合理选择参考系对解决力学问题的重要性

摘要：本文通过选择不同的参考系，分析求解了一个有关相对运动的典型力学问题。阐述了在不同参考系中分析和解决力学问题的思路和方法，对学生在分析和处理力学问题时形成良好的思路和方法方面有一定的帮助。

关键词：惯性系；非惯性系

参考系是指研究物体的运动时，被选来作为参考的物体。根据被选作参考的物体的运动状态，参考系又分为惯性系和非惯性系。对于描述物体的运动来讲，参考系的选取是十分必要的，只有在选取了参考系之后，物体的运动状态才有意义。原则上参考系的选择是任意的，但往往以观察方便和描述物体运动尽可能简单为原则。在分析解决实际力学问题时，特别是当我们分析相对运动问题时，如何选择参考系，能使问题更容易解决是一个非常重要的问题。在研究地球表面上物体的运动时，我们总是习惯选择地球及表面上其他静止的物体为参考系，即惯性系。这种习惯对大一新生来说已根深蒂固，他们对参考系的理解并不是很深，很少去主动考虑参考系对分析问题的影响，特别是分析相对运动问题时，总是分析不准物体的运动状态。当他们接触到非惯性系时，更加不适应，经常与传统惯性系中的分析思路相混淆。本文从一道动力学问题出发，分别采用惯性系和非惯性系来求解相对运动问题，希望对处理相关的问题有所帮助。

问题：质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，倾角为α，质量为m1的滑块与斜面之间亦无摩擦，求滑块相对于斜面运动的加速度。

分析：首先应清楚这属于相对运动问题，方法有两种，一种是以地面为参考系，在惯性系中分别求出滑块和斜面相对于地面的绝对加速度，再利用伽利略变换关系来求解；另一种是直接以斜面为参考系，分析滑块在斜面上的相对运动状态来求解。从学生的角度来讲，他们已经习惯了以地面为参考系，因此在学生们初次接触到这道题时很自然地就采取了第一种方法来分析。但在分析的过程中，问题就出现了。我们知道在以地面为参考系时（这是惯性系），物体的运动信息必须都是相对于地面的。在本题中斜面对地的运动状态非常明确，但滑块相对于地面的运动状态并不是一目了然的，只知道是向左下方移动。因此在用第一种方法求解问题时，学生们就会出现问题，他们总是想当然地认为斜面相对于地面的运动状态是沿着斜面向下运动，以至于给出错误的结果。

解：以地面为参考系，建立一个平面直角坐标系，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向。斜面的受力分析如图中插图（2）所示，为滑块对斜面的正压力，为地面施与斜面的支持力。由于斜面的实际运动情况为向右作水平直线运动，在两个方向上分别运用牛顿第二定律得：相应的滑块受力分析图如图中插图（1）所示，为斜面对滑块的支持力。由于滑块相对地面的实际运动方向为向左下方运动，选择水平向左为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向建立直角坐标系，分别在两个方向上运用牛顿第二定律得：为了分析滑块和斜面相对于地面运动状态之间的联系，假设滑块的初始坐标为（x10，y10），经过很短的一段时间dt，滑块和斜面运动到了如图中虚线所示的位置，斜面的相对于地面的位移方向为水平向右，大小为dx2，滑块位移方向为左下方，在水平方向和竖直方向位移的大小分别为dx1和dy1，从图中的几何关系可知这个关系在滑块和斜面运动的过程中始终成立，可将左边表达式中的分子分母同时除以时间，可获得加速度之间的关系：其中a1x，a1y，a2x为滑块相对于地面在x轴和y轴方向上的加速度大小以及斜面在x轴方向上加速度大小。联立（1）（2）（3）（4）（6）式并结合，得：

由伽利略变化，可知滑块相对于斜面的加速度为：

由此可得滑块相对于斜面运动的加速度大小为：

，与x轴正方向夹角为，即平行于斜面向下。

从上面的求解过程可以看出，解题过程非常复杂且很容易出错。因此接下来考虑第二种方法，即以斜面为参考系分析滑块相对于斜面的运动状态。从前面的分析结果可知斜面相对于地面水平向右作加速直线运动，是一个非惯性系，因此分析物体的动力学问题时要考虑惯性力。在此参考系中滑块受到的力除了斜面给它的支持力和自身重力外，还有一个惯性力。由于斜面水平向右作直线加速运动，因此滑块受到的惯性力方向为水平向左，大小为，受力分析图如图中的插图（3）所示。由于滑块相对于斜面的运动状态为沿斜面向下，因此我们选平行于斜面向下为x轴正方向，垂直于斜面向上为y轴正方向，在非惯性系中建立直角坐标系，分别在两个方向上运用牛顿第二定律得出结果。

其中为滑块相对于斜面在x轴和y轴方向上的加速度大小。联立（1）（2）（3）（4）（7）（8）式可以很容易地求得相对加速度大小为，方向为平行斜面向下，与第一种方法求解结果一致。

从这道题的两种解法中不难发现，参考系的选择对于求解动力学问题是非常重要的。在实际问题当中如何选择参考系，这要依据掌握的信息，如果能很容易获得对地面的运动信息，用惯性系分析也是完全可以的。但如果这个信息不清楚，而相对运动的信息很明确，则选择非惯性系分析问题更为方便，而且计算也相对简单得多。