微积分论文范文

微积分论文范文第1篇

虽然牛顿·莱布尼茨公式是以牛顿和莱布尼茨二人之名命名的，但是它并不是两人通力合作的成果，相反，是他们一前一后分别独立发现了微积分。然而，莱布尼茨的一次访英行动，使微积分的原创权陷入了长久的纠纷。

莱布尼茨（1646-1716）比牛顿（1642-1727）小4岁，是当时德国最著名的科学家，20岁出头便名满天下。和许多才华横溢的年轻人一样，莱布尼茨也想到处挑战一下数学界的“高手”，看看自己的水平到底如何。1673年，他来到科学重镇英国，英国皇家学会派出迎战的代表，正巧是牛顿的好友科林斯。

科林斯本来并没把这个初出茅庐的小子放在眼里，然而在一番唇枪舌战中，莱布尼茨却妙语连珠，说得科林斯哑口无言。看着对方傲慢自大的样子，科林斯的气便不打一处来，于是他拿出了牛顿锁在柜子中的手稿——上面写着牛顿关于流数术（即微积分）的一些经典推理——打算灭灭莱布尼茨的威风。莱布尼茨接过手稿，一看不禁大惊失色。他为牛顿的奇思妙想而折服，一声不吭地回到了德国。

这件事本来应该到此为止了，然而1684年10月，莱布尼茨发表了第一篇关于微积分的论文。在这篇论文里，莱布尼茨采用了比牛顿原稿中简洁得多的微积分符号，而其表达的本质内容却与当年牛顿手稿中的流数术有异曲同工之妙。莱布尼茨的微积分很快传遍欧洲，而此时牛顿还没有发表他的微积分手稿。直到1704年，牛顿才首次完整发表了他的微积分论文。

牛顿一直怀疑莱布尼茨抄袭了自己的手稿，他凭借其英国皇家学会会长的地位，以学会的名义起草了一份《调查报告》，矛头直指莱布尼茨，字里行间透露出对方抄袭自己的研究成果。

事实上，后人在研究二人的手稿时发现，牛顿是为解决物质运动问题而引入微积分的，因此在他的手稿中明显是先有导数概念，后有积分概念；而莱布尼茨则恰恰相反，受其哲学思想的影响，在他的手稿中却是先有积分概念，随后才有导数概念。如果说牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，那么莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。

由于涉及到民族荣誉，一场科学家之间的战争逐渐扩展成英国与欧洲大陆国家科学界的战争，英国数学家此后开始抵制欧洲的数学成果，并坚持在教学中使用牛顿创造的符号，这使得英国的数学几乎停滞了一个多世纪！

微积分论文范文第2篇

关键词：牛顿 莱布尼兹 微积分

一、微积分的产生

微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。主要有四种类型的问题：第一类，变速运动求即时速度的问题；第二类，求曲线的切线的问题；第三类，求函数的最大值和最小值问题；第四类，求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。

解决这些科学问题的需要是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解。同时微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。

二、莱布尼茨对微积分的贡献

莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理。1666年，莱布尼茨在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号“dx”来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。

1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式，并包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。他还得出了复合函数的链式微分法则，后又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。此论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号，积分号 "∫ "第一次出现于印刷出版物上。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。

三、牛顿对微积分的贡献

牛顿对微积分问题的研究始于他对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。起初他的研究是静态的无穷小量方法，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，他完成了第一篇有关微积分的论文。论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，还证明了面积可由求变化率的逆过程得到。而后牛顿研究变量流动生成法。牛顿第二阶段的工作，主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》中。书中叙述了微积分基本定理，对微积分思想作了广泛而更明确的说明，并最终完成了对初期微积分研究的修正和完善。

在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在牛顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“微积分基本定理”统一为一个整体。在这样的意义下，牛顿发明了微积分。

在《流数简论》中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。后牛顿又努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。它们真实地再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。

四、牛顿、莱布尼创茨立微积分的比较

（一）牛顿和莱布尼茨创立微积分的相同点：

1.都使微积分不再是几何学的延伸，建立在符号运算的基础上，具有一般性，使之成具有广泛应用的学科；

2.把求积问题归结为微分问题的逆问题，从而建立了微积分基本定理；

3.把微积分建立在实无穷小的基础上，后来他们为回避无穷小运算上的矛盾，使用了极限的概念；

4.用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系。

（二）牛顿和莱布尼茨创立微积分的不同点：

1.他们建立微积分的出发点不同。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分 析学方法引进微积分要领的。

2.微积分工作的侧重点不同。在积分上，牛顿偏重于求积分的逆运算，即不定积分；而莱布尼茨侧重于求微分的和，即定积分。

3.对微积分具体内容的研究不同。牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。

4.对无穷小认识的程度不一样。牛顿不分阶，而莱氏分阶，认识比前者深刻。

牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点。而莱布尼茨关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系，大胆而毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。虽然牛顿和莱布尼茨研究微积分的方法不同，但他们殊途同归，各自独立完成了创建微积分的盛业。

微积分论文范文第3篇

关键词：微积分 牛顿 莱布尼兹 极限

1. 数学对自然科学的影响

数学是自然科学的基础学科，自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论 ，对整个自然科学的发展起了极大的推动作用 ，为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础，使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中，就严谨性、应用性和简洁性而言，微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而，这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造，受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究，追溯这一理论产生的历史，将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此，微积分提出之后，遭到了许多人的猛烈抨击，其中也包括一些著名的数学家。牛顿继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，主观唯心论哲学家贝克莱是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持，于是向流数术展开了猛烈的攻击。1734年，贝克莱出版了一本书:《分析学家:或一答致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，教义的主旨有更清晰的陈述，或更明确的推理。

2.关于微积分的本原问题

2．1 微积分使极限理论更加成熟

我们知道微积分的基础是极限论，而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的，牛顿的瞬和流数，莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义? 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义，在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时，有时视瞬或dx为无限小增量，而有时视之为一个有限量加以运算，甚至把它作为零而忽略不计，这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比――一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们比是0。怎样理解这样的最终比，牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分以后，连当时在数学上颇有造诣的数学家象Bernoulli兄弟也颇感费解:“与其说有一种说明，还不如说是一个谜。”究竟极限是什么?无穷小是什么?在今天很容易理解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中，如中国《庄子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上―极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法，形成了微积分的严谨之美。

2．2微积分―――状态与过程的统一

微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就；另一方面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分所作的论证都是不很严谨的和不清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也招致了尼文（Nieuwentijt，荷兰哲学家）的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列问题公开提出质问:无限小量与零怎样区别?无限个无限小量之和为什么能够是有限量?在推理过程中为什么能舍弃无限小量?包括一大批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的，他们不能给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。

