基于取向组件的三维本构模型

文章编号：1006-0871(2009)01-0005-09

摘 要：研究基于取向组件的三维本构建模方法，引入能考虑最基本三维变形效应的4类基本元件(Basic Unit，BU)，派生出能充分体现局部取向上材料力学特性的组件，基于变形能叠加原理导出宏观刚度矩阵，建立跨尺度的三维本构模型.该模型采用组件和取向密度函数实现对局部取向上材料特性的描述，在此基础上建立经典弹性理论中材料的几类特殊性质的严格定义，研究表明这些定义与经典弹性理论相容.

关键词：本构关系；取向密度函数；元件；组件

中图分类号：TB301

文献标志码：A

3D constitutive modeling based on orientational components

CHENG Wei

(School of Civil Eng.，Tongji Univ.，Shanghai 200092，China)

Abstract：An approach in modeling 3D constitutive relation based on orientational components is investigated. Four kinds of Basic Unit(BU) that meet the most basic 3D deformation effect are introduced into the approach. The components used to fully describe the mechanical characteristics of material at local orientations are derived from the units. The macroscopic stiffness matrix is deduced based on the superposition principle of deformation energy. Then a cross-scale 3D constitutive model is created in which the components and the relevant orientational density functions are used to describe the mechanical characteristics of material at local orientations. Several typical mechanical characters of material in classical elasticity theory are strictly defined. The study indicates that these definitions are consistent with classical elasticity theory.

Key words：constitutive relation；orientational density function；unit；component

0 引 言

材料本构关系是力学的核心理论，它存在于一切因外力作用而产生变形的物体中，被用来描述物体所受力与变形之间的关系.今天人们已普遍认识到线弹性物体的变形与作用于它上面的力成正比，这一思想的起源可以追朔到1660年胡克以字谜形式发表的论文，它被称为胡克定律.1822年，柯西在1篇发表于巴黎科学院的文献中首次提出，在微小变形情况下，物体给定点的应力分量为在该点变形分量的线性齐次函数.由于这一理论是胡克定律的自然推广，因此被称为广义胡克定律.在三维弹性应力状态下，广义胡克定律可表示成以下张量形式的方程ИЕ要ij=cijklεkl，(i，j，k，l=1，2，3)(1)И式中的cijkl为弹性系数.式(1)为宏观形式的本构方程.可采用应力应变的增量形式将广义胡克定律推广到非线性情形.

对于弹性问题，广义胡克定律已得到实验验证，并成功应用于实际工程.而对于塑性、损伤、断裂和破坏等复杂非线性问题，本构理论面临着极大的困难.一方面影响本构关系的因素众多[1-3]，宏观上有应力应变(率)、加载变形历史和温度等；细微观上涉及材料的微结构及其排列取向、微缺陷及其产生演变过程等.虽然在宏观和细微观不同层次的研究工作已进行多年，并做了大量试验，但材料细微观非均匀性对宏观本构关系的影响仍然没有完全弄清.另一方面，越来越多的工程应用要求本构关系能描述材料在屈服、损伤到破坏各个环节上因变形所诱导的各向异性.[4-5]从本质上看，这种各向异性来源于不同取向上局部细微观性质随变形而发生的演变对材料宏观力学性能的整体影响.显然，仅用式(1)中的弹性系数4阶张量难以胜任以上描述不同取向上细微观性质演变的要求.

近50年来，细观力学理论得到很大发展，ESHELBY[6-8]，MORI等[9]，MURA等[10-11]和CHRISTENSEN[12]等为该理论奠定基础.大量文献研究细微观性能对宏观本构关系的影响，如DUNN等[13]和DOGHRI等[14]对增强纤维复合材料弹塑性性能进行的研究.最近，细观力学方法被进一步应用到纳米复合材料和编织复合材料上.[15-16]

细观力学理论利用均匀化方法处理多相介质，所关心的微结构往往是材料中具有特定形状和取向分布的纤维、微片和微颗粒等；而一般结构分析基于连续化和均匀化假定，需要处理的材料各向异性往往由晶粒取向、位错、微裂缝和损伤等细微观性质所引起.因此，一般材料的宏观本构关系与微结构取向分布相关，VOIGT和REUSS建立的多晶体弹性刚度和柔度取向平均积分式，即是这一思想的体现.[2]而梁乃刚等[17]采用单向纤维建立的三维组集式本构模型，刘志宏等[18]提出的取向元概念，以及刘晓宇等[19]建立的三维链网模型，不仅从更一般的层面显示出这一思想用于复杂结构分析的潜力，而且对建立跨越宏观和细微观不同层次的本构模型进行富有意义的尝试.

