周期函数范文

周期函数范文第1篇

本文对有关周期函数的相关问题进行简要的概述以满足读者的求知需求.

一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y=sinx，x∈（-∞，0）；即便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f（x）=a，狄立克莱（Dirichlet）函数f（x）=1，x为有理数0，x为无理数等，一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明.

比如2π是y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的最小正周期，π是y=tanx，x∈R，x≠π2+kπ，k∈Z的最小正周期，π2是y=|sinx|+|cosx|的最小正周期等.

当然，有很多与三角函数有关的函数也不一 定是周期函数，例如y=sin1x，y=sin|x|，y=sinx2，y=sinx等.

两个周期函数的和一定是周期函数吗？结论是否定的.比如y=sinx+cos2x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y=sin2x+cos2x.

又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期却有可能发生变化，比如y=cotx与y=tanx的周期是π，而y=cotx-tanx=x的周期是π2.

对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y=Asin（ωx+φ）形式的函数的最小正周期，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.

二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明

例1 证明f（x）=sinx，x∈R的最小正周期是2π.

证明：（1）f（x+2π）=sin（x+2π）=sinx=f（x）.

（2）假设存在0

令x=0，则sinT=0.

又0

令x=π4，sin（π4+T）=sinπ4.

即sin5π4=sin5π4.此为矛盾.

由（1）（2）可知，2π是f（x）=sinx的最小正周期.

例2 证明f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π2.

证明：（1）f（x+π2）=|sin（x+π2）|+|cos（x+π2）|

=|cosx|+|sinx|=f（x）.

（2）假设存在0

即|sin（x+T）|+|cos（x+T）|=|sinx|+|cosx|.

令x=0，得sinT+cosT=1.

即sin（T+π4）=22.

又0

sin（T+π4）>22.此为矛盾.

由（1）（2）可知，π2是f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

例3 证明f（x）=sinx不是周期函数.

证明：假设f（x）=sinx是周期函数，则存在T≠0使f（x+T）=f（x），即sinx+T=sinx.

令x=0，则sinT=0.

则T=kπ，k∈Z. ①

令x=T，则sin2T=sinT=0.

2T=nπ，n∈Z. ②

②÷①得nk=22（n∈Z，k∈Z）.此为矛盾.

f（x）=sinx不是周期函数.

例4 证明f（x）=sinx+cos2x不是周期函数.

证明：假设f（x）=sinx+cos2x是周期函数，则存在T≠0使f（x+T）=f（x），即sin（x+T）+cos（x+T）=sinx+cos2x.

令x=0，cosxT=1.则

2T=2kπ，k∈Z. ①

令x=-T，sin（-T）+cosT=1，即sinT=0.则

T=nπ，n∈Z. ②

①÷②得2=2kn.此为矛盾.

周期函数范文第2篇

关键词： 周期函数 题解 应用 周期性

设f（x）是定义在某一数集D上的函数，若存在一常数T（T≠0），具有性质：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么称T为f（x）的一个周期.如果所有正周期中有一个最小的，称它为函数f（x）的最小正周期.

一、求函数的周期

引理1：若周期函数f（x）有最小正周期T，则kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函数f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.

例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

分析：将函数解析式化为只含有一个三角函数式的形式，再求最小正周期.

解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x

函数y=sinx的最小正周期为2π

函数y=sin2x的最小正周期为π

函数y=1/sin2x的最小正周期为π

故函数y=tgx+ctg2x的最小正周期为π

由例1可知解这类问题的一般方法是将解析式化为只含有一个三角函数的形式，通过三角函数的周期，求所给函数的周期.

二、求函数的定义域

引理2：若f（x）有最小正周期T，则f（x）的任何正周期T一定是T的整数倍.

例2.求函数y=1/（1+tgx）的定义域

分析：分式有意义的条件是分母不为零，还要注意正切函数本身要有意义.

解：要使函数y=1/（1+tgx）有意义，则1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）

要使1+tgx≠0即tgx≠-1，

又函数y=tgx的周期是π

在（-π/2，π/2）内，x≠π/4

x≠kπ+π/4（K∈Z）

故函数y=1/（1+tgx）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.

因为周期函数在定义域内形态呈周期变化，所以研究这种函数时，不必分析其整个定义域内的情况，而只需在一个定义域内讨论特解.

引理3：如果f（x）是g（x）定义在同一个集合M上的周期函数，周期分别为T和T，且T/T=a，而a是有理数，则它们的和、差、积也是周期函数，且T和T的公倍数为其一个周期.

三、求函数的极值

例3.求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值

解：设函数y=sinx+cosx，y=sinxcosx

y=sinx+cosx=cos（x-π/4）

y的周期是T=2π

当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y有最大值

有y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π

当x=kπ（k∈Z）时，y有最大值1/2

又T与T的公倍数为2π

由上述定理可知，2π是函数y=1+y+y的一个周期，而在［0，2π］内，y、y都只有一个最大值点x=π/4

当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y=1+y+y=（3+2）/2

四、解方程

例4.解方程tg10x+tg2x=0

解:设y=tg10x，y=tg2x，则他们的最小正周期分别为T=π/10、T=π/2

由上述引理可知，它们的最小公倍数π/2就是函数y=tg10x+tg2x的一个周期.在［0，π/2］内，方程无意义的点的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}

将方程改写为tg10x=tg（-2x）

10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）

当k取0，1，2，3，4，5，6时，x在［0，π/2］上的值分别为0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.