2.3微积分―――分析与几何的统一

微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”。

3.牛顿―莱布尼茨公式――联结微分与积分的桥梁

唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。前面说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿―莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。后者则和计算曲边形的面积相联系。牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。牛顿―莱布尼茨公式是微积分的基本原理。它表述为设函数?（x))在（a? b)上连续。如果函数F（x）是函数?（x）的一个原函数，则有：b ∫ ?（x）dx＝F（b）-F（a）a这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（a?b）两端值的差。它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系。为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。设时刻t时质点在直线上的位置是s（t），那么从时刻t＝a到时刻t＝b这一区间，质点运动的路程为s（b）-s（a）。这是质点运动的一个方面。

再从另一个方面看。设已知质点在时刻t内的瞬时速度为u(t），我们用另一种方法可从u（t）计算出质点所走过的路程为：b ∫ u（t）dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S(b)-S（a） a 从微分角度看，路程函数S(t)的微商是速度函数u(t)dS(t) ― ＝u(t) 或 dS（t）＝u（t）dt dt b从积分角度看，速度函数u（t)的积分值∫ u（t）dt a 表达了路程函数S(t)的两点值之差S（b)-S(a)。这里的b是任意固定的，有一个b就有一个S（b)与之对应。这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把b视为变量t，它给出了用定积分表达路程函数的方法：t ∫ u(t)dt＝S（t)-S（a）at 这就用变上限的积分∫ u(t)dt表达了路程函数S（t)。因而 adF(x)＝?(x)dx在区间（a?b）上的无限积累。微分与积分的同一性与差异性都包函在牛―莱公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛―莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。微分把“有限”转化为“无限”，而积分又把“无限”转化为“有限”。牛―莱公式就是在这种“有限――无限――有限”的转化中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。从而找到了计算定积分的捷径。然而，牛―莱公式的两边不是绝对的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。归纳起有三个方面：其一，两者所反映的事物性质不同。在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。一般地讲，微分就是已知函数求函数的变化率；而积分是根据函数的变化率求函数。其二、两者所处的地位不同。在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是积分运算的前提和基础。进行积分运算，首先要“化整为零”，进行无限分割，即微分。无微分就不可能进行积分。但是积分又不是消极被动的。在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。没有积分就无法完成这一转化。其三、各自的作用不同。微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以“直”代“曲”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以“以曲代直”。微积分的“曲”与“直”、“有限”与“无限”的相互转化正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。它推动微积分的基本矛盾――“直”与“曲”，“匀”与“不匀“的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。

参考文献：

［1］张楚迁《数学文化》高等教育科学出版社

［2］张顺燕《数学的源与流》《数学的美与理》

［3］邓东皋 孙小礼 《数学与文化》

［4］克莱茵 《古今数学思想》

［5］ 王树和《数学思想史》

［6］李文林《数学史概论》

［7］石开屏《大学生科普读物》

微积分论文范文第4篇

然而，鲜为人知的是，在他的一生中，他的一位贵族出身的情人对他影响巨大，尤其在当时的前沿科学知识方面。除此之外，这位情人还对伏尔泰的生活有巨大帮助。

这位情人本身还是一位了不起的女科学家，改进了当时数学最前沿的微积分，把牛顿的名著《自然哲学的数学原理》翻译成法文，在300多年前，一个女性能有如此成就，几乎是不可能的，可这位伏尔泰的情人做到了。

这样一个曾经在法国的思想激荡年代风云人物、了不起的女科学院，大思想家的人生伴侣，竟然被历史悄悄遗忘了。

她的名字叫埃米莉・德・沙特莱。

才女与文豪的平行线

1706年，埃米莉出生于法国巴黎，父亲是宫廷的礼宾司长。埃米莉不仅早慧甚至勇敢地怂恿哥哥的家庭老师转而教她，还积极参加父亲每周举办的沙龙，置身于思想家和科学家之间，深受陶冶。12岁时，她便通晓德语、希腊语、意大利语和拉丁文。后来，还师从法国科学院院士贝尔纳多学习数学和天文学。可惜那时的女性是不允许进入大学深造的，埃米莉只得中断学业，在19岁时嫁给军人沙特莱侯爵，成为沙特莱侯爵夫人，并很快就有了三个孩子。作为一位军官，沙特莱常年在外驻守，这为埃米莉日后成为伏尔泰的情人埋下了伏笔。

伏尔泰出生于1694年，比埃米莉大8岁，在1720年代，他已经是个非常有名的戏剧文学家了，他因喜欢影射讽刺法国政治，被一个贵族诬告而流亡英国。

在英国，伏尔泰受到了牛顿的巨大影响，那时牛顿本人已经80多岁了，但他与牛顿的几个主要弟子进行了深入交流，尤其是牛顿的朋友兼弟子、经验主义哲学家约翰・洛克，感受到了最新的物理学成果以及经验主义哲学流派的价值。

在这期间，伏尔泰写了一系列关于英国的散文：君主立宪制、相对包容的宗教、理性的牛顿科学和经验主义哲学家的新观点，这些书在英国出版后，流传到法国，在法国造成了巨大影响。

那时，法国科学界还是由17世纪笛卡尔的“以太旋涡”理论在主导着，他们无法相信太阳的引力能穿过太空，到达并影响1.5亿千米之外的地球，他们认为牛顿理论就像是占星术和炼金术一般的伪科学。

数学对牛顿理论至关重要，牛顿理论的优越性在于顶尖的数学，这不是伏尔泰所擅长的，因此他需要帮助，才能说服法国科学院的老顽固们。

共同引介牛顿理论

1729年，因得到法国国王路易十五的默许，伏尔泰回到法国。1734年，40岁的伏尔泰遇到了26岁的埃米莉，他立刻被智慧、贵气又热诚的埃米莉迷住了，三个月后，他们便确定了情人关系，伏尔泰称赞埃米莉“想像力像百花盛开，是罕见的天才。”

在当时的法国，贵族婚姻主要考虑的是家族联盟，而非爱情因素。作为婚姻的补充，婚外情对夫妻双方都是可以接受的。贵族社会的共识是，找一个高素质的、谨慎而又周到的情人，能提高妻子的素质，并利于家庭的稳定。因此，埃米莉的丈夫沙特莱侯爵容纳了她的激情――与伏尔泰的情人关系。

在埃米莉的帮助下，伏尔泰更深地理解了牛顿，他的科学文章变得更有说服力。这时埃米莉和伏尔泰一样，已经被牛顿的逻辑吸引，他们意识到牛顿创立了现代物理学理论的蓝图。因此，埃米莉开始着手翻译牛顿的《自然哲学的数学原理》，包括了一个相对容易的读者指南，以及牛顿引力理论中行星运动的主要参数，附录中还描述了她杰出的数学朋友兼导师亚历克西斯・克莱罗和彼埃尔路易斯・莫罗・德・莫佩提对牛顿理论的应用，以及瑞士数学家丹尼尔・伯努利更新的牛顿潮汐引力理论。