目前，人们可能难以在模型上穷尽对细微观机制的力学描述，因此如何跨尺度建立1个一般性的普适本构模型成为亟待解决的问题.该模型不能繁复得难以应用于宏观结构分析，也不能简单得不足以体现材料在局部取向上的力学特性.同时该模型必须满足本构关系的基本要求，能充分考虑各种可能的变形情况，并符合经典理论对材料特性的认识.

正是针对上述问题，本文提出1种新的本构建模方法，该方法引入能充分考虑三维变形效应的元件以及由此派生的能体现局部取向上材料力学特性的组件，基于变形能叠加原理导出宏观刚度矩阵，从而实现一般意义上的非均匀取向分布细微观性质与宏观本构关系之间的关联.研究表明，该方法符合经典理论，能对一些特殊的材料性质给出自然合理的定义，并且所生成的刚度矩阵能方便地用于一般的结构分析.

1 预备知识

1.1 空间应力应变与刚度矩阵的坐标变换

上标“′”表示应力应变在局部坐标系中给出.与传统的应力应变表示法相比，式(4)和(5)的剪应力分量与剪应变分量均乘了因子2，这是为使后面导出的变换矩阵S是正交矩阵从而得到更简洁的列式.为区别于传统的应力应变表示方法，对式(4)和(5)表示的应力应变向量及相应的刚度矩阵均采用置顶符号“^”.于是，可将张量形式的应力应变坐标变换式(3)化为以下的矩阵形式

注意到取向参数与欧拉角参数在局部坐标系参数化方面完全等效，但改进后的取向参数各旋转角均具有(-A，A)形式的变化区间，这样可以直观地用取向密度函数的对称性来描述材料性质的对称性.

2 基本元件与取向组件

连续介质中存在微结构，从晶粒、微缺陷、夹杂、纤维、微孔洞，到纳米粒、丝、管等，人们了解到的微结构类型在不断增多，对微结构性质的认识也在不断深化.[1，15]本文的工作不针对具体的微结构类型，而是从一般意义上研究基于微结构性质建立宏观本构关系的方法.因此，后面所提到的微结构泛指介质中的细微部分，它们具有细观或纳观尺度、特定的形状、有序或无序的取向分布以及随外部作用演化的力学特性.

大量研究表明，微结构的性质及其取向分布在很大程度上决定材料的宏观本构关系.但在某一具体取向上，微结构的性质究竟如何，它又将怎样影响宏观上决定物体力学行为的本构关系?针对这些问题，学术界在宏观和细微观不同层次上分别进行着研究.一方面，在宏观层次上将二维或三维本构关系用等效的一维应力应变曲线模拟，通过试验确定有关的材料参数.本质上看，这类方法等价于采用单向的力学元件(如胡克元件和Maxwell元件等)描述材料的宏观力学行为，体现出将复杂本构关系简单化的思想.但由于力学元件的方向单一性，以及随主应力方向改变所引起的不确定性，无法有效把握变形过程中材料性质在取向域上的分布变化，也就难以准确分析复杂加载条件下的结构响应.另一方面，在细微观层次上基于分子理论、晶体学、复合材料力学、细观力学和理性力学等理论，研究材料微结构(如晶体织构、夹杂、纤维等)的性质、取向分布以及它们对宏观力学特性的影响，并产生如Eshelby方法、Mori-Tanaka方法和自洽法等许多算法.[2]特别值得关注的是，近年来围绕基体纤维类复合材料本构建模以及多晶金属材料弹塑性本构建模方面所做的工作，更好地将细微观性质与宏观本构关系联系起来.[14，16-19，21-23]这类方法的实质是，通过对多相介质平均化，按组分的体积含量所确定的权重进行统计平均或取向平均来得到刚度矩阵.

本文采用基本元件(Basic Unit，BU)描述在给定局部取向上材料最基本的力学性质，通过BU的组合派生成取向组件来描述局部取向上材料的应力应变特性，并在此基础上建立由取向组件构建本构方程的方法.