原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）

五、解不等式

例5.解不等式cos3x+2cosx≤0

解：cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0

由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）

由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）

又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它们的最小公倍数2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根为π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根为π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6个根，它们分别为π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集为：

M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）

从以上几类可以知道，从三角形的周期性解决数学问题，借助三角形周期性这一特殊性质可以解决相关数学问题并且使之简单化，所以当我们利用三角形函数周期性解决这些问题时，前提是必须理解和掌握三角形的周期性.

参考文献：

［1］姚伟国.用图像法巧求三角函数的周期［J］.职业技术教育，1999，（04）.

［2］杨绍业.三角函数周期的求法［J］.师范教育，1991，（06）.

周期函数范文第3篇

一、周期函数的定义

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,当x取定义域内每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的一个周期.

二、理解定义必须注意的问题

1.f(x+T)=f(x)必须使定义域内每一个值都成立.

如:对于函数y=sinx,当x=-π,0,π,2π,…等π的整数倍时,sin(x+π)=sinx都成立,能否说常数π是函数y=sinx的周期呢?显然不能,因为当x=π3时,sin(π3+π)≠sinπ3,可见常数π不能使定义域内每一个值f(x+π)=f(x)都成立.

2.式子f(x+T)=f(x)是自变量x加上非零常数T对应的函数值与x对应的函数值对于定义域内每一个x都成立.

如:对于函数y=sinx3,sin(x3+2π)=sinx3对于一切x∈R恒成立,所以该函数的周期为2π,这是错误的.正确的说法是sin(x3+2π)=sin[13(x+6π)]=sin13x,所以函数y=sinx3的周期为6π.

3.通常所说的函数周期是指其最小正周期,但并不是每个周期函数都有最小正周期.

如:常值函数f(x)=a(a为常数),任一个正数都是其周期,所以它没有最小的正周期.

三、常见的函数周期性的结论及证明

证明或求函数y=f(x)为周期函数,主要是根据周期函数的定义、性质及图像.

结论1若函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+a)=-f(x),则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

证明: 对任意x∈R,都有f(x+a)=-f(x).

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

点评:这是一个重要的基本结论,如果问题中有f(x+a)=-f(x)(x∈R)就可得出该函数是周期为2a的周期函数.

结论2若偶函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,

f(x+2a)=f[a+(a+x)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)是偶函数且除x=0外还有对称轴x=a(a≠0),则该函数是周期为2a的周期函数.

结论3若奇函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,那么函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,

f(x+4a)=f[a+(3a+x)]=f[a-(x+3a)]=f(-2a-x).

又函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,

f(-x)=-f(x).

f(-2a-x)=-f(2a+x)=-f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)是奇函数,并且函数的图像还有对称轴x=a(a≠0),那么该函数是周期为4a的周期函数.

结论4若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a

证明:函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a

f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x).

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为2b-2a(b>a)的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)有两个对称轴,那么这个函数必为周期函数,且周期为两对称轴间距离的二倍.

结论5若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a对称,且关于点A(b,0)(a

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,f(2a-x)=f(x).

函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(b,0)(a

f(2b-x)=-f(x).

f[x+4(b-a)]=f[2b-(4a-2b-x)]=-f(4a-2b-x)=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(2b-2a+x)=-f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为4(b-a)的周期函数.

点评:以上结论告诉我们,如果函数y=f(x)有一个对称轴和一个对称中心,那么这个函数是周期函数,周期为对称轴与对称中心相应横坐标差的绝对值的四倍.

结论6若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a

证明: 函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a

f(2a-x)=-f(x),f(2b-x)=-f(x),

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=-f(2a-x)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为2(b-a)的周期函数.

点评:由以上结论2～6可以归纳得出:“如果函数y=f(x)的图像有两条对称轴或有一条对称轴和一个对称中心或有两个对称中心,那么这个函数是周期函数.

结论7若函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,则函数是周期为6a的周期函数.

证明:函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,

可用x+a代换x,得f(x+2a)+f(x)=f(x+a) .

以上两式消去f(x+a),得f(x+2a)=-f(x-a) .

再用x+a代换x,得f(x+3a)=-f(x),

f(x+6a)=f[3a+(x+3a)]=-f(x+3a)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为6a的周期函数.

点评:本结论证明两次用到了x+a代换x,这种方法在解决周期性问题时经常用到.

结论8对于函数y=f(x),若对任意x,存在非零常数t,使f(x+t)=1+f(x)1-f(x)都成立.则函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.

