灵活解决向量问题

多年来，高考浙江数学卷中均有一道向量小题．这类题目重点考查了对向量的概念及其运算的理解和应用，它们设计精巧、内容新颖、形式多样，虽以向量的形式呈现，实则涉及代数、三角和平面几何等多种知识，具有较强的综合性．这使解题思路的形成受到了阻碍，因此得分率一直不高．

下面，我们将分析几道较为典型的向量试题，帮助同学们走出思维盲区，灵活解决向量问题．

一、解向量题的两种基本方法――公式法和几何法

例1 若平面向量α，β满足α＝1，β≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为■，则α与β的夹角θ的取值范围是 ．

解法一（公式法）：设β＝ｘ． 以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S为■， β≠0，即0

解法二（几何法）：如图１所示，从同一起点O出发作向量■=α，■=β， α=1. 若以OA为平行四边形的底，由平行四边形的面积公式可得S=α・h=■，可知点B应当在到OA距离为■的两条平行线l1，l2上运动.由β≤1可得点B的轨迹应在以O为圆心、1为半径的圆上或在圆内.设C，D是圆O与l1的两个交点，E，F是圆O与l2的两个交点，当点B在线段CD上运动时， OC=OD=1，点C和点D到OA的距离为■， ■≤θ≤■；同理，当点B在线段EF上运动时，■≤θ≤■．综上所述，θ的取值范围是■，■．

评注：解法一根据公式S=α・β・sinθ求出了θ的取值范围；解法二根据向量运算的几何意义，通过作图得出结论. 这两种方法是解决向量问题的基本思路．

公式法体现了向量“量”的一面，即向量可以像数那样进行合理的运算；而几何法更侧重于向量运算的几何意义，体现了向量“形”的一面． 对例１而言，公式法似乎更便捷，但在实际运用中，有些向量问题是无法直接用公式法解决的．

二、若向量能转化为几何图形，几何法更合适

例2 已知向量a=b=1，a・b＝－■，〈a-c，b-c〉=60°，则ｃ的最大值等于

（Ａ） 2 （Ｂ） ■ （Ｃ） ■ （Ｄ） 1

分析：如果用公式法解答，就要设法将ｃ与题目所给的条件，特别是〈a-c，b-c〉=60°联系起来，但一时难以找到头绪． 如果我们注意到题目所给信息其实表达了线段的长度和彼此间的夹角关系，就可以换一种思路，通过作图表达题意，再选择适当的数学工具解决问题．

解：如图２所示，从同一起点O出发作向量■=ａ，■=ｂ，由a＝b=1，a・b＝－■可得〈a，b〉=120°，AB＝■．设■＝ｃ，由〈a-c，b-c〉=60°可知∠ACB＝60°． ∠AOB+∠ACB＝180°， O，A，C，B四点共圆，且该圆是OAB的外接圆．设圆的直径长度为2R， 直径是圆内最长的弦， ｃmax=2R．由正弦定理可得，2R=■=■=2． 选Ａ．

评注：向量是解决几何问题和三角问题的工具，反过来，几何和三角也是解决向量问题的常用工具．许多同学只习惯用公式法解题，很少考虑用几何法解题，结果在面对一些简单问题时反而束手无策．而高考试题恰恰十分注重考生对数学概念的理解和运用．

使用几何法首先要“几何化”．如果题目所给的是a，b，c这种没有规定起点的自由向量，可以将它们置于同一起点，把模、数量积等信息转化为长度、角度等标注在图形中. 最关键的是，在所作的平面图形中，往往有“定”有“动”，我们应当认清动量是在哪个量不变的情况下“运动”的，从而联想到解决问题所需的几何或三角知识．

三、向量问题背景多变，解题思路应随“形”而动

例3 如图３所示，已知平面向量■=1，■=1，〈■，■〉=120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若■=x■+y■，x，y∈R． 则x+y的最大值是 ．

解：如图４所示，根据平行四边形法则，■=x■+y■的意义就是作平行四边形ODCE，将向量■分解到■，■上，使■＝x■，■＝y■，即OD＝ｘOA，OE＝ｙOB． ■=1，■=1， OD＝x，OE＝ｙ＝CD. 〈■，■〉=120°， ∠ODC=60°，于是问题转化为：在ODC中，OC=1，∠ODC=60°，OD=x，CD=y． 求x+y的最大值． 三角形的内角和为180°，又∠ODC=60°， ∠DOC，∠ODC，∠OCD的大小成等差数列．设∠DOC=60°-α，∠OCD=60°+α（-60°

当α＝0°时，ｘ+ｙ有最大值2． 此时∠DOC=60°，点C在弧AB的中点处.