2.1 BU

BU用来描述在给定局部取向上材料的一些最基本的力学性质，与传统的单向力学元件相比，BU不仅要考虑方向，还要考虑取向，这表明它对复杂的三维应力状态具有更强的适应性.以下是BU应满足的要求.

(1)单纯性：描述单纯的应力应变行为.

(2)简约性：具有简约的数学表达式.

(3)可组性：通过BU的组合可进一步生成组件来描述局部取向上的材料力学特性.

(4)充分性：所描述的材料力学特性能充分考虑各种复杂的三维变形行为.

上述4种BU均在局部坐标平面Ox′y′内，全面考虑面内的应力与应变，每个独立BU都具有单纯的应力应变行为，从而它们所对应的刚度矩阵具有简约形式，并且满足半正定性和对称性.

2.2 取向组件

由于微结构的形式多样性，以及描述与取向有关的一般局部性质需要，本文引入取向组件(以下简称“组件”)这一概念.组件是在特定取向上由若干BU叠加组成，可用来体现局部取向上材料的应力应变特性.它与微结构有关，但不完全等同，1个或多个微结构可能构成1个组件，也可能单个微结构分解成数个组件，甚至可用组件来描述某种微观性质.由于组件可以分解或聚合材料平均化以后与取向有关的力学性质，因此它更具普遍性和灵活性.组件的刚度矩阵由各BU的刚度矩阵叠加而成.

2.5 整体刚度矩阵的对称性与半正定性

由经典理论可知，刚度矩阵必须是对称与半正定的.式(20)所给的组件刚度矩阵就是对称与半正定的，并且取向密度函数非负，因此不难证明式(25)所给的刚度矩阵也满足对称性与半正定性.

3 几类特殊材料性质

必须考虑式(25)所建立的刚度矩阵是否与经典本构理论相容.由经典弹性理论可知，当材料具有一些特殊性质时，刚度矩阵具有特定形式.下面进一步讨论式(25)所得到的刚度矩阵的相容性问题.

有必要考虑2个问题：

(1)经典理论中提到各个方向的弹性性质，但是采用整体刚度矩阵描述这样的性质，那么各个方向的弹性性质究竟是什么，其相应于该方向的局部细节又是什么?

(2)若弹性系数满足式(32)，是否材料一定是各向同性的?

经典理论并没有对材料特性给出与方向直接关联的明确定义，因此难以回答这些问题.此外，经典理论中所提的方向实际上是指坐标系的特定取向，因此本文后面讨论提到的各向同(异)性中所称的“向”表示“取向”而非方向.

3.1 各向同性

基于前面建立的组件模型给出材料各向同性的定义.

定义1 若材料由各个取向上同样类型的组件组成，并且其取向密度函数在取向域上为常数，即材料由均匀分布的组件叠加而成时，称材料是各向同性的.

式(25)所给的本构关系式将整体本构关系分解为各个取向上组件的叠加.若各取向上的组件一致且具有相同的取向密度函数，即得到各向同性的材料.

综上所述，经典理论中提到的各个取(方)向上的弹性性质及其局部细节可以通过本文提出的取向组件与取向密度函数描述.显然，定义1所给出的各向同性定义具有更明确的物理意义和更严格的数学形式.可利用式(25)所建立的模型描述非各向同性的情形.一般各向异性所对应的组件与取向密度函数应该是随取向变化的.

下面讨论材料的几种特殊性质.

3.2 弹性对称面

3.4 横观(各向)同性

横观(各向)同性是正交异性的特殊情况，可以采用如下定义.

4 进一步的讨论

4.1 4类BU的充分性与必要性

简单力学元件的思想早已有之，如胡克弹性元件和Maxwell元件等.本文所考虑的4类BU，在局部取向上可描述介质在平面Ox′y′内的拉压变形、横向变形与剪切变形行为.这些行为包括面内可能发生的全部变形，并且因变形而产生的应力也包括面内应力的全部可能情况.通过改变(θ，φ，ψ)可以将Ox′y′平面在空间上任意改变方向，从后面讨论的组件的一般形式可以看出，利用BU的可组性所生成的组件可以描述复杂的三维应力应变性质，这表明本文提出的4类BU是充分的.