证明:f(x+2t)=f(x+t+t)=1+f(x+t)1-f(x+t) =1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),

f(x+4t)=f[(x+2t)+2t]=-1f(x+2t)=f(x).

所以,函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.

点评:由f(x+t)=1+f(x)1-f(x)的结构,联想到tan(x+π4)=1+tanx1-tanx,而f(x)=tanx的周期是π4的4倍.由此可以猜想函数y=f(x)的周期为4t.

结论9 若函数y=f(x)对任意x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=|a-b|为周期的函数.

证明: 函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),

用x-a代换x,得f(x)=f(x-a+a)=f(x-a+b)=f[x+(b-a)].

因此函数y=f(x)是周期T=|b-a|的周期函数.

点评:类比结论9还可以得到若函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=-f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=2|a-b|为周期的函数.

四、典型例题

例1已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+3)=f(x+1),若x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)与y=log5x的图像交点个数是.

解析:由结论9可得函数y=f(x)的周期为2.在同一坐标系中

作出函数y=f(x)和y=log5x在[0,5]的图像,由图像可以直观得

到交点的个数为4个.

例2已知定义在(-∞,+∞)上的函数y=(x)的图像关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值是.

解析:函数y=f(x)的图像关于点(-34,0)对称,

f(x)=-f(-x-32)

又 函数y=f(x)满足f(x)=-f(x+32),

f(-x-32)=f(x+32),

用x代换x+32得, f(-x)=f(x),且x∈(-∞,+∞),

函数y=f(x)是偶函数.

又由结论1,函数y=f(x)是T=3的周期函数.

f(-1)=f(1)=1, f(2)=f(-1+3)=1,f(3)=f(0)=-2,

周期函数范文第4篇

在学习周期函数和周期性的过程中，因为没有铺垫，学生对概念的理解有些困难。因此，教师只有深入挖掘概念的本质内涵，讲细讲透，才能帮助学生更好地理解和掌握，从而为以后学习抽象函数的周期性打下坚实的基础。

教材中对周期性的定义为：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期。函数的这一性质称为周期性。

根据定义，我们可以得到以下结论：

结论1：周期T必须是非零常数。

这是因为如果T=0，那么对任意函数f（x）来说，均满足f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，所有的函数都满足，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了。

结论2：（1）若T≠0为y=f（x）的一个周期，则周期T的任意正整数倍即nT（n∈N*）也是y=f（x）的周期。证明如下：

f（x+T）=f（x），且x∈D，x+T∈D，因此f（x+T+T）=f（x+T）=f（x），

因此，2T为f（x）的周期，依此类推：3T，4T，……均为y=f（x）的周期。

所以，nT（n∈N*）是y=f（x）的周期。

（2）若T≠0为y=f（x），x∈R的一个周期，则周期T的任意非零整数倍，即nT（n∈Z，且n≠0）也是y=f（x），x∈R的周期。证明如下：

f（x-T）=f（x-T+T）=f（x），且x∈D，x-T∈D

因此，-T为y=f（x）的周期，则-nT（n∈N*）是y=f（x），x∈R的周期

所以，nT（n∈Z，且n≠0）是y=f（x），x∈R的周期。

如y=sinx的一个周期为2π，则4π，6π，8π，……或-2π，-4π，-6π，……都是y=sinx的周期。

结论3：周期函数的定义域应是无界的。且周期T>0，则周期函数必无上界，周期T

这是因为：若T>0，假设y=f（x）的定义域为D为上界的数集，由确界存在公理可知，D必有上确界a。？坌ε>0，？埚x1∈D，使a-εa，即（x1+T）？埸D，这和题设相矛盾，故T>0时，定义域为D必无上界。

同理，周期T

如：y=sinx，当x∈R，或x∈[0，+∞），或x∈[-∞，0）都可成为周期函数，而若当x∈[0，10π]时，取9π∈[0，10π]，而9π+2π∈[0，10π]，则无法满足任取x∈[0，10π]，使f（x+T）=f（x）恒成立。

y=f（x）的一个周期为2A。

周期函数范文第5篇

关键词：数学思维；周期函数；解题教学

【中图分类号】G642

一、数学思维方法引起注意的问题

高中一年级部分双语学生在周期函数课堂教学中和从教材中的没有掌握有关于周期函数的解题方法，从学生获取的具体现象关注该双语学生数学基础、数学思维的应用和在教材中有关于周期函数的主要内容和解题教学。

乌鲁木齐市高级中学的双语学生中考中数学成绩在乌鲁木齐市内属于中上以上，该校的双语数学教师的教师基本功和数学基本水平也在中上以上，引起的问题不在于双语数学教师的教师基本功和学生的数学基本水平，问题在解题教学中。

