巧用题目变形 拓宽学生思维

大千世界，到处都在发生或明显或隐蔽的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷，缓慢的变化让人不知不觉。但是，正如有些例子一样，在变化的过程中，常常有相对不变的东西……（引自《数学金刊》初中版2010年第2期），下面就《变形》问题中所蕴涵的数学思想作一个简单的梳理和回顾。

一、翻折问题

如图：ABC是一个三角形纸片，点D、E分别是ABC边上的两点，如果沿直线DE折叠（图1），则∠BDA′与∠A的关系是___。

方法一：可以利用三角形的外角性质（∠BDA′=∠A+∠DA′E）得到；

方法二：利用四边形BDA′C的内角和为360°得到；

变式一：ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是ABC边上的两点，如果折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系。

分析：本题要找的三个角在位置上没有直接的关系，我们可以通过添加辅助线，连结AA′，利用三角形的外角性质，即在DAA′和EAA′中∠BDA′=∠DA′A+∠DAA′①，∠CEA′=∠EA′A+∠EAA′②，两个等式左右两边分别相加，可得∠BDA′+∠CEA′=（∠DA′A+∠DAA′）+（∠EA′A+∠EAA′）=2∠A。当然本题也可以不添加辅助线，直接利用四边形的内角和得到。

变式二：如果折成图1的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由。

分析：当点A′被折到CE的下方时，三个角同样没有直接的联系，这就要求学生有一定的空间想象能力，将目光锁定在局部，∠BDA′=∠DOA+∠A①，∠DOA=∠A′+∠CEA′②，把②代入①整理可得∠BDA′-∠CEA′=2∠A。

梳理和回顾：在完成前面三个题的基础上，教师引导学生总结：三个结论都与2∠A有关系，这是与翻折问题中的对应角相等是分不开的。

同时我们还可以引导学生探究，对于本题的条件，你认为还可以将∠A怎样折？有学生在前面的基础上提出还可以折向BA的右上方，此时我们希望学生自己作出图形，并且得出结论。有了前面三题做铺垫，学生就很容易完成了。而且还有部分学生想到，虽然图形与第三图不同，但本质是一样的，因此结论稍微改变即可。由此可见，这类变式题目对于学生的思维培养是非常有帮助的。

二、角平分线问题

题目原型：如图4，BP是∠ABC的角平分线，则∠ABP与∠PBC的关系是，∠BPC与∠A的大小关系是______，依据是什么？

分析：图4直接考角平分线的性质及外角的性质，几乎所有的学生都能完成；点P是ABC内一点，∠BPC与∠A的大小关系是什么？

变式一：点P是∠ABC、∠ACB平分线的交点，则∠BPC与∠A的关系是什么？

变式二：点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，则∠BPC与∠A的关系是什么？

变式三：点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，此时∠BPC与∠A的关系是什么？

引申探究：

探究（1），在ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC的角平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为_________。

探究（2），如右图，在ABC和DEC中,AP,EP分别平分∠BAC和∠DEC,∠B=46°，∠D=60°，求∠P的度数。

梳理和回顾：由于对问题的思考角度不同，各种变形、解法也呈现出异彩纷呈的景象。它的解法入口很宽，运用的知识点也很多，学生的思维得到了锻炼，思想得到了升华，把教师的方法转化为自己的思想，又把自己思想转化为方法。

评析：综上所述,我们可以发现“变与不变”是相对的，条件相同，改变图形可以得到许多不同的结论；或者不同的条件也包含着相同的模型。学生通过基本图形改变条件（或图形），就可以将初中的大部分几何结论贯穿起来。这样既能激发学生的探索欲望，又能节约学生阅读题目的时间，难道这不是数学有效教学的魅力所在吗？

教学实践告诉我们，在新课程的驱使下，要想提高教学效率仅靠就必须搞题海战术是行不通的。在有限的时间内要想提高教学质量，我们教育者就必须引导学生真正做到“举一反三”。难怪有人这样形容数学：数学是一座山，峭壁之中隐藏着美丽的山景、悦耳的天籁。只有你真正走进它，才能领略这座山的奥妙所在。

参考文献：

数学金刊：初中版，2010（2）.

（作者单位 浙江省绍兴县湖塘中学）