称、伸缩等变换，得到的新的图像。

函数图像的变换主要有：

1.平移变换（1）将y=f（x）的图像向左平移a―个单位可得到y=f（x+a）（a>0）的图像，将y=f（x）的图像向右平移a个单位可得到y=f（x+a）（a0）的图像.（2）将y=f（x）的图像向上平移b个单位可得到y=f（x）（b>0）的图像，将y=f（x）的图像向下平移b个单位可得到y=f（x）+b（b0）的图像.

2.对称变换：（1）将y=f（x）的图像做关于x轴的对称图像可以得到y=-f（x）的图像;（2）将y=f（x）的图像做关于y轴的对称图像可以得到y=f（-x）的图像;（3）将y=f（x）的图像做关于原点的对称图像可以得到y=-f（-x）的图像。

3.翻折变换（1）将y=f（x）的图像在x轴上方的部分保持不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得y=f（x）的图像。（2）将y=f（x）的图像在y轴左侧的部分去除，再做y轴右侧部分的图像关于y轴的对称图像，可得y=f（x）的图像。

4.伸缩变换（1）将y=f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变可以得到y=f（ax）（a>0）的图像。将y=f（x）的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的b倍可以得到y=bf（x）（b>0）的图像。当a>0或b>0时可以先按对称变换处理后再做伸缩变换。

一般地，利用函数的基本图像通过变化作图需要作图者对于函数的基本图像铭记于心，还需要对于函数变换的技巧熟练掌握，不然很容易在变换的过程中出现错误，从而影响图像的正确度。

四、用多媒体软件做函数图像，高中生可以用的有几何画板和Excel

1、用几何画板做函数图像，从菜单中选择“文件”“新建文件”命令，再从菜单栏中选择“绘图”“定义坐标系”命令，再从菜单栏中选择“绘图”“绘制新函数”命令，弹出以下对话框。然后在对话框里编辑函数如：“f（x）=x3-2x”;或着选择函数如：“f（x）=sinx”，最后点击确定就可以画出所需函数图像。

2、用Excel做函数图像，人教A版《高中数学必修1》第37页的“信息技术应用”有详细说明。用计算机做图非常准确，但受条件和技术限制。显然学生做题时运用不现实，课后研究或作为老师研究问题的工具是很好的。

结合图像研究函数或其它问题是高中数学教学过程中重要的学习方法，所以要熟悉部分特殊函数的图像，要能熟练地掌握基本的做函数图像的方法，可以快速、准确地对问题进行解答，尤其是在函数知识的学习过程中，图像的正确与否直接影响到函数题的解答，因此掌握函数图像的做图技巧和方法对于学生的学习有着重要的作用。