二、应用数学思维方法分析解题教学

1.人教版教材中提供的解题方法

2 应用数学思维方法分析解题教学中存在的问题

2.1解题途径不完整

2.2分析解题途径中的的来源对学生的影响

分析解题途径中的主要部分

对学生掌握解题方法的主要思路和基本方法关键因素造成不同的困难，他们在解题中受到各种困难，降低学生的解题能力又影响解题教学效果是数学思维方法最关注的主要问题。

2.3 解题途径中缺数学思维方法

1）缺数学思维方法的问题性

数学思维方法的问题性是选择解题途径的目标和方向的关键因素，还提高学生解题能力和探索新的数学技能的理论基础。

分析人教版的解题方法可知，解题途径从起点出发应用数学知识、数学思维方法和数学解题教学经验到达目的地，从中寻求函数的周期为。因此解题途径目标是，而在人教版教材中提供的解题途径的起发点终点是，解题途径的方向颠倒。从解题途径的方向颠倒可知教材靠自身的经验解题之前早就预料到解题的最终结果。从而可知解题途径中的主要部分缺解题途径的目标，即缺数学思维的问题性。

2）缺数学思维方法的间接性

数学解题目标和方向，根据数学解题途径内部结构体系中己有的知识而选择，因此数学思维的间接性在选择数学解题途径和解题目标起到关键作用。

思维变更性作用是静不熟悉的问题化为熟悉的问题，比较难解决的问题化为容易解决的问题等等。

解题目标选择以后，可以选择解题途径，即解题途径的起发点从=开始应用变更问题和借助己有知识"="（思维的间接性是解题途径的中间目标）达到终点（解题途径的终点目标）。在此解题途径中明显可知，在求周期函数周期问题中数学思维方法借助己有知识"函数的周期为"和思维变更性达到解题途径的终点求解函数的周期，而在人教版教材中提供求周期函数周期问题的解题方法中数学思维的间接性和思维变更性没有明显突出，因此可说在人教版教材中提供求周期函数周期问题的解题方法中缺数学思维方法的间接性。

三、 应用数学思维方法探索解题方法

分析：根据周期函授的定义，可以明确知道解题目的和解题途径的方向。目的是寻求满足等式，的周期，解题途径的方向是从构造式更变构造式的过程，在此解题途径中应用数学公式、数学思维方法和数学解题经验，并且寻求周期。

解：根据周期函授的定义和已知条件，有（1）（表示目的是让学生提前了解解题目标的结构体系）；

令（应用变更式思维模式）和据数学公式，可有===（应用变更式思维模式）==（式（1）作为应用构造式思维模式目的）=。即=，（应用思维的问题性）。由周期函授的定义可知，函数=周期为。

参考文献

[1]李冬胜.数学思维方法（M）.山西人民出版社.2010年4月

[2]G.Polya.怎样解题（阎育苏译）（M）.科学出版社.1982.1

周期函数范文第6篇

摘要：本文对函数的奇偶性,周期性与图象的对称性的内在联系进行了探讨,以便利用这些结论解决一些相关问题。

关键词：奇偶性；周期性；对称性

在函数的学习中，其奇偶性、周期性及图象的对称性是非常重要的性质，解题中有着广泛的应用。笔者在此想从函数的奇偶性、周期性定义出发进行类比、联想，再结合函数性质探讨它们间及图象的对称性间的相互联系及应用。

首先奇偶函数及周期函数的定义及定义式：f(-x)=f(x)；f(-x)=-f(x)；f(x+T)=f(x)函数的奇偶性定义中涉及两个方面关系，f(-x)与f(x)，f(-x)与-f(x)。有理由问一下周期函数定义中若考虑两方面关系又会怎样呢?

即有问题：f(x+T)= -f(x) 时，f(x)的周期性怎样呢?

不难证明，此时2T为f(x)的周期，

其次，再对比f(-x)。f(x)。把f(x+T)=f(x)与f(x+T)= -f(x)中 f(x)用 f(-x)代换，则又将有什么结论呢?

同样不难证明：

若f(x+T)= f(-x) ，则f(x)为偶函数时，T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时，2T为f(x)的周期。

若f(x+T)= -f(-x)，则f(x)为偶函数时，2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时，T为f(x)的周期。

但事实上此时f(x)不一定是偶函数或奇函数，那么单从f(x+T)= f(-x) 或f(x+T)= -f(-x)就不一定：若 f(x+T)= f(-x)能推出f(x)的周期，可以证明：

若f(x+T)= f(-x)，则f(x+1/2T) 为偶函数;

若f(x+T)= -f(-x)，则f(x+1/2T) 为奇函数。

至此，小结前面结果即有下面结论。

定理1：若 f(x+T)= f(x)，则f(x) 是周期函数，且T为f(x)的周期;

若 f(x+T)= -f(x) ，则f(x) 是周期函数，且2T为f(x)的周期;

定理2：若f(x+T)= f(-x)，则f(x)为偶函数时，T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时，2T为f(x)的周期。

定理3：若 f(x+T)= -f(-x) ，则f(x)为偶函数时，2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时，T为f(x)的周期

定理4：若 f(x+T)= f(-x)，则对定义域内任意x都成立;

若 f(x+T)= -f(-x)，则f(x+1/2 T) 为奇函数。

（以上定理中函数定义域假定为R ，同时等式对定义域内任意x都成立，且T≠0)