其中，也包括她对一些微积分原理的改进。牛顿和德国数学家哲学家莱布尼茨各自独立发明了微积分，这是一种数学知识，来描述和预测事物如何变化，比如苹果落地或行星在太空中的位置。

但显然，牛顿认为微积分是太新颖，不能有效说服别人接纳他“激进的”引力理论。取而代之的是，他建立的大部分论点，都是用巧妙而独特的几何证明，这种具有逻辑又严谨的方法，来自于古希腊人。埃米莉使用了莱布尼茨发明的微积分符号，重写了其中一些几何证明。书中，她勇敢地试图整合牛顿和莱布尼茨的工作。

这是一个庞大而复杂的任务，需要翻译者拥有最前沿的知识和最聪慧的大脑。到了1740年代中期，埃米莉翻译牛顿理论的工作，已经到了关键时候，她翻译了500页拉丁文和错综复杂的几何知识，还检查、再检查微积分的演算。她曾感叹道：“我呆在家，不停地整理这本书。这是一个可怕艰苦的工作，因为需要钢铁构成的头和身体，可我乐在其中，从来没有为这样的牺牲找过理由。”

伏尔泰的好助手

埃米莉与伏尔泰成为情人后，就一起住在西雷庄园。她在与伏尔泰交往的15年中，对伏尔泰的文学创作有巨大的影响。伏尔泰的很多史诗、悲剧及历史、哲学著作，都是这段西雷庄园的隐居生活里写下的，比如哲学和科学著作《形而上学》、《牛顿哲学原理》，戏剧《凯撒之死》、《》，哲理小说《查第格》等，这些作品的发表使得伏尔泰获得了巨大声誉。

1738年，巴黎科学院提出了年度征文比赛的主题《关于火的性质》，伏尔泰打算参加，他认为，热是由有微小质量的粒子组成，并打算用实验来证明。他和埃米莉有一个令人印象深刻的实验室，里面有大型反射望远镜：高质量的棱镜，透镜和精确的测量尺度。在埃米莉的帮助下，伏尔泰在西雷庄园里加热了大量的金属，测定金属在加热前后的重量，看看是否能发现额外增加的热粒子质量。几个月后，他没有得到统一的结果，埃米莉开始相信热没有重量，否定了伏尔泰的观点。

她对光和热，还有其它创新性的想法，例如，不同颜色的光线会有不同的能量和温度，这个猜想，在半个世纪后才被确认。埃米莉没有用实验证明她对光和热的想法，但她在巴黎科学院的年度征文比赛的文章中表达了这一看法，埃米莉的文章《论火的性质和传播》发表了，而她也成为在享有盛名的杂志上发表科学论文的第一位女性。

1749年，埃米莉不幸意外去世，经历了只有女人才能死亡的方式――难产，那时她是个42岁的高龄产妇（孩子的父亲是她的新情人，德・圣朗・拉贝尔侯爵）。伏尔泰也一直陪着她到最后。

埃米莉死后，她的科学名声也渐渐消失。伏尔泰也对科学失去了兴趣，她所翻译的牛顿理论被冷落在抽屉里，直到她的朋友数学家克莱罗将它们打印出来。克莱罗检查了她的演算证明，并改进了牛顿和哈雷的计算，1759年哈雷彗星回归证实了牛顿预测的准确性。

微积分论文范文第5篇

[关键词] 数学教学；数学史；高职学生；意志品质

[中图分类号] G642 [文献标识码] A

一、意志品质的重要性

意志是人自觉确定目的、并根据目的调节支配自身的行为，是克服困难、去实现预定目标的心理过程。良好的意志品质可以保证我们具有良好的个性心理要素及顽强的内在动力系统。原子说的创造者道尔顿说：“如果我有什么成绩的话，那不是我有才能的结果，而是勤奋和毅力的结果”。只有聪明的天资而没有顽强的意志是不能成就一个人的成功的。因为，一切事物的创造与发明都不可能是一帆风顺的，只有经历千辛万苦，克服重重困难，才有可能获得成功。如今社会竞争如此激烈，工作中遇到困难挫折，如果轻言放弃，必将一事无成。拉蒂默说：滴水穿石，不是因其力量，而是因其坚韧不拔、锲而不舍。顽强的意志是一个人最珍贵的心理品质之一。随着年龄的增加，环境的复杂，接触事物的多样化，不可能永远、处处都有家长的关怀与呵护，每个人都必须独立解决工作或是生活中遇到的困难与荆棘，如果遇到困难就退缩、逃避，真是不能想象他的一生会是什么样子。所以，培养学生良好的意志品质势在必行，学生具备了顽强的学习意志，才能取得优异成绩和培养较强的学习能力，才能立足于社会，在体现个人价值的同时为社会做出贡献。人的意志品质包括意志的目的性、果断性、自制性、坚韧性。

二、利用数学史培养学生意志的目的性

意志的目的性是指对自己行动的目的有明确认识，从而使这个目的有计划地实现。学生的学习目的影响学生的意志品质。到我们学校念书的学生一般分为三种：一种是遵从父母的意愿来到了学校，这部分学生常常说我不想念了，但我父母偏让我考，这部分学生的学习态度可以想象，他们觉得念书是给父母念的，自己没有兴趣也不愿意为之努力，完全是在应付差事。对于这一种学生首要是让他们改变自己的学习目的，我们不能改变他们父母的决定，只能让他们明白既然你遵从了父母的意愿，那么同时这也是你的选择，每个人都要对自己的选择负责任，要把当下的事情做好。另一种学生是为了有一张毕业证，只想拿到毕业证找到一个相对自己而言是一份象样的工作，他们多多少少带有一定的侥幸心理，凭运气来发展自己的未来，做为老师应该对他们加于正确的引导，让他们知道结果往往是跟过程联系在一起的，只有一张毕业证没有相应的能力，工作中不能胜任也将使自己的发展受到阻碍。还有一种就是参加考研的学生，尽管我们高职的同学参加考研，许多没有被录取，但并不是没有收获。在考研的过程中，他们的努力，他们的那种精神，他们能坚持在一年多时间里坚持不懈的学习，本身就是对意志品质的锻炼，是一笔看不见摸不着的财富，即使没有考上，他们在各个方面都有进步，各种能力也有所提高，这就是收获。在课堂中把所有这一切都告诉学生，并不是要所有的同学去考研，只是希望他们能为自己确定一个目标，并坚持不懈地为之努力，在这个过程中不断成长，成为一个有责任感、有毅力的人。

