基于非局部p―Laplacian泛函的图像放大方法

摘要：非局部方法思想在图像处理上的应用给图像处理领域提供了一种新的思维方式，本文基于非局部方法提出一种基于非局部p-Laplacian泛函的图像放大方法。本方法更大范围的利用了图像本身的信息，将设定窗口内灰度值相似的像素点全部纳入算法中，在一定程度上解决了传统放大方法的局部性问题。实验证明该方法可以使图像放大减少之字形和阶梯化效果。

关键词：非局 p-Laplacian 图像放大

中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2016）11-0065-02

图像的放大研究已经成为计算机视觉处理上的热门，现有研究较为成熟的局部方法和频率域滤波方法，其相较于保留细节和纹理更注重在在减少噪声和对主要的几何构型的重建。经过国内外学者多年的不断研究，建立了很多经典的PDE模型，有：均值曲率运动（Mean Curvature Motion）、热扩散模型、TV（Total Variation）模型、P-M（Perona and Malik）模型、p-Laplace模型、测地活动轮廓模型（Geodesic Active Contour）等。这些模型是基于梯度等特征构建的，这使得模型并不能准确的指示图像的特征信息（边缘、细节、纹理等）。

而本文讨论的非局部方法在自然图像的冗余处理方面有更大的优势。非局部方法的主要思想是选定适当窗口，将窗口内所有的像素点而不只是用单个像素点纳入处理算法中。这样更大范围地利用了图像本身的信息，得到的放大图像较好地保留了图像的细节和纹理等特征，更有效地改善了图像放大质量。

2005年，Buades，Coll，Morel等人首次提出了非局部均值（Nonlocal Means，NLM）模型[1]，同年Kindermann， Osher， Jones等人给出NLM模型的变分解释[2]，Andreu证明了在p>1的情况下，非局部p-Laplacian扩散方程的强解的存在性，唯一性[3]，Bougleux，Elmoataz等人于2007年在有关图的相关概念的基础上提出了加权p-Laplacian算子的概念[4]。

1 基础知识

1.1 非局部p-Laplacian方法

非局部正则p-Laplacian模型[5-6]克服了2004年B&G提出的偏微分图像密度在局部梯度方向上扩散的缺点。在新模型下，图像的灰度值扩散沿着图像特征方向而不是梯度方向，在沿着图像特征的方向使平滑达到最大。总的正则化矩阵结合了非局部正则p-Laplacian模型和正则化TV模型的优点。由此推导出的模型有效的实现了图像的重建，实现了自然的插值，同时降低了模糊化和阶梯效应。

Kindermann， Osher， Jones等人给出的NLM模型的变分解释从如下非局部泛函的最小化给出

（1）

由此可以导出一系列经典的非局部泛函，当时，即导出非局部p-Laplacian泛函

（2）

其中当p取1时与TV模型有相似的性质。公式（2）广泛应用于图像处理的各个领域。当p=1时与TV模型有相似的性质。F. ANDREU， J. M. MAZON， J. D. ROSSI AND J. TOLEDO等人于2008年证明了公式（2）在p>1的情况下，非局部p-Laplacian扩散方程的解具有存在性，唯一性以及收敛性[7]。