把定理2，3结合起来，即有f(x+1/2 T) 为偶函数且f(x)为偶函数，则f(x) 是周期函数，且T为f(x)的周期；f(x+1/2 T) 为奇函数且f(x)为奇函数，则f(x) 是周期函数，且2T为f(x)的周期；从而可得下列定理;

定理5：给出三个判断：(1) f(x+1/2 T) 为偶函数。(2)f(x)为偶函数，(3)f(x) 是周期函数，且T为f(x)的周期；则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

定理6：给出三个判断：(1) f(x+1/2 T) 为奇函数。(2)f(x)为奇函数，(3)f(x)是周期函数，且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

另一方面， 从奇函数与偶函数函数图象的对称性方面联想f(x+1/2 T) 的奇偶性与f(x) 函数图象的对称性又有：

定理7：f(x+1/2 T) 为偶函数。 f(x) 的图象关于直线x=1/2 T 对称;f(x+1/2 T) 为奇函数。 f(x) 的图象关于点(1/2 T ，0)对称。

至此，再结合对称性与奇偶性的等价关系及定理4.5 又有

定理8：给出三个判断：(1)f(x)图象关于直线x=0 对称。(2) f(x) 的图象关于直线x=1/2 T对称。(3)f(x) 是周期函数，且T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

定理9：给出三个判断：(1)f(x)图象关于点(0，0)对称(2)f(x) 的图象关于点(1/2T，0) 对称(3)f(x) 是周期函数，且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

推论1：f(x)为偶函数且图象关于直线x=1/2T对称，则f(x)是周期函数，且T为f(x)的周期

推论2：f(x)为奇函数且图象关于直线x=1/2T对称，则f(x)是周期函数，且2T为f(x)的周期

最后考虑对称的一般性：

f(x)的图象关于直线x= a 对称且关于直线x= b 对称。同样可得到

定理10给出三个判断：(1)f(x)图象关于直线x=a 对称。(2) f(x) 的图象关于直线x=b对称(3)f(x)是周期函数，且2(a-b)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

定理11：给出三个判断：(1)f(x)图象关于点(a，0)对称(2)f(x) 的图象关于点(b，0) 对称(3)f(x) 是周期函数，且4(b-a)为f(x)的周期；则以其中任两个为条件，第三个为结论可得三个真命题。

以上结论从一定成度上反映了函数的奇偶性，周期性与图象的对称性的内在联系，利用这些结论不难解决一些相关问题。

周期函数范文第7篇

关键词：函数周期性；设计；说明

1.教学目标

（1）知识目标。理解周期函数的概念，会判断一些简单的周期函数的图象；并会用定义法、图象法及先求后验法求三角函数的周期。

（2）能力目标。①培养学生从特殊到一般的归纳猜想的能力；②培养学生的看图识图能力。

（3）情感目标。①培养学生专注的学习态度，提高观察、抽象能力；②激励学生敢于尝试，独立思考，勇于探索创新，提高学生的数学素养。

2.教学重点

周期函数的定义和三角函数的周期性。

3.教学难点

周期函数的概念是本节的难点，通过实例分析来认识周期和周期函数。

4.方法与手段

采用“引导发现法”：结合一些具体事例，引导学生发现周期性的特征，概括周期函数的概念；学习周期函数定义后，引导学生认真观察和识别周期函数的图象特征；通过实例分析引导学生逐步发现其规律，进而抽象归纳出三角函数周期公式。

5.教学过程

（1）创设情境，引入新课。周期函数是描述现实世界“周而复始”与“因果关系” 的一种数学模型。

（2）尝试定义，巩固深化。问1：三角函数线的定义。若记f（x）=sinx，则对于任意x∈R，都有f（x+2kπ）=f（x）。总结：正弦函数、余弦函数所具有的这种性质称为周期性。问2：请同学们给周期函数下个定义。

（3）周期函数的定义。①巩固概念。x=―时，sin（x+―π）≠sinx， 则x=― 一定不是y=sinx的周期。②深化概念。问题：单位圆中三角函数线说明2π是f（x）=sinx（x∈R）周期，周期唯一吗？sin（x+2kπ）=sinx， （k∈Z）。③知识迁移，学以致用。例：见课本上的钟摆例题。问：是否每个周期函数都有最小正周期？④猜想与探究。引例： 求函数的周期。变题1： f（x）=cos（x+

―）+2。变题2：f（x）=cos（2x）。变题3：自变类题。变题4： f（x）= |cosx|。变题5： f（x）=|cosx|+|sinx|。⑤课堂小结。A.两个定义：周期函数、最小正周期。B.四个方法： 定义法、公式法、图象法 及先求后证法求周期。C.三个思想：数形结合、特殊到一般、先猜后证。

6.教学设计说明

（1）指导思想。遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线，培养能力为核心”的原则设计本节课，教学中强调以学生为主，以学生探索和实践为主要形式，鼓励学生积极参与。