16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力的发展需要解决一些变量的问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中的瞬时速度等问题，对于这些问题初等数学的方法无能为力，实际问题的解决需要新的数学思想、新的数学方法，这极大地促进了极限思想的发展。一个知识体系的建立不是一朝一夕的事情，众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等……并取得了一定成果。数学家们坚持不懈、顽强地致力于数学的研究，就是为了解决生产发展中的一些实际问题及推动社会的发展，同时也为了展示了自己的才华

三、通过数学史培养学生意志的果断性

意志的果断性是指及时地、坚定地采取有根据的决定，并毫不迟疑地执行该决定。善于抓住时机，在允许的时间内，能耐心地进行从容周密的思考，不做急躁、冒险和草率的决定，能深刻的认识和充分的把握时机，果断从事，当机立断作出决定。这对于在工作中独挡一面的人来说，是必不可少的能力。他得具有自信且不自以为，能理性、客观、全面的分析问题，有敢于担当的勇气。这个能力的的拥有，不是天生的，是在学习工作中慢慢培养起来的。在教学的过程中，老师常常面对着两种学生，一种是有一点想法不管对错就说结果，过于草率，考虑问题不全面，不够沉稳，可信度低；还有一种学生就是面对一道题，对自己没有信心，犹豫不决半天不动笔，希望从别人那里得到帮助。这两种学生都是需要改进的，做为老师应该对不同的情况加采取不同的方法加以纠正。对于草率的同学，适当地挫一挫他们的锐气，必要时给他们一点难堪，让他们知道这样急于下结论是没有份量的，久而久之会丧失别人的信任，对于第二种学生，不断地鼓励他们动笔，大胆尝试，失败是成功之母，有一点进步及时表扬，给他们信心，让他们明白坐着不动永远不会成功，而失败是成功的前奏。

在学习高等数学的过程中有一个牛顿—莱布尼兹公式，大家都比较纳闷为什么这个式由两个人的名字命名，这个牛顿是物理学中的牛顿吗？在学习的过程给学生介绍这个公式的来历，不仅可以满足学生的好奇心，也可以从另一个侧面培养学生的意志品质。牛顿不仅是一名物理学家，出时也是数学家与化学家，在研究物理问题的同时也推进了数学的发展。牛顿于1643年1月4日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1669年牛顿计划出一本关于导数和级数的论著，其中包括他于1665年提出的正流数（微分）术和1666年提出的反流数（积分）术，虽然在1671年就已经完成了《流数术与无穷级数》一书，但是这份手稿一直没有发表，到他去世之后于1736年才得以发表。莱布尼茨于公元1646年7月1日出生于德国东部莱比锡的一个书香之家。莱布尼茨15岁进入莱比锡大学，从1684年起发表微积分论文。关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。牛顿1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道，莱布尼茨发现了同样的方法，它与牛顿的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。牛顿主要从力学的概念出发，而莱布尼茨侧重于几何。他们俩的共同特点是能及时地、坚定地对所遇到的问题做出推理，并毫不迟疑地将它们公之与众。对问题能耐心细致地进行从容周密的思考，不急躁、不草率，能深刻的认识问题，理性、客观、全面的分析问题，大胆发表自己的见解，有敢于担当的勇气。其实牛顿当时关于微积分的理论是受到英国大主教贝克莱质疑的，但牛顿仍然坚定的相信自己的研究成果是正确的。虽然我们不能做出那么伟大的事情，但是我们也要学习他们的精神。

四、通过数学史培养学生意志的自制性

意志的自制性是指经常能控制自己的言行及不良的心理状态。自制性强的人善于控制和调节自己的情感，遇到不利于自身的情况时能保持清醒的头脑，鼓足勇气，克服困难，争取胜利；获得成功之后，则能不骄不躁，继续努力。一个人能力的获得需要长期的努力，也需要不断加强自身的修养，做为老师可以讲述数学家的故事来激励学生。牛顿出生两个月父亲就去世了，牛顿在少年时期的成绩并不突出，但酷爱读书和制作玩具。17岁时，牛顿的母亲把他从学校召回田庄务农，是他的舅舅和校长劝说他的母亲又允许牛顿返校学习。1661年牛顿进入剑桥大学学习，就在他刚刚结束大学课程时，学校因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在数学、机械和光学上的伟大工作，没有人督促也没有人帮助，一个人默默地克服着常人难以想象的困难，不畏艰难，不骄不躁，潜心研究，这个时期牛顿的科研成绩硕果累累，为人类的发展做出了巨大贡献。

五、通过数学史培养学生意志的坚韧性

坚韧性是指不断地克服达到目的的道路上所遇到的重重困难，把所采取的决定贯彻到底，直至达到所提出的目的。坚韧性可以使人在遇到挫折、希望渺茫的情况仍旧满怀着信心；在失败时不泄气，而是更加坚定地、果断地去实施当时所拟订的行动计划，并为此探索新的途径和方法。面对困难、枯燥无味、艰巨的工作不放弃，坚守着信念，不断努力直至成功。大数学家欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但也仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，在他去世之后的10年里，仍有数学论文在发表。“所有有成就的科学家都具有一种百折不回的精神，因为大凡有价值的成就，在面临反复挫折的时候，都需要毅力和勇气”。数学家的性格中有着强烈的好奇心和顽强的意志力，他们耐得住寂寞，对研究的问题，只要认定就会百折不挠地思考，想办法论证，专注而执着，这种为科学献身的精神及顽强的意志品质，是后人应该继承的宝贵财富。因此学生在数学学习中，要有意识地、有目的培养自己这种意志品质，特别是遇到不易理解的内容或难题时，要勇敢去克服困难，磨炼自己的意志，不要轻易放弃对问题的解决。