例4 如图５所示，直线ｘ＝2与双曲线C ∶ ■-ｙ2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记■＝ｅ1，■＝ｅ2，任取双曲线C上的一点P，若■＝ａｅ1+ｂｅ2（ａ，ｂ∈R），则ａ，ｂ满足的一个等式是 ．

解：把ｘ＝2代入渐近线方程■-ｙ2＝0，解得E1（2，1），E2（2，-1），即ｅ1=（2，1），ｅ2＝（2，-1）． 设P（ｘ，ｙ），则■＝（ｘ，ｙ）， ■＝ａｅ1+ｂｅ2， （ｘ，ｙ）=a（2，1）+ｂ（2，-1）＝（2ａ+2ｂ，ａ-ｂ）， ｘ＝2ａ+2ｂ，ｙ＝ａ-ｂ． ｘ，ｙ满足■-ｙ2＝1，将ｘ＝2ａ+2ｂ，ｙ＝ａ-ｂ代入■-ｙ2＝1，化简得ａｂ＝■. 即a，b满足的一个等式是ａｂ＝■.

评注： 例３的解答是从几何作图入手，首先将向量■分解到■，■上，再根据平行四边形法则使题目回归到向量的最初定义，将向量问题转化为普通的解三角形问题，最后用正弦定理加以解决. 例４以圆锥曲线为背景，考查平面向量的基本定理，但解答过程几乎不在图形中做文章，而是直接将题意表达为方程组，找到a，b之间的关系．同样是考查平面向量的基本定理，为什么两道题目的解答方式截然不同？这是因为“形”不相同：前者以多边形和圆形呈现，容易使用几何方法；对于后者，“点P在双曲线上”这种关系很难通过作图准确表现，恰当的方法就是选择适当的坐标建立方程求解．

【练一练】

１． 已知a与b均为单位向量，夹角为θ．有以下四个命题：p1：a+b>1?圳θ∈0，■；p2：a+b>1?圳θ∈■，π；p3：a-b>1?圳θ∈0，■；p4：a-b>1?圳θ∈■，π．

其中的真命题是

（Ａ） p1，p4 （Ｂ） p1，p3 （Ｃ） p2，p3 （Ｄ） p2，p4

２． 已知向量α，β （α≠0，α≠β）满足β=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的取值范围是 ．

【参考答案】

１． 解法一（公式法）：由a+b>1?圳a+b2＝a2+b2+2ａｂ＝2+2ｃｏｓθ＞1，解得 ｃｏｓθ>-■， θ∈0，■， p1是真命题. 同理可得，p4是真命题． 选Ａ．

解法二 （几何法）： 如图６所示，从同一起点O出发作向量■=ａ，■=ｂ，构造平行四边形OACB，我们知道，a+b就是■的长度，当a，b的模一定时，a，b的夹角越大，a+b越小． 当θ=■时，a+b=1， a+b>1?圳θ∈0，■．

如图７所示，a-b即■的长度，当a，b的模一定时，夹角越大，a-b越大． 当θ=■时，a-b=1， a-b>1?圳θ∈■，π． 选Ａ．

２． 解：如图８所示，从同一起点O出发作向量■=α，■=β， α与β-α的夹角为120°， ∠OAB=60°．于是问题转化为：在ABO中，OB=1，∠OAB=60°，求OA的取值范围． OA的对角θ∈（0°，120°）， 由正弦定理可得■=■=■. ■≠0， OA=■sinθ∈0，■．

《分硬币》答案

从21枚硬币里随意摸出10枚，将它们翻过来，放在一边，这样两边正面朝上的硬币数就相同了。