（2）教材分析。函数周期性是函数不可或缺的部分，首先，函数的周期性有着较为广泛的实际应用，较能体现“数学来源于实际，又服务于实际”的辩证唯物主义观点；其次，函数的周期性是函数的重要性质之一，很多知识都与周期性有着密切的联系，可以强化数学知识的内在沟通与联系，可以培养学生综合运用知识解决问题的能力。

（3）学习目标的确定。本节课的教学目标是根据教学大纲的要求，结合学生的实际情况，从知识教学、能力培养、情感教育三方面来确定的，力求提高学生能力，促进思维的发展。

（4）教学方法。为了调动学生学习的积极性，变被动学习为主动学习，我采用了“引导发现法”，通过一些具体事例，通过“观察―分析―抽象―归纳”的思维途径，锻炼和发展学生思维。

（5）过程分析。着重讲三方面：首先，重点突破周期函数的概念。第一步，我通过引入情境1让学生了解周期性，通过引入情境2，引导学生探究数学问题，利用几何动画使学生发现三角函数线呈周期变化，激发学生强烈的好奇心，让学生进入一种积极状态。第二步，是通过辨析情境1与情境2分别从数和形两个角度来举例，让学生对定义的关键词如“任意”“存在”等加以理解，以及通过图象求周期、周期个数、最小正周期；通过分析，让学生加深对定义的理解和把握。

参考文献：

[1]张培强.简约质朴教概念――“三角函数的周期性”的教学片断与思考[J].中国数学教育，2014，（22）： 49-52.

周期函数范文第8篇

关键词：机械设计；节能；基本原理；应用

中图分类号：TE08 文献标识码：A 文章编号：

1、基于动能的机械设计节能方法证明

人们以往对系统动能变化率对输入功率的影响研究，主要对机器工作过程中经过“起动-工作(匀速)-减速”3个阶段中的第1和第3阶段进行分析。虽然也对不匀速的第2阶段进行分析研究，但主要是针对机器周期性速度波动和非周期性速度波动的如何调节，为提高使用寿命、工作精度进行研究，很少涉及到功率问题。所以，还应对系统动能的变化率对输入功率的影响进行分析研究。

机器系统结构复杂，在其内部所有运动件均按设计要求作各自的运动(平动、转动和平面运动等)，故该系统动能T可表示为：

(1)

式中：Ici为转动惯量；ωi为角速度；mi为质量；vci为速度。

对式(1)求导，可得系统动能变化率为：

(2)

式中：εi为角加速度；αci为加速度。分析式(1)可得出如下结论：

短时间内，系统动能在最大范围内变化，或系统动能在制动过程中没有得到回收或转换而白白浪费等，均是系统动能变化率引起输入的功率较高和能量没有得到充分利用的原因；若系统动能为常量，则系统动能的变化率所需输入的功率为0，与速度的大小无关。

为了便于分析，将系统动能表示为由多个用周期函数表示的动能的叠加组合，计算式为：

(3)

则系统动能变化率又可表示为

(4)

式中：ω为基频；b0为待定常数；t为时间；Bji为幅值；φjib为相位角。

分析可得如下结论：系统动能的变化率的大小取决于系统动能变化的最大幅值B和变化时间t，在相同时间内最大幅值B越小，则系统动能的变化率越小；系统动能变化的最大幅值由机器内各部件的动能的初相位决定；当系统动能的变化率呈周期性变化，在设计时既要满足提高使用寿命、工作精度，还要达到节能要求，此时，可配置一个相同系统动能的变化率呈周期性变化机构，2个系统动能的初相位相差π角度。

综上所述，归纳如下：①引起系统动能变化率较高和没有得到充分利用的原因为，短时间内系统动能在最大范围内变化；②系统动能在整个工作过程中没有得到回收或转换。基于动能的机械设计节能方法，在设计机械系统时，只要使系统的动能为常量，或在最小范围内变化；若机器系统动能的变化率呈周期性变化，还可再设计一个与原周期变化相同的机构，使2个系统动能的初相位相差π角度；对于制动频繁的机器或工作装置，应设计一套将能量(动能、势能)储存或转换系统；则维持系统正常工作所需输入的功率将会降低和能量得到充分利用。系统的动能为常量和在最小范围内变化的必充条件是，各动能2个相邻的初始相位角的之差为π或在π附近。

2、降低其他输出力消耗功率NSF措施的论证

机器在工作过程中的输出力，针对不同的工作对象便以不同的形式表示，如车辆的输出力，包括行驶阻力、坡道阻力、惯性阻力等；刨床的输出力为刨刀的削力；振动机械的输出力还包括激振力；液压机械的输出力为推力或扭矩(与油压和流量有关)等。由此分析可得出，机器输出力是由不同形式的力组成的。

除了重力外，其他输出力在少数情况为常量，在多数工作状态为变量，若将其中某一输出力Fsi与其速度vsi的乘积可表示为某输出力消耗功率NSFi，或将其输出扭矩Msi与其角速度ωsi的乘积可表示为某输出力消耗功率NSF。则输出力消耗功率NSF可表示为：