考入高职的学生，他们的智商不一定不高，但是大部分学生的意志品质比较薄弱。在教学的过程中发现，很多同学总是不好意思地抱怨自己不够聪慧，经常有同学说，从初中就学不会数学，高考的时候考了多少多少分，他们在心里认定了自己没有学好数学的天赋，他们从没有认真反思过自己是怎样学习数学的，遇到难题时自己的态度是什么，自己是否具有克服困难、百折不挠的精神。遇到一下子解决不了的问题，不是想尽各种办法，而是要么放弃，要么等老师来解决。听课时，某一个环节听不懂就认为自己不是这块材料，不听了；写作业时，有一个步骤不会做，感觉自己不是那个材料，不做了；遇到难题，常常选择放弃，这种放弃不仅是一个题做不出来的问题，久而久之会使学生对自己的能力产生怀疑，对自己没有信心，这是一种不好的心理暗示。做为老师固然要提高学生的能力，向学生传授知识，但更重要的要关心爱护学生的心理，让他们有一个强大的内心世界，相信通过自己的努力能够获得成功，拥有坚持到底的意念、承受挫折的心理准备和思想准备。课堂上，有意识让学生经历失败的解题过程，有时还领着学生走弯路，不停地尝试各种解题方法，一种方法不行，再想另一种，让他们知道每一个人都有失败的时候，要有战胜困难的勇气，要有顽强的意志力。做为老师除了平日在课堂上不厌其烦地引导、鼓励外，也通过一些数学史来培养学生的意志品质。微积分的诞生就是历经磨难的。微积分的诞生，虽然解决了大量实际问题，但由于缺乏坚实的理论基础而遭到了一些人的猛烈攻击，甚至有人说微积分是荒谬的理论，代表人物就是微积分创立者之一，牛顿的同胞英国大主教贝克莱。贝克莱指责一些数学家对自己的每一步计算推理既没有给出逻辑，也没有说明理由。在牛顿的理论中，无穷小量究竟是否为0呢？牛顿需要它什么时候是0，它什么时候就是0，召之即来，挥之即去，没有给出令人信服的理由，就逻辑而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱的批评真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。因此，数学史上也把贝克莱关于无穷小量是否为零0的问题称之为贝克莱悖论，引发了第二次数学危机。直到一个半世纪以后，柯西把无穷小定义为一个以0为极限的变量才基本解决。历经了一个半世纪，在这个过程中有很多数学家都尝试着来解决这个问题，但不能被世人所认可而宣告失败，一百多年来多少数学家经历了失败，但这个问题仍然没有被放弃，知难而进，这需要勇气也需要顽强的意志品质。做为老师在教学生知识的同时更应该教育学生学习数学家们的精神。

[参考文献]

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[2]汪晓勤，林永伟.古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值[J].自然辩证法研究，2004，20（6）：73-76

微积分论文范文第6篇

马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。

在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，1999年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列为千年第一伟人。

凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作，展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者们的高度赞赏。

马克思数学手稿的具体内容

恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575)

马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。

数学研究紧密结合经济学研究

起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十，在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用，直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看出来。”[2](P650)

1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用a+b作简单的代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代数式子也是不行的。”[3](P357)马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12)

看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。

对微积分的学习、思索和历史考察

19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L•Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了八份草稿。

马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8](P88)

马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(J.L.Lagrange1736—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为：“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139)转马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。”[9](P16)

马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。

马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”[2](P357)

马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问题的实质。”马克思是用求抛物线y[2]=ax上某一点m的切线的例子，认真画了图，向恩格斯作详细讲解的。[3](P168—169)

1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，于1881年8月18日给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信，信中说：“这件事引起我极大的兴趣，以致我不仅考虑了一整天，而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分，而他拿着领扣溜掉了。”[10](P21—23)

在马克思的影响下，恩格斯对微积分也越来越有兴趣了，他在《反杜林论》、《自然辩证法》等哲学著作中，不但大段大段地谈论微积分，精辟地分析高等数学与初等数学的区别，而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”[11](P611)

从数学中学习辩证法

马克思和恩格斯都非常明确地认为，数学是建立辩证唯物主义哲学的一个重要基础。恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的知识。”[12](第三版序言)

在旧哲学中，黑格尔是论述数学比较多的。恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据我所知，对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人，就是马克思。”[3](P471)马克思忙于自己的研究和革命活动，并没有承担这一工作。不过，他在数学手稿中把微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来，作了有趣的对比。当他探讨牛顿、莱布尼茨与他们的后继者的关系时，他说：“正像这样，费希特继承康德，谢林继承费希特，黑格尔继承谢林，无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础，即唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义。”[8](P88)转马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研，深有体会地认为，在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动。在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述。

数学手稿的出版、翻译和人们的看法

马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文，但他反复改写了多遍草稿，却没有来得及写完。他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全部文稿，并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷(按：指《资本论》第二卷)和一些数学著作。”[13](P42)马克思逝世以后，恩格斯也曾希望把自己在自然辩证法方面的研究成果同马克思遗留下来的数学手稿一齐发表。[11](第三版序言)但是由于他肩负着整理出版马克思的最重要的著作——《资本论》第二卷、第三卷的重任，上述愿望没有能够实现。

马克思关于微分学的几篇论文草稿和一些札记于1933年译成俄文与读者见面，即在纪念马克思逝世五十周年的时候才第一次发表在苏联的理论刊物《在马克思主义旗帜下》，随后收入文集《马克思主义与自然科学》。1968年在前苏联出版了马克思数学手稿的比较完全的德俄对照本[14]，书中对各个时期的手稿写了较详细的记述。此外，对马克思的数学手稿，还陆续出版过内容和编排不一的德文本、日文本、意大利文本等等。在国际学术界引起了学者们的重视和兴趣。如日本的玉木美彦、今野武雄早就撰文介绍过马克思数学手稿的内容。1977年在西德召开的国际数学史会议上，美国学者肯尼迪(H•C•Kennedy)作了题为《马克思与微积分基础》的学术报告。美国著名数学史家斯特洛依克(D•J•Struik)1978年在《数学评论》杂志上写文章介绍了这篇报告。前几年，还有美国科学史方面的研究生在研究马克思数学手稿的传播和影响。

在我国，早从1949年起，许默夫就发表过关于马克思数学手稿的文章(注：许默夫的有关马克思数学手稿的几篇文章，先后发表在《东北日报》(1949年5月5日)、《自然科学》(1951年第1卷)、《数学通报》(1958年第12期)、《新科学》(1955年第2期)等报刊上。)，后来有些学者从日文本或俄文本将部分内容翻译过来。1973年1月北京大学成立了马克思数学手稿编译组，依据苏联1968年出版的德俄对照本进行翻译。为了翻译准确，为了能从德文原文直接译成中文，北京大学于1974年通过外交途径从荷兰购得全部数学手稿原件的复印照片，将其中关于微积分的大部分论述和部分初等数学札记翻译成中文，编排成书，由人民出版社于1975年正式出版。(注：1973年1月，当时马克思恩格斯列宁著作编译局的负责人王惠德同志把一本《马克思数学手稿》(1968年的德俄对照本，是一位瑞士记者送给他的)交给了孙小礼，建议由北京大学来组织翻译。北大欣然接受这一建议，立即成立了北京大学马克思数学手稿编译组，由邓东皋、孙小礼具体负责，动员了数学系、西语系、俄语系、哲学系的教师参加翻译工作，德文方面有江泽涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吴文达、黄敦、郭仲衡、鲍良骏、颜品中等人。1974年3月译出了马克思关于微积分的大部分论述，请于光远、胡世华、陆汝钤和编译局杨彦君等同志帮助校对后，于1974年5月由北京大学学报印出专刊：马克思数学手稿(试译本)。1974年冬购得马克思数学手稿原件的照片后，由谙悉德文的江泽涵、姚保琮两位教授仔细辨认马克思原稿手迹，同冷生明、丁同仁、邓东皋等人反复讨论推敲，对原来的译文进行核校、修改和补充。最后又请北京师范大学的张禾瑞教授、蒋硕民教授对全部译稿从德文作了详细校订之后，才由人民出版社于1975年7月出版了马克思的《数学手稿》。)两种极端的看法

