联想思维在数学解题中的妙用

【关键词】 数学教学;联想思维; 解题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004―0463（2015）24―0120―01

数学解题的过程其实质就是联想与题目条件、结论相关的内容并建立关系的过程，难点就是联想到与数学问题有关的定义、公式、定理、法则、性质、解题思想、解题方法、解题技巧、解题规律等.因此，数学解题教学的任务之一，就是帮助学生如何联想相关内容、如何把联想到的内容与题目结论建立联系，从而达到培养学生联想思维的能力.下面，笔者结合自己的教学体会，举例说明联想思维在数学解题中的妙用.

一、相似联想

相似联想，就是根据问题条件或结论的结构特征及表形而联想到应用相似知识点解决问题.

例1 若a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证-1≤ac+bd≤1.

分析：由于已知条件a2+b2=1，c2+d2=1，与三角函数恒等式sin=1结构特征相似，因此联想到情形.设从而使本题得到解决.

在解题中，对于形如a2+b2=u（u≥0）的情形，可以联想sin2？琢+cos2？琢=1，对二次函数的问题可以联想到二次方程或二次不等式等.

二、接近联想

接近联想，就是问题的意义或形式相近的一种联想方法，即由问题或问题中的某一部分联想到用与其相同或相近的知识去解决问题的思维方式.

例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：2y=x+z.

分析：解此题一般是通过因式分解来证，但是如果注意观察已知条件的特点，会发现它与一元二次方程根的判别式相似，于是联想到用一元二次方程的知识来解.

当x-y≠0时，我们把等式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0看作是关于t的一元二次方程（x-y）t2-（z-x）t+（y-z）=0有两个等根的条件.观察出这个方程的两个等根为t1=t2=-1.

2y=x+z

若x-y=0，易知x=y=z，显然也有2y=x+z.

在解题中，圆锥曲线上的点到焦点的距离问题就要联想到圆锥曲线第二定义，关于曲线相交的问题就要联想到解方程组的问题.

三、对立联想

对立联想，就是当问题不易直接求解时，联想到其反面情形，就其反面进行分析探索，使问题得以解决.

例3 若正实数a，b满足ab=ba，且a

分析本题如果由条件找结论或由结论找条件都难以下手，所以联想结论的反面，假如a≠b，出现什么情形？

若a≠b，则a>b或a

（1）当a>b时，由1>a>b>0，利用幂函数y=xb的单调性，ab>bb利用指数函数y=bx的单调性bb>ba，故ab>ba，与已知ab=ba矛盾;

（2）当a>b时，b>a>0，1>a，利用幂函数y=xa的单调性，aa>ba利用指数函数y=xa的单调性，aa>ab，故aa

综合（1）（2）知，a=b.

对否定性、限定性、无穷性、存在性、肯定性、不等（相等）关系的问题，用对立联想常可获得解题的思路.

四、连锁联想

连锁联想，就是由数学问题已知条件或结论中涉及的知识点，联想其特有的性质，并将相关性质适当推广解决问题.

例4 设f（x）的值.

分析：观察自变量的值，就能发现：是等差数列，联想到等差数列的性质“与首末两端等距离的项和相等”，于是又可联想到f（x）、f（1-x）是否也有f（x）+f（1-x）为某一常数呢？

每个数学概念都有其特定的规定，故具有特定的性质，因而，抓住题中各个概念，合理地充分联想其特定的性质，常能获取解题途径.