(5)

根据机器检测的数据结果，式(5)中每个输出力Fsi、Msi的工作速度，仍然以周期性的变化显示。根据周期函数的性质，周期函数无论是与常数还是其他任意函数的乘积，其结果为周期函数和非周期函数2种。所以机器系统其他输出力消耗功率NSF可以看作为多个周期函数和非周期函数的合成。现将其以多个周期函数合成表示为：

(6)

式中：ω为基频；c0为待定常数；Cji为幅值；φjic为相位角。

分析结果可得：以周期函数和非周期函数表示的其他输出力消耗功率在较大范围内变化时所需匹配的平均功率较大；其他输出力消耗功率的变化与每个输出力Fsi、Msi和其工作速度vsi、ωsi有关；当其他输出力消耗功率在较大范围内变化，则每个输出力Fsi、Msi或系统动能必然在较大范围内变化。若要将其他输出力消耗功率降低，则以周期函数和非周期函数表示的其他输出力消耗功率应在较小范围内变化，其充分必要条件是每个输出力Fsi、Msi的工作速度vsi、ωsi的乘积所表示的周期函数或非周期函数的相位应相差π。

综上所述，归纳如下：①引起其他输出力消耗功率较高的原因为，短时间内输出力Fsi、Msi或系统动能在最大范围内变化；②降低其他输出力消耗功率NSF的措施，在设计机械系统时，只要使以周期函数和非周期函数表示的其他输出力消耗功率应在较小范围内变化，则维持系统正常工作所需输入其他输出力消耗功率将会降低；在最小范围内变化的充要条件是每个周期函数相邻的初始相位角之差为π或在πrad附近；针对某输出力和工作速度的乘积所表示的周期函数就是机器系统的周期函数，还想取得更佳的节能效果，应再附加一个相同周期函数机构，2个相同周期函数机构初相位应相差π。

3、降低无用功率NR措施的论证

机器在将能量传送到工作装置和作用，并与工作对象(或介质)在工作过程中，由于摩擦发热、发声、以及弹性、塑性变形等，要损耗掉一部分功率，即无用功率。虽然其量与机器的传动方式、制造精度、条件等有关，但对损耗功率的发声、弹性、塑性变形现象进行动力学分析，可知产生该现象的主要原因是，部件运动过程中的惯性作用使其受力不均匀、变化较大。从能量分析可得出，部件受力不均匀、变化较大的原因是，系统的动能或势能在较大范围内变化。

动摩擦因数不仅与接触物体的材料和表面有关，而且与接触物体间相对滑动的速度大小有关，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而减小；若系统的动能或势能在较大范围内变化，即使部件的接触表面的摩擦因数不变，但接触表面的正压力则呈周期变化，所以摩擦力与摩擦力损耗功率呈周期变化。同时鉴于机器发声、弹性变形也基本都是周期性的，故无用功率NR可用周期函数表示为：

(7)

式中：ω为基频；d0为待定常数；t为时间；Dji为幅值；φj为相位角。

分析以周期函数和非周期函数表示的无用功率，可得：当以周期函数表示的无用功率在较大范围内变化时，所需匹配的平均功率较大；当无用功率的变化主要与每个无用输出力Fsi、Msi的工作速度vsi、ωsi有关，若其他输出力消耗功率在较大范围内变化，则无用输出力Fsi、Msi或系统动能必然在较大范围内变化。

引起无用功率较高的原因是，短时间内以周期函数表示的无用功率在较大范围内变化。降低无用功率NR措施：在设计机械系统时，只要使以周期函数表示的无用功率在较小范围内变化，则维持系统正常工作所需输入无用功率将会降低。

4、机械设计节能基本原理的归纳整理

将基于动能的机械设计节能方法，降低其他输出力消耗功率的措施，降低无用功率的措施归纳为机械设计节能基本原理。在设计机械系统时，只要使系统动能为常量，或使其能量在最小范围内变化；只要使以周期函数和非周期函数表示的其他输出力消耗功率、无用功率在较小范围内变化；调整系统动能变化率、其他输出力消耗功率、无用功率3个函数初相位，使输入功率函数幅值在最小范围内变化；若机器或工作装置使输入功率函数幅值在较大范围内变化，应再配置一个与输入功率相同周期函数的工作装置，使新的合成输入功率函数幅值在较小范围内变化，或直接配置一套能量储存或转换系统；则维持系统正常工作所需输入功率将会降低，系统能量将得到充分利用。

结束语

总之，在机械设计中，遵循节能的基本原理，将其应用到其中，才能够真正的促进我国机械设计的不断发展与进步，保证我国机械制造业在技术上不断获得新的突破。

参考文献

[1]王玉苓.工程机械绿色设计与制造技术研究[J].工程机械, 2009,(01)

周期函数范文第9篇

先让我们了解下函数图象的对称性以及周期性的相关性质和常见结论.

一、 函数图象关于直线对称的一些性质：

1. 定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于直线对称，则必有.

