从解析几何中的一题多解来拓宽数学的解题视野

数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。掌握数学就意味着善于解题，从解题的过程中来体会知识体系的建构和各类知识之间的相互联系。但解题就需要学生对数学思想和数学方法能够融会贯通的掌握，有较宽的数学视野对解题而言也是很重要的。下面，就以解析几何中的常规题的不同解法来浅谈如何拓宽学生的数学视野。

例1：已知圆x2+y2-4x+1=0，且P（x，y）是圆上的任意一点，求y-x的最值。

解法一：利用线形规划的思想解决。不妨令z=y-x，即x-y+z=0，可以看作是与直线x-y=0平行的直线系方程。令x=0，可得y=z，即直线在y轴上的截距为z。因为点P（x，y）是圆上的任一点，所以直线与圆要有交点。通过作基本直线x-y=0的平行线并观察它在y轴上的截距来求z的最大值和最小值。

解法二：利用直线和圆锥曲线的位置关系的思想来解决，通过联立方程组来研究直线和圆锥曲线的问题是一种常规的解题方法。将圆看作是一种特殊的圆锥曲线来处理。令b=y-x，即y=x+b。因为点P是圆上的一点要满足已知圆的方程，所以所设直线和已知圆至少有一个交点。可以联立直线和圆的方程y=x+bx2+y2-4x+1=0，消去y得到关于x的方程2x2+（2b-4）（1）求证：|OP|2+|OQ|2等于定值（2）求线段PQ中点M的轨迹方程

这种方法是通过观察椭圆的方程，利用三角换元的方法来处理。在第（2）问，由中点坐标公式就出PQ的中点M的坐标之后，将方程稍做变形之后平方相加。这是求M的轨迹“消参法”的关键性的一步。

对于同一道数学问题用不同的数学解法可以开拓学生的解题思维，也可以让学生从中了解到数学各个章节体系之间的融会贯通。在讲解的过程中，即强调常规方法的重要性，又要鼓励学生能够用不同的方法去解决问题，以小组合作的方式去自主探究。我们在解题的过程中渗透解题的一些基本方法，像常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；常用的数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；常用的数学思维方法有：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；以及常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。在解题中加强双基，在探究中发散思维。

（作者单位：湖北省十堰市柳林中学）