另一方面，4类BU中，第1和2类分别描述纯拉压与纯剪时的应力应变关系，因此它们对于描述局部取向上材料的纯拉压或纯剪的力学性质是必要的.第3和4类BU描述的是面内横向变形行为(即一个方向上的正应力可引起另一与之正交方向上的正应变，或反之).一般而言，面内横向变形行为涉及到2个方向上的正应变，注意到第3和4类BU描述完全互补的2种简单横向变形性质，而任一种面内横向变形均可以表示成这2种简单横向变形的和，即И[εx′，εy′]=εx′+εy′2[1，1]+εx′-εy′2[1，-1](40)Иб虼耍它们对于描述面内横向变形性质也是必要的.

4.2 更一般的组件及其物理意义

前已述及，式(20)基于组件是由面内BU组成的简化假定.事实上，即使在细微观层次上考虑材料的微结构，其完整的力学特性也是三维的.这表明组件通常不会完全由面内BU组成.因此，可将式(20)推广为以下一般形式ИА=∑i(Si′iSTi)(41)И式中：Si表示相对局部坐标系Ox′y′z′的变换矩阵；′i具有式(20)的形式.将式(41)代入式(25)，由积分与矩阵运算的性质不难看出本文的结论仍然成立.

更广泛的考虑，组件作为1种新的概念，可对材料在给定取向上的局部力学特性进行一般性描述.因此，组件给出材料本构关系在特定取向上的细节，而取向密度函数则给出这种细节的权重.组件与取向密度函数共同体现材料在给定取向上的性质，即是各种特殊性质(各向同性、各向异性等)中所称的“向”与“性”，它们通过积分式(25)实现对材料本构关系的构建，从而将局部取向细节与宏观本构关系联系起来.

进一步研究表明，出于考虑因变形或损伤引起刚度折减的需要，不必假定式(20)或(41)中所有元件的刚度参数非负，可放松为只要求组件刚度矩阵保持半正定即可，这对于保证组件的形式多样性(如生成描述单纯体积变形的组件等)，以及实现模拟泊松比从-1到1/2的材料行为均是有意义的.限于篇幅，这方面的研究工作将另文介绍.

4.3 叠加原理与取向本构关系的普适性

必须指出，本文所提出的基于组件的本构建模方法并不只适用于线弹性问题.事实上，在所有公式推导过程中，线性的应力应变关系都不是必要的，如果在公式中采用增量形式的应力应变和切线刚度矩阵，可以考虑诸如弹塑性等更复杂的性质.此外对于断裂损伤等一类显著各向异性的问题，本文模型在描述取向细节上的特点也为这些问题的研究提供新的思路.

4.4 与其他方法的比较

本文所建立的本构模型不同于现有其他方法，与宏观意义下的广义胡克定律相比，该方法能描述不同取向上的材料细节特性，并且基于不同取向上组件的变形能叠加所生成的刚度矩阵可用于宏观结构分析.有关组件的具体形式可利用基于平均化方法(如Eshelby方法和Mori-Tanaka方法等)得到的微结构力学特性的研究成果，同时本文方法不受微结构形状、体积含量与排列方式的限制，不用求解边值问题，无须进行迭代计算，所得出的刚度矩阵无条件满足对称性与半正定性的要求.

5 结论与今后的研究内容

基于组件和取向密度函数建立的取向本构关系，一方面在细微观上能充分反映材料在不同取向上的性能细节以及这种细节在取向域上的分布，另一方面可将集成后得到的刚度矩阵按常规方式用于宏观结构分析.改进的应力应变向量表示方法、取向参数化模型和基于组件的本构关系模型，使得可以用组件和取向密度函数的对称性质来直观反映材料的对称性质，不仅为一些典型的材料性质(如各向同性等)提供符合经典理论更明确的定义，也为描述材料的一般各向异性性质提供更有效的手段.研究表明，4类BU对于描述复杂三维应力应变行为是充分的；取向组件作为1种新概念，可用来对材料具体细微观结构的力学特性进行一般性描述；取向本构关系不仅适用于弹性问题，还为考虑更复杂的非线性材料性质提供新的思路；与其他一些方法相比，本文方法在宏观和细微观兼顾性、微结构适用范围、计算效率、结果的合理性方面均具有优势.

所做的研究只是初步的，尚有许多问题包括与有限元方法的结合、高效算法及工程应用、组件形式的确定、组件黏弹塑性性质对材料宏观非线性性质的影响、组件失效对材料宏观损伤断裂的影响、组件在力电和力热等耦合问题的本构关系建模中的应用、实验方法等，均有待更深入的研究.

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