马克思《数学手稿》一书于1975年在我国编译出版以后，出现了两种极端的看法。一是过分地在数学上抬高马克思，说马克思为微积分奠定了理论基础，把19世纪许多卓越数学家的重要成就都视为形而上学，惟有马克思的论述才是符合辩证法的，甚至要在教学中用马克思《数学手稿》代替微积分教材。这种作法显然是极其错误的，既违背马克思的本意，也不符合数学发展的实际，对于高等数学教学只能产生有害的影响。另一种极端的看法则认为马克思根本不懂数学，至少不懂高等数学，写于19世纪的《数学手稿》没有什么学术价值，不值得翻译出版。这种完全否定的态度也是缺乏历史分析、不符合实际的。

由于这两种看法在不同程度上一直延续到现在，所以，我感到把马克思的《数学手稿》放在当时的历史条件下，根据其具体内容，作出实事求是的恰当的评价是必要的，有现实意义的。

数学手稿：一份宝贵的历史文献

通过阅读马克思数学手稿，以及马克思的著作和通信中有关数学的论述，联系到几十年来马克思数学手稿在我国的翻译、介绍、出版和影响，我特撰写本文谈谈自己对马克思数学手稿的理解和看法，就教于对此有兴趣的朋友们，也作为对马克思逝世120周年的纪念。

读读马克思数学手稿，就感到马克思是深钻到数学中去了，确如恩格斯所说：“马克思是精通数学的。”[12]当然，所谓“精通”，不能要求马克思通晓当时数学的全部，正好像现在堪称“精通”数学的专家也不可能对当前数学的全部内容都了如指掌一样。事实上，正如恩格斯所说：“对于自然科学，我们只能作零星的、时停时续的、片断的研究”，而且“自然科学本身也正处在如此巨大的变革过程中，以至那些即使有全部空闲时间来从事于此的人，也很难跟踪不失”[12]。马克思生前还没有来得及跟踪19世纪数学分析方面的重要成就，还没有阅读当时已经出版的，像哥西的《分析教程》(1821年初版)那样的一些重要著作。由于马克思还不了解微积分经过波尔察诺(B.Bolzano，1781-1848)、哥西(A.L.Cauchy，1789-1857)、外尔斯特拉斯(K.W.T.Weierstrass，1815-1897)等数学家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式，因而他也不可能运用极限理论做出像后来人们所理解的那样来阐明微积分的本质。

马克思不是专职数学家，也没有对数学本身做出重大建树，他的数学手稿之所以受到人们重视，首先，因为他是人类历史上的伟大思想家，而他又在数学这一园地上数十年如一日地执着地辛勤耕耘过，这一事迹是人类文化史上所罕见的，是历史上任何一位思想家都难以相比的。现在我们读到的数学手稿，就是他以自己的独特方式辛勤耕耘的历史足迹，这足迹能够保留下来，为世人所知，是令人感到宝贵的，而且值得加以研究和回味，从中获得有益的启迪。

其次，在马克思数学手稿中，确有至今还在闪光的思想和见解。比如马克思在考察了微分学的具体历史发展过程以后，曾作出这样的论断：“新事物和旧事物之间的真实的从而是最简单的联系，总是在新事物自身取得完善的形式后才被发现。”[8](P144)这是对新旧事物关系的哲理性概括，也是对人的认识规律的哲理性概括，对人们的认识进展很有启发。

第三，在马克思主义理论中，非常注重人，尤其注重人的全面发展。马克思对自由时间或闲暇时间，也就是非劳动时间的重要性有深刻的论述，他把自由时间看作财富，把休闲看作人的生活的重要组成部分。那么，马克思自己怎样度过闲暇时间呢?据马克思的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外，马克思还有一种独特的精神休养方法，这就是他十分喜爱的数学。代数甚至给他以精神上的安慰；在他那惊涛骇浪的一生中有些最痛苦的时期，他总是以此。”[7](P8)马克思曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作——我就搞搞微分学。我没有耐心再去读别的东西。任何其他读物总是把我赶回写字台来。”[3](P124)马克思对数学的特殊爱好，使他在任何情况下都能使自己沉浸于数学之中。当马克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的时候，他给恩格斯写信说：“写文章现在对我来说几乎是不可能了。我能用来使心灵保持必要平静的唯一的事情，就是数学。”[2](P113)他的关于微分学的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里写作的。

在马克思的数学手稿中，能看到很多幽默俏皮的语言和生动有趣的比喻。可以想见，数学曾是马克思寻求欢乐和安慰的休闲王国，在马克思的一生中有许多时日是在这里愉快地度过的，上千页的数学手稿就是马克思这种独特的精神休养法的真实记录。

综上所述，我认为，马克思数学手稿是一份宝贵的有特殊价值的历史文献。

【参考文献】

[1]马克思恩格斯选集：第3卷[M].北京：人民出版社，1971.

[2]马克思恩格斯全集：第30卷[M].北京：人民出版社，1975.

[3]马克思恩格斯全集：第31卷[M].北京：人民出版社，1972.

[4]马克思恩格斯全集：第29卷[M].北京：人民出版社，1972.

[5]马克思恩格斯全集：第32卷[M].北京：人民出版社，1971.

[6]马克思恩格斯全集：第33卷[M].北京：人民出版社，1973.

[7][法]拉法格.回忆马克思[M].北京：人民出版社，1954.

[8]马克思.数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.

[9]马克思数学手稿[J].北京大学学报专刊，1974.

[10]马克思恩格斯全集：第35卷[M].北京：人民出版社，1971.

[11]马克思恩格斯全集：第20卷[M].北京：人民出版社，1971.

[12]恩格斯.反杜林论[M].北京：人民出版社，1971.

[13]马克思恩格斯全集：第36卷[M].北京：人民出版社，1975.