进而，泛函（2）其关于u的变分为：

（3）

各向异性的扩散方向由式（3）中的项确定，这种方法比梯度方法更逼近于边界曲线的方向。当1

1.2 Chambolle图像放大模型

Chambolle等人在2004年提出如下放大模型，设图像是N×N的二维矩阵，当放大因子为2时，则模型为：

（4）

其中A是图像在空间RN×N上的正交投影；u是放大后的图像；是粗糙图像或称为原始图像；X为RN×N的子空间，有其中对于每一个k和1有k，。

因为有Ag=g，显然有

（5）

进而，公式（4）模型变为

（6）

此模型能较好的实现图像的放大，但是它具有较强的局部性，不能有效的放大图像的特征信息。所以有必要对其进行改进。

2 基于非局部p-Laplacian泛函的图像放大方法

基于非局部思想，我们使用非局部p-Laplacian图像插值模型中的正则项来规范Chambolle模型，于是得出：设图像是N×N的二维矩阵，本文模型为：

（7）

通过最小化泛函

（8）

我们即可得到放大后的图像。

对于泛函（8）的解我们考虑下面两种情况：

（1）固定ω，关于u的最小解为，（2）固定u，关于ω的最小解为，其中P是正交投影算子。

接下来我们将式（7）的解离散化以便于Matlab实现

该模型的解我们可以使用迭影方法[8]得到，算法如下：（1）给搜索框，块大小，相似像素个数以及迭代次数赋值。（2）对于每一个像素点的权值，采用以该像素点为中心的图像子块与当前像素点为中心的子块之间的高斯加权欧氏距离来衡量结构相似的像素点。（3）迭代计算公式（9）、（10），直至达到迭代次数。

3 Matlab仿真实验结果

这一部分，我们利用有限差分法来逼近本文的模型，对像素个数N为128×128的图像进行放大，并给出其Matlab仿真实验结果。我们选取p=1.8。首先初始化，设置搜索窗h大小为7×7，块大小b为5×5，相似像素个数取10。下面是仿真实验结果，将本文放大算法与Chambolle算法进行比较。如表1所示。

可以看到lena图由本文方法放大的细节保留较好；对于纹理图像，放大之后肉眼观察差异并不明显；对于自然图像放大部分本文方法放大图像较之Chambolle方法放大图像纹理更加清晰。

下面我们给出客观对比数据来评价图像放大效果的好坏。本文算法与Chambolle 算法的放大性能比较。如表2所示。

通过对比我们发现本文算法在处理细节丰富的图上有较好的效果，但是本文算法计算量较之Chambolle算法大很多，复杂度为。理论上选取的搜索框h和块b的大小越大越好，因为本文算法是依赖全图信息的。

4 结语

本文是将优秀的Chambolle放大模型与非局部p-Laplacian思想结合的方法，经过最小化本文模型，得出我们的放大图像。经比较，本文适用于处理细节丰富的图像，对于纹理图像处理效果不明显，且计算量大。后期工作仍在完善模型的放大效果上。

参考文献

[1]Buades A， Coll B， Morel J M. A Review of Image Denoising Algorithms， with a New One[J].Siam Journal on Multiscale Modeling & Simulation，2005，4（2）：490-530.

[2]Kindermann S，Osher S，Jones P W.Deblurring and Denoising of Images by Nonlocal Functionals[J].Siam Journal on Multiscale Modeling & Simulation，2005， 4（4）：1091-1115.

[3]Andreu F，Mazón J M，Rossi J D，et al.A nonlocal p -Laplacian evolution equation with Neumann boundary conditions[J].Journal De Mathématiques Pures Et Appliquées，2008， 90（2）：201-227.

[4]Elmoataz A，Lezoray O，Bougleux S.Nonlocal discrete， p -Laplacian driven image and manifold processing[J].Comptes Rendus Mecanique，2008，336（5）：428-433.

[5]Mohar B，Alavi Y，Chartrand G，et al. The Laplacian spectrum of graphs[C]// Graph Theory， Combinatorics， and Applications.1991：871-898.

[6]Yi Z.The Nonlocal p -Laplacian Evolution for Image Interpolation[J].Mathematical Problems in Engineering，2011，2011（3）：347-363.

[7]Andreu F， Mazon J，Rossi J，et al.The limit as p， ∞ in a nonlocal p -Laplacian evolution equation： a nonlocal approximation of a model for sandpiles[J]. Calculus of Variations & Partial Differential Equations， 2009， 35（3）：279-316.

[8]姜东焕，徐光宝，东野长磊.非局部的变分正则化图像放大算法[J].计算机应用，2012， 32（3）：725-728.