时间:2022-02-22 04:04:46
【摘要】在高等数学中,函数的极限是最基本、最重要的内容之一.由于初学者在学习时会碰到不少困难,且极限知识掌握与否直接关系到后继课程的学习,本文就电大的教学要求,谈谈极限的基本运算方法,以便帮助电大学生尽快地掌握极限的相关内容.
【关键词】高等数学;极限;运算方法
在高等数学中,极限是最基本、最重要的内容之一,由于极限的产生解决了数学中量的均匀变化与非均匀变化的矛盾;同时也解决了有限量与无限量的矛盾,从而使微积分中的一些基本概念有了更为确切的定义,因此成为研究高等数学的基本方法.本文根据电大的教学要求,谈谈极限的基本运算方法.
一、利用极限四则运算法则及初等函数的连续性求极限
1.当分母不为零时,可根据初等函数的连续性,用直接代入法求极限
例1 limx12x2-x+53x+1=2-1+53+1=32.
2.当出现“00”型时,可用分解因式法或有理化方法消去零因子,然后求极限
例2 limx3x2-5x+6x2-9=limx3(x-2)(x-3)(x-3)(x+3)=limx3x-2x+3=16.
例3 limx01+x-1x=limx0(1+x-1)(1+x+1)x(1+x+1)=limx0xx(1+x)=limx011+x+1=12.
3.当出现“∞∞”型时,可用分子分母同除以x的最高次方,然后求极限
例4 limx∞3x2-2x+1x2+6x+5=limx∞3-2x+1x21+6x+5x2=3.
4.当出现“∞-∞”型时,可转换成“00”或“∞∞”型,然后求极限
例5 limx12x2-1-1x-1=limx12-(x+1)x2-1=limx11-xx2-1=limx1-1x+1=-12.
5.当出现数列求和时,可先利用数列的求和公式将其变形,然后求极限
例6 limx∞1+2+…+nn+2-n2=limx∞n(n+1)2(n+2)-n2=limx∞-n2(n+2)=limx∞-n2n+4=-12.
二、利用两个重要极限求极限
例7 limx4sin(x-4)x2-16=limx4sin(x-4)(x+4)(x-4)=limx4sin(x-4)x-4·limx41x+4=1×18=18.
例8 limx0ln(1+x)x=limx0ln1+x1x=lnlimx01+x1x=lne=1.
三、利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量这一性质求极限
例9 limx0x3sin1x.
解 因为limx0sin1x不存在,故不能直接用极限的四则运算法则求极限,注意到limx0x3=0,
且sin1x≤1,所以limx0x3sin1x=0.
例10 limx∞x-1x2+x-5(2+cosx).
解 因limx∞x-1x2+x-5=0,且2+cosx≤3,所以limx∞x-1x2+x-5(2+cosx)=0.
四、利用变量代换求极限
例11 limx0arctanxx.
解 令t=arctanx,当x0时,t0,
所以limx0arctanxx=limt0ttant=1.
例12 limx0xex-1.
解 令t=ex-1,则x=ln(t+1),当x0时,t0,
所以limx0xex-1=limt0ln(1+t)t=limt0ln(1+t)1t=lne=1.
五、利用等价无穷小求极限
例13 limx0ln(1+sinx)3arctanx.
解 当x0时,有arctanx~x,ln(1+sinx)~sinx,
所以limx0ln(1+sinx)3arctanx=limx0sinx3x=13.
例14 limx0sin6xsin3x.
解 当x0时,有sin6x~6x,sin3x~3x,
所以limx0sin6xsin3x=limx06x3x=63=2.
【参考文献】
[1]李林曙,黎诣远.微积分[M].北京:高等教育出版社,2005(7).
[2]柳重堪.一元函数微积分[M].北京:中央广播电视大学出版社,2000(7).