微积分论文范文第7篇

徐利治，大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生，祖籍江苏，早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后，避难到西南，后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后，考取联大数学系。入学不久，迫于经济拮据，休学一年。在联大复学后，悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前，在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5]1945年毕业后，经华罗庚举荐，清华数学系主任杨武之首肯，留任华罗庚的助教。1946年联大结束，随清华返回北京（时称北平），遂后不到三年，便由助教提升为教员。1949年新中国成立前，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后，继续在清华任教，旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整，同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学（今吉林大学）组建数学系。此后，长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近，以及高维边界型求积法等方面的研究，且在国内倡导数学方法论的研究，并取得了重要的成就。[6]

访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问，郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日，以及11月4日写给郭金海的信函。

1招考

问：您报考联大时，清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考，还是这三校单独招考？

徐利治（以下简称“徐”）：不是联大招考，也不是清华、北大、南开这三校单独招考，而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考，分文科组与理工组。考文科组数学简单一点，考理工组数学多一点。我1940年考大学时，报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中，数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数，比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何，考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿，分第一，第二志愿等。后来我被联大录取。

问：教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么？

徐：联大既设有数学系，又设有师范学院数学系。从理想目标看，联大数学系是为了培养数学专家，师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差，缺乏必需的书籍杂志，而且师生生活艰苦等因素的影响，联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

2课程

问：联大数学系课程设置的模式是什么？

徐：联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化，也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的，但在一定程度上也参照了英国的模式。

问：联大数学系自1938年成立至1946年结束，共计8个学年度，每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动，但从整体来看，“三高（高等代数、高等微积分及高等几何）”的基础性地位较高。[7]据统计，有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程，分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中，虽“三高”没有开齐，但也开设其中的2门。这是否符合实际情况？

徐：基本符合。联大数学系的课程主要分两种，一种是专业必修课程，另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础，而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲，“三高”是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后，学习其他的课程困难就不大了。

问：陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝騄等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何？

徐：他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课，有些则已经接近国际水平，有的在国内还未正式开设过。例如，陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何（二）等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学（拓扑学），这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外，尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝騄先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授。此外，江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

问：联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点？

徐：联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务，在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝騄先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务，欧美的一些大学也是这样。一般情况下，这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课，有学生选修即可。

问：联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程？

徐：不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外，还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等，整个学年须修满30多个学分[④]。因此，这一年时间很紧张，也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

问：在抗战前的清华，新生一入校，其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度，清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量，还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上，否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样？

徐：也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以，学数学不行。学生不及格，还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分，绝对不能入数学系。

问：联大时期，国文课是理工科学生的公共必修课程，而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题？

徐：我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下，高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课，当然可以增大学生的词汇量，但最重要的是有利于学生开阔视野，拓宽思路。因而，我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习，不仅取消了理工科学生的国文课，而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野，养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

问：联大时期的国文课主要包括哪些内容？

徐：主要包括文言文与白话文撰写的文章，以及作文等。如，徐志摩的《我所知道的康桥》，胡适于五四时期撰写的反封建文章，清华散文作家林徽因的《窗子以外》，朱自清的《背影》和《荷塘月色》，还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长，他的课讲得很好，常引用高尔基作品中的名句。

问：学生喜欢这门课吗？

徐：喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野，而且还能休息脑子。其实，国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

问：联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足？

徐：据我的回忆，诸如，实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要，当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大，前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

3教材及参考书

问：从目前的研究与文献来看，联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么？

徐：联大数学系在教材和参考书选取上，尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点，即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书，只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材，就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著，除非在特殊情况下，大学教师才可自编教材。

问：联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时，是使用中文，还是使用外文？

徐：一般使用中文和英文两种语言教学，也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士，精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文，而且用词还非常地道，其教学已经达到较高的双语教学标准。例如，刘晋年先生给我们讲复变函数论时，都是在黑板上使用英文表述，而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练，在外语水平上也得到了提高。一般情况下，教授批改作业和出题考试也都用英文，所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

4数学讨论班

问：到20世纪20年代末与30年代初，数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用，且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况，且不在少数[⑦]。[8]（[2]，190-191页）当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

徐：一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容，超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足，联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由，而且有奋进向上的精神。

问：开设数学讨论班的最显著益处是什么？

徐：讨论班这种形式的教学对于促进教师之间，教师与学生之间的学术交流，培养研究兴趣，锻炼分析探索能力等均是有益的。

问：当时数学讨论班的具体形式是什么？教师与学生的积极性如何？

徐：常常以分工研读一本名著，用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加，随时可以提问讨论。气氛往往很活跃，年青人积极性较高。

问：数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识，或研究工作的前沿，还是教材上的知识？

徐：主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

5教师、风格及传统

问：联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系，教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的？

徐：这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格，也就是说每位教师既受到联大的聘请，又受到其所在学校的内部聘请，因而当时的教师一般持有两张聘书。例如，华罗庚先生是清华的，他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书；江泽涵先生是北大的，他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后，清华留我任助教。我也拿到两张聘书，一张是联大的，一张是清华的。

问：在联大，北大数学系、清华数学系，以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同？

徐：我在联大学习的时候，北大、清华这两个数学系的教师，都曾教过我的课。例如，我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何；清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面，确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真，基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多，讲课随便一些，备课差一些，但也是很有启发性的。如，华罗庚先生给我们讲近世代数的时候，有几次因为在定理推导过程中出现错误，被挂在黑板上，讲不下去。但他讲课很有风度，非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课，但我听王寿仁先生说，陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题，陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前，经常会和学生闲谈3、5分钟，然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时，在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量，说他曾在德国访问过,看到德国人很讲齐心一致，就象一批方向一致的向量那样，指向同一方向，所以力量就大，做事往往能事半功倍，等等。南开数学系教师教学态度一贯认真，这是公认的“姜老夫子”（姜立夫先生）在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如，刘晋年先生来自南开，他在教学上备课认真，讲课精细的风格，就反映了南开传统的一个方面。

那时教师讲错了没有关系，可以重来。老师在讲课时讲些闲话，学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲，联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生，对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行，讲课时讲些闲话是不允许的，教师会受到批评。

问：北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学，但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期，北大数学系与清华数学系的传统有何不同？

徐：在20世纪50年代之前，国内大学数学系以发扬欧美学术传统，仿效欧美体制为主。在宏观方面讲，在联大数学系，北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言，每个数学系在价值取向上各有所重，各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础，侧重教与学，而清华数学系偏重科学研究，提倡、鼓励教师。在20世纪50年代，苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”，意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少，但不注重发表文章。此外，在提拔年青人上，清华较放手，北大则略为保守。到复校时期，虽然时局不稳，环境艰苦，清华还是比较注重研究，当时正是因为我的研究成果略多，职级晋升就较快，没有三年就升为专任教员（相当于讲师）了。北大数学系的孙树本老先生，虽数学根基厚实，但多少年都没有被提升。从某种程度上讲，北大有些保守，受传统影响较大，相比之下，清华对西方文化吸收得更好一些。

