高考解析几何题“设而不求”解题法的应用

数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。若思维得法，解题就会一气呵成。“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归

通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使AP/PB=-AQ/QB，求动点Q的轨迹方程。

分析：B、Q、A、P在同一线段上，且AP/PB=-AQ/QB，故可设AP/PB=k，于是B、Q、A、P坐标之间的联系就找到了，把B、A点的坐标及k设而不求，通过消元的办法找出Q点坐标的关系式，即求出Q点的轨迹方程。

解：设Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AP/PB=k，则

4=■，1=■

x=■，y=■

4x=■，2y=■

两式相加得

4x+2y=■=8

所以Q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）

点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）P0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点P作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于Q、R，求证四边形ORPQ的面积为定值。

分析：设OQ、OR的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线PR的方程为y=■（x-x0）+y0，直线QR的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xR=■-■y0，

xQ=■+■y0。又因|QR|cos？琢=xQ，|OR|cos（？仔+？茁）=xR，所以s=|OQ|·|OR|sin？兹=■sin？兹=■（a2+b2）sin？兹为定值。

点评：本题巧设三角参数　，结合直线斜率与三角参数　的关系，通过转化后整体消元达到目的，考查学生知识的迁移能力和整合能力。

例3.（2012年深圳二模20题）如图6，已知动圆M过定点F（0，1）且与x轴相切，点F关于圆心M　对称点为F′，动点F′的轨迹为C。

（1）求曲线C的方程；（略）

（2）设A（x0，y0）是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q。证明：直线PQ的斜率为定值。

解（2）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图。

■

设直线AP的斜率为k（k≠0），则直线ＡＱ的斜率为-k。

因为A（x0，y0）是曲线C：x2=4y上的点，

所以y0=■，直线AP的方程为y-■=k（x-x0）。

由x2=4yy-■=k（x-x0）

解之得x=x0y=■或x=-x0+4ky＝■，

所以点P的坐标为（-x0+4k，■），

以-k替换k，得点Q的坐标（-x0-4k，■）。

所以直线PQ的斜率kPQ=■

=■=-■为定值。

点评：利用直线AP的斜率与直线AQ的斜率互为相反数的关系，设而不求，化归消元，简化运算，直达目标，一气呵成。

二、设而不求，巧用韦达定理

利用韦达定理将设出的坐标转化为可取得联系的式子，通过有关性质进行设元消元，达到目的。

例4.（2011北京高考）已知椭圆G：■+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点。

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。

解析：（Ⅰ）由已知得a=2，b=1所以e=■=■所以椭圆G的焦点坐标为

（-■，0），（■，0）离心率为e=■=■

（Ⅱ）由题意知，|m|≥1。当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，■），

（1，-■），此时|AB|=■当m=－1时，同理可得|AB|=■

当|m|>1时，设切线l的方程为y=k（x-m）

由y=k（x-m）■+y2=1得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），

则x1+x2=■，x1x2=■

又由l与圆x2+y2=1相切，得■=1即m2k2=k2+1

所以|AB|=■

=■=■

由于当m=±3时，|AB|=■

所以|AB|=■，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）。

因为|AB|=■=■≤2

且当m=±■时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2。

例5.（2012北京高考）已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交　于不同的两点M、N　，直线y=1与直线BM交于点G。求证：A，G，N三点共线。

解析：（1）利用椭圆的标准方程，易解得■

（2）由y=kx+4x■2+2y2■=8消去y得

（2k■+1）x■-16kx+24=0

x1■+x2=■，x1x2=■

直线ＢＭ的方程为y+2=■x？圯G（■，1）

三点共线可用kAG=kAN？圯■=■，结合韦达定理代入化简可得结论。

点评：此题难度在于运算，思维含量适中，对学生来讲易于解答。

三、设而不求，代点相减

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。

例6.（2011高考模拟）抛物线x2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0（常数p、q∈R）的两个实根，求直线AB的方程。

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12=3y1　①；

x12　+px1+q=0　②。

由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0　③；

同理　px2+3y2+q=0　④。

③、④分别表示经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）的直线，因为不共线的两点确定一条直线。

px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程。

例7.（2010高考模拟）过椭圆x2＋4y2=16内一点P（1，1）作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程。

解：设弦的两端点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则x12＋4y12=16，x22＋4y22=16，

两式相减，得（x1-x2）（x1＋x2）＋4（y1-y2）（y1+y2）=0，

x1＋x2=2，y1+y2=2，等式两边同除（x1-x2），

有2+8k=0k=-0.25

故直线l的方程为y-1=-0.25（x-1），

即4y+x-5=0。

点评：这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

解析几何题的特点是：“思路好找数难算”，学生往往是望而生畏，不战而退。针对这种情况，学生就要有一定的应对能力和方法。总之，学生若掌握“设而不求”的解题策略，高考将省时省力。

（责编　高伟）