证明：若，设点为函数图象上任意一点，

而点关于直线的对称点为，，

点也在的图象上，即函数的图象关于直线对称。

反之，若函数的图象关于直线对称，设点为函数的图象上任一点，而点关于直线的对称点也在的图象上，

，令，则，。

2.定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称，反之，若函数的图象关于直线对称，则必有：成立。特别地，当时，函数的图象关于

对称。当时，函数的图象关于对称，是偶函数。

3.函数图象关于点对称的性质：定义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称，反之，若函数的图象关于点对称，则必有：

证明：若，设点为函数图象上任意一点，

而点A关于点的对称点为，

令，则，故

所以点B也在的图像上。即的图象关于点对称

反之也成立。

特殊结论：当时，的图象关于对称，

当时，的图象关于对称，是奇函数。

二、 函数周期的一些性质

1. 函数周期的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。

2. 几个常见结论：

（1） 若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（2）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（3）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（4）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（5）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

（6），则的周期T=3a；

（7）若函数满足对定义域内的任意恒成立，则是以为一个周期的周期函数。

3.函数的对称性与周期性的常见联系

（1）若定义在的函数的图象关于直线和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（2）若函数关于点和点对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（3）若函数关于点和直线对称，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

（4）由前文可知，若定义在的函数，满足且，则函数必为周期函数，是它的一个周期。

三、探究应用

探究一.已知函数是定义在上的函数，若对任意的，有，且，，求的值

简析：由已知对恒成立，得，6为函数的一个周期。

探究二.已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（）

简析一：设，任意给点，则点关于点的对称点为，由，，联立可解得，，故选.

简析二：

由上文可知：定义在上的函数，若恒成立，则函数的图象关于点对称。则对称点坐标为.

探究三：设函数上满足，，且在闭区间上只有.试求方程在闭区间上根的个数.

简析：由且得，函数的图象关于直线和直线对称，所以10为函数的一个周期.又，故对任意满足或的整数，都有.满足以上两个不等式的各有403个，

在闭区间上根有806个.

探究四.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则的值。

周期函数范文第10篇

一、定义

对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x）=f（x+t）都成立，则称y=f（x）为周期函数。对此定义的理解，应注意以下几点：

1.高中教材中关于函数周期的内容只有定义，这就要求解答题中关于函数周期的证明只能回到定义中。即必须证明f（x）=f（x+t）成立。

例如，2001年高考数学（文科）第22题，设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，证明：y=f（x）是周期函数。

证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x）.

又由y=f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x）。

所以，f（-x）=f（2-x）。将上式中-x代换为x，

则得f（x）=f（x+2）.所以y=f（x）是以2为周期的周期函数。

2.周期函数的定义要求对于定义域内的每一个x，都有f（x）=f（x+t）成立，而不是某几个特殊值，因此函数定义域必须至少有一侧趋于无穷大。即有一侧无界。

3.周期函数的周期肯定有无数个，若T为周期，则2T，3T，…nT也均为其周期，所以课本中出现了最小正周期的概念。对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。

4.周期函数可以无最小正周期。如常函数y=a。

二、周期的判断公式

解题过程中，要记住周期判断的几个变式：

1.f（x+T）=f（x） ？圳y=f（x）的周期为T

2.f（x+a）=f（b+x）（a

3.f（x+a）=-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=2a

4.f（x+a）=（c为常数） ？圳y=f（x）的周期为T=2a

5.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a

6.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a

7.f（x+2a）=f（x+a）-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=6a

这些都是周期的判断公式，其基础都是源于周期函数的定义。有了这些周期判断公式后，解决函数周期问题将变得简单、方便，下面试举几例。

例1.函数f（x）对任意实数x满足f（x+3）=，若f（-1）=3，f（5）= .

解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推导而出。

解：由题意有f（x+3+3）===f（x）=f（x+6），故函数是周期函数，其中一个周期为6，故f（-1）=f（-1+6）=f（5）=3.

三、函数中对称性、奇偶性与周期性关系

（1）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为奇函数，则其周期为T=4a。

（2）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为偶函数，则其周期为T=2a。

以上两个性质的证明可以参考开篇提到的2001年高考数学（文科）第22题的证明方法，在此就不重复证明。下面试举其他几例，说明它们三者的关系。

1.函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）

A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+2）是奇函数

证明：若f（x+1）是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1）

因为f（x-1）是奇函数，则f（-x-1）=-f（x-1）？圳f[-（x+2）-1]=-f[（x+2）-1]=-f（x+1）

则：f（-x+1）=f[-（x+2）-1]=f（-x-3）？圳f（-x+1）=f（-x-3）？圳f（x+1）=f（x-3）

则f（x）是以4为周期的函数，即：f（x）=f（x+4）

又：f（-x+1）=-f（x+1）？圳f[-（x+4）+1]=-f[（x+4）+1]？圳f（-x-3）=-f（x+5），f（x+5）=f（x-3）

所以：f（-x-3）=-f（x-3），即：f（x+3）是奇函数。