关于椭圆外切矩形的研究

江苏南京第十三中学210008

摘要：本文在引入与椭圆相关的准圆概念后，对椭圆的矩形进行了系统研究，找出了一般椭圆的外接矩形与椭圆及相应的准圆的关系，并得出椭圆具有唯一外接正方形的结论．

关键词：椭圆；准圆；外接矩形；外接正方形

椭圆外切矩形的面积最大值和最小值各是多少？外切正方形是否存在，如果存在又有几个？本文将彻底解决这些问题，并给出关于外切正方形的一个非常令人惊奇的结果． 因为过程较长，请允许我们从一些简单的引理开始，逐步展示．

引理1 自椭圆外一点P向椭圆+=1（a＞b＞0）所作的两条切线互相垂直的充要条件是点P在圆x2+y2=a2+b2上．

[x][y][P（X，Y）][M][N][O]

=1，消去y并整理（化简整理的过程略）得

化简整理得

（X2-a2）k2-2XYk+（Y2-b2）=0，

因为两条切线PM与PN互相垂直，所以k1k2=-1，即=-1.

化简即得X2+Y2=a2+b2.

又如果切线的斜率不存在，则切点只能是在椭圆长轴或短轴的端点，易知此时P的坐标仍然满足上述圆的方程．

反之，如果点P在圆x2+y2=a2+b2上，也易证得自P向圆所作的两条切线是互相垂直的． 其证明只是上述过程的反推，此处不再占用篇幅．

以下将多次用到圆x2+y2=a2+b2，为方便起见，我们称这个圆为椭圆+=1的准圆． 此名称来自于科克肖特的名著．

推论1.1 以准圆上任意一点为顶点作该椭圆的外切矩形，有且仅有一个．

推论1．2 任意的椭圆，它的外切矩形有无数多个．

引理2 若椭圆+=1（a＞b＞0）的外切矩形相邻两边的切点分别是M（x1，y1）和N（x2，y2），则+=0．

证明点M，N处的切线方程分别是+=1和+=1，这两条直线的方向向量分别为m=

，因为这两条切线是矩形的邻边，所以m・n=0，即+=0． 证毕．

如果利用椭圆的参数方程，把M，N的坐标换为参数式，则可得

推论2.1 若椭圆+=1的外切矩形邻边的切点是M（acosθ1， bsinθ1）和N（acosθ2，bsinθ2），且M，N不是椭圆长轴或短轴的端点，则tanθ1tanθ2=-．

推论2．2 除了切点在椭圆顶点的外切矩形以外，外切矩形对边的切点所在的两条直径不是共轭直径．

证明若椭圆+=1的外切矩形邻边的切点是M（x1，y1）和N（x2，y2），根据引理2知+=0，如果M，N不是椭圆的顶点， =-， 即kOMkON=-≠-，从而M，N所在的直径不是共轭直径．

若切点是椭圆的顶点，则它们所在的直径就是它的长轴和短轴，当然是共轭直径． 证毕．

定理1 椭圆+=1的外切矩形的最大面积是2（a2+b2），最小面积是4ab．

证明设外切矩形邻边的切点分别是M（acosθ1，bsinθ1）和N(acosθ2，bsinθ2），则两边所在直线（即椭圆的切线）方程为+=1及+=1.

根据点到直线的距离公式，可求得矩形中心O到矩形两边的距离d1，d2为

di==（i=1，2）.

记该矩形的面积为S，则

（其中把tanθ1tanθ2=-代入）=4b

令t=2b2+a2（tan2θ1+tan2θ2）代入得

S=4b①

又因为t=2b2+a2（tan2θ1+tan2θ2）≥2b2+2a2|tanθ1tanθ2|=2b2+2a2-

=2b2+2b2=4b2.

其中等号成立的充要条件是tanθ1=tanθ2=．

将t≥4b2代入①式即得S≤4b・=2（a2+b2）.

再由t＞0，a4+b4-2a2b2=（a2-b2）2＞0知S＞4b=4ab，而且当相邻两边的切点是椭圆顶点比如M（a，0），N（0，b）时，S=4ab．

综上即知，椭圆+=1的外切矩形的最大面积是2（a2+b2），最小面积是4ab． 证毕．

最后，下面的结果是优美的也是令人惊奇的.

定理2 椭圆的外切正方形有且只有一个，而且在所有的外切矩形中，正方形的面积最大．

证明由定理1的证明过程可知，外切矩形为正方形的充要条件是d1=d2，即

=，

即=，

即b2cos2θ1+a2sin2θ1=b2cos2θ2+a2sin2θ2，

即b2（1-sin2θ1）+a2sin2θ1=b2（1-sin2θ2）+a2sin2θ2，

即b2+（a2-b2）sin2θ1=b2+（a2-b2）sin2θ2.

从而sin2θ1=sin2θ2． 这与上面的S取得最大值的条件tanθ1=tanθ2完全一致，从而知正方形的面积最大．

至于外切正方形有几个，我们可以通过求切点，把它求出来．

首先，设M（acosθ1，bsinθ1）是第一象限的切点，则由tanθ1=可求得

其次，在第二三四象限的切点，也可以仿照上面的做法求出来，并显然可知它们都关于坐标轴或者原点对称，这样即知外切正方形有且仅有一个．证毕．

把这些切点的坐标代入可以求出各条切线的方程，立刻可得下面的推论.

推论3 椭圆+=1的外切正方形的各边所在直线的斜率等于1或-1．

[x][y][M][O][N]

图2

推论4 椭圆+=1的外切正方形的顶点都在坐标轴上．

推论5（椭圆外切正方形的作法）以椭圆的中心为圆心，以连接椭圆一个长轴顶点和一个短轴顶点的线段为半径作圆，该圆与椭圆对称轴的交点就是椭圆外切正方形的顶点（如图2）．

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