余弦定理在求边以及求边的范围的几点思考

【摘要】余弦定理在求边和求边的范围上都有其自身的特点，如果能应用的话当在完成题目的过程中有着事半功倍的效果.

【关键词】余弦定理；求边；求边的范围

余弦定理在高中数学中是一项重要内容，尤其是在求边和求边的范围上相比正弦定理而言有其独到的地方，下面具体通过几个例题就余弦定理求边及求边的范围问题进行说明.

余弦定理求边是余弦定理应用中很常见的问题，通过以下例子来谈谈应用余弦定理求边.

分析 用正弦定理来解决这个题目，虽然思路简单，但计算比较复杂，容易出错.

解法二 由余弦定理有

解得a1=5，a2=4.

分析 此题利用余弦定理来完成题目比较容易，但给出的条件不是两边及其夹角，而是两边及其非夹角的余弦值，这样的题目用正弦定理去做比余弦定理做要麻烦得多，我们就可以明显地发现余弦定理求边的好处.

通过以上例子可以看出用余弦定理求边除直接应用定理求边外，还有些题目不用正弦定理，而用余弦定理，可以减少运算量，使运算得到简化，达到事半功倍的效果.

余弦定理也可以用来求三角形边的范围，下面通过实例就余弦定理求边问题做一探讨.

例3 已知锐角三角形的边长分别为2，4，x，则x的取值范围是什么？

解析 由题意，x应满足条件22+42-x2>0，22+x2-42>0，

解得23

分析 此题直接利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，要使角A为锐角，则cosA>0，所以只需b2+a2-c2>0 来完成题目，但根据大边对大角我们不需要边长为2的边所对的角是锐角的判断，只要边长为4所对的边是锐角就够了，这样三角形的三个角都是锐角，所以三角形为锐角三角形，从而确定了第三边的范围.通过此例，笔者发现用余弦定理来确定三角形边的范围是一个不错的办法.

例4 在锐角ABC中，边长a=1，b=2，边长c的取值范围是什么？

分析 直接利用余弦定理来求边的范围很容易犯上述的错误，出错的主要原因是只考虑了角C为锐角的情况，而忽略了角B也一定是锐角的情况.

解析

利用几何画板对例4探究，作出两个同心圆，小圆的半径为1 cm，大圆的半径为2 cm，动点A在大圆周上运动.

如图，CB=1 cm，CA=2 cm，这时利用度量工具可以测出AB=1.52 cm， 满足1

第一个等式由前面例1可知1

所以cosB=c2-32c∈（0，1），解不等式可得3

综上可得c的取值范围为3

分析 通过上面的例子我们可以看出在余弦定理的应用中，要全面认识余弦定理所蕴含的知识点.在利用余弦定理解决问题中，考虑问题不全面导致范围扩大，所以要考虑大边对大角的知识点和锐角三角形的三个角都是锐角.

通过以上例子可以得出，余弦定理在求边和求边的范围上都有其自身的特点，如果应用得当就会在完成题目的过程中起到事半功倍的效果，只要能合理地应用公式内容和公式内容的变形，就可以解决三角形中的许多问题，这里只对求边和求边的范围做了说明，其实还能解决求角等一系列问题.