例谈综合题中等腰三角形分类讨论问题

【摘要】等腰三角形分类讨论问题是中考中的热点，本文介绍四个方法解决此类问题：将三角形的三条线段长度（或长度的平方）分别用参数表示再分类讨论；分类讨论时，结合等腰三角形的“三线合一”及三角形的相似（或锐角三角函数）解决问题；通过作图法寻找符合条件的等腰三角形；原三角形分类讨论不太方便时，将三角形转化为与其相似的三角形进行分类讨论.

【关键词】等腰三角形综合题中分类讨论问题

综合题中等腰三角形的分类讨论问题是近年来中考的热点，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力，对学生分析问题的能力要求较高，本文拟通过几道中考试题加以分类解析，帮助学生体会这类问题的解题思路.

1.将三角形的三条线段长度（或长度的平方）分别用参数表示，再分类讨论求解

例1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析与解

（1）（解答略）抛物线的解析式：y=-x2+2x+3.

（2）（解答略）P的坐标（1，2）.

（3）抛物线的对称轴为：直线x=1，设M（1，m），已知A（-1，0），C（0，3），则：

2.分类讨论时，结合等腰三角形的“三线合一”及三角形的相似（或锐角三角函数）解决问题

例2 如图3，RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6.

（1）动点D在边AC上运动，且与点A，C均不重合，设CD=x.

①设ABC与ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

②当x取何值时，ADM是等腰三角形？写出你的理由.

（2）如图4，以图3中的BC，CA为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使ADM为等腰三角形共有多少个？（直接写结果，不要求说明理由）

图 3 图 4

分析与解

（1）（解答略）①y=2612-x（0

②由题意，AD=12-x，AM=6，AB=13.

（ⅰ）当AD=AM=6， 12-x=6，即x=6时，ADM为等腰三角形.

（ⅱ）当AM=MD时，如图5，过点M作MHAD于点H，