问：陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学，但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因？

徐：我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量，是促成精诚合作的根本原因。又，三校图书资料的共享共用，一些讨论班的合办共建，以及教课任务方面的相互支持，是助长合作的主要因素。此外，抗日战争年代，大家都有共赴困难之心，也是一个潜在因素。

6学生管理与研究生培养

问：在学生管理上，联大数学系的显著特点是什么？

徐：联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点，其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由，旁听自由，而且转系亦十分自由。例如，钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长，曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后，觉得吴先生讲的内容书本上基本都有，自己在课下看书即可，于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生，很快就发现钟开莱缺席，很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过，就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系，后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值，数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生，后来都成为著名的数学家。实际上，抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如，清华数学系的施祥林、许宝騄、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的，柯召、许宝騄等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想，实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间，而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如，施祥林考入清华大学时总分第七，数学满分。再如，钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲，他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后，一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感，因而在学习上会更加抓紧。

问：您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作？

徐：联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写一篇论文，但没有论文答辩，也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少，只是个别教授有一、二个研究生。如，孙树本跟江泽涵先生做研究生；钟开莱先跟华罗庚先生做研究生，后来转到许宝騄先生门下；彭慧云跟华罗庚先生做研究生；王寿仁跟许宝騄先生做研究生；孙本旺跟姜立夫先生做研究生；严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是，联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时，发现了一个问题。后来，他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》（SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni），发表在《意大利数学联合会会刊》（BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana）上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识，而且也能提高学生的科研水平。

问：联大数学系研究生的主要研究方向有哪些？

徐：据我所闻，联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论（李群），学生有严志达、王宪钟；解析数论与概率统计，学生有钟开莱、彭慧云；高等统计，学生有王寿仁；形势几何（拓扑），学生有孙树本等。

问：联大数学系怎样为研究生开课？

徐：由于研究生人数太少，基本上不专门开课，是由导师指定文献资料，让研究生独自钻研，有问题时找导师讨论。

问：这些课程处于怎样的程度？是否达到了欧美大学研究生的水平？

徐：据我所知，当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著，大都是处于研究前沿，或接近前沿的题材，所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上，他们后来也都完成了论文写作，并发表了符合导师要求的研究成果。

7几点体会

问：您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些？

徐：第一，联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到，转系自由，数学系不但欢迎有志学生从外系转进来，而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如，王浩在联大数学系是优秀学生，学了两年数学后，感觉对数理逻辑更感兴趣，立志要成逻辑学家，便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年，果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上，人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的，有了“自我发现”，又有了受尊重和发展的环境与条件，那就会很顺利成才了。第二，联大有自由讲学的风气，鼓励学生们自由听讲，参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三，联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作，直接面向原著。例如，曾远荣教授讲授微积分课后，鼓励学生去看哈代（GodfreyHaroldHardy,1877-1947）的名著《纯粹数学》(PureMathematics)，讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔（HermannKlausHugoWeyl,1885-1955）的著作《典型群论》（ClassicalGroups）等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

参考文献：

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[2]西南联合大学北京校友会.国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[M].北京：北京大学出版社，1996.183-197.

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[7]北京大学，清华大学，南开大学，云南师范大学.国立西南联合大学史料[Z].卷3.昆明：云南教育出版社，1998.113-415.

[8]陈省身.联大六年（1937-1943）.张奠宙，王善平.陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，2002.8.

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[①]联大数学系主任也兼任师范学院数学系主任职务。先由江泽涵自1938年至1939年11月担任。然后杨武之自1939年11月至1942年11月担任。继杨武之后又由江泽涵自1942年11月至1943年6月担任。后由赵访熊自1943年6月至1943年11月担任。赵访熊辞职后又由杨武之继任一直至联大结束。联大师范学院数学系教授由姜立夫、江泽涵、杨武之三位兼任，另聘刘薰宇为专任讲师。两年后刘薰宇去职，复聘杨善基为副教授，专任师范学院数学系课务。一年后杨善基又去职。最后两年课务概由讲师姜淑汇、教员蓝仲雄负责。参阅文献[1]。

[②]除了“三高”之外，还包括概率论、近世代数、复变函数论、数论等课程。

[③]联大数学系在8个学年度中为本科生与研究生开设了近30门选修课程。参阅文献[7]。

[④]联大理学院一年级公共必修课共计36-38学分。参阅文献[2]。

[⑤]数学系课程总则.见：清华大学档案，全宗号2，目录号3，校3，案卷号091。

[⑥]在联大数学系，微积分课程用奥斯古德（WilliamFoggOsgood,1864-1943）所著《微积分引论》（IntroductiontotheCaculus）与柯朗（RichardCourant,1888-1972）的《微积分》（DifferentialandIntegralCalculus）等作为教材。另外以熊庆来编著的《高等算学分析》作为参考教材。熊庆来的这部书主要是以辜尔萨（Éouard-Jean-BaptisteGoursat,1858-1936）所著《数学分析教程》（Coursd’AnalyseMathématique）为蓝本，是国内学者自己编著的第一部关于此类课程的教材，与萨本栋的《普通物理学》、陈桢的《普通生物学》一起，被公认为是当时国内理科教材中的高水平中文教科书。这部书在抗战之前曾被列入大学丛书之中。高等代数课程的教材使用过波赫耳（MaximeBôcher,1867-1918）所著《高等代数学通论》(IntroductiontoHigherAlgebra)、许来曷（Otto.Schreier，1901-1929）与施伯纳（Emanuel.Sperner,1905-?）合著《解析几何与代数》（EinfuhrungindieAnalytischeGeometrieundAlgebra）等。高等几何课程的教材为克莱因（FelixChristianKlein,1849-1925）所著《高等几何》（HohereGeometrie）。参考书一般为格劳斯坦(WilliamCasparGraustein)著《高等几何》（HigherGeometry）。复变函数论课程的参考书除了使用过蒂奇马什（EdwardCharlesTitchmarsh，1899-1963）著《函数论》（TheoryofFunctions）之外，还使用过奥斯古德所著《单复变函数论》（TheoryofFunctionsofOneComplexVariable）。近世代数课程选用范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden,1903-1996）著《近世代数》（ModernAlgebra）为教材；微分几何课程选取维布伦(OswaldVeblen，1880-1960)和怀特海（JohnHenryConstantineWhitehead，1904-1960）合写的《微分几何基础》（TheFoundationofDifferentialGeometry），以及格劳斯坦著《微分几何学》（DifferentialGeometry）等。微分方程式论课程采用柯朗与希尔伯特（DavidHilbert,1862-1943）合著的《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）为参考书。群论课程除了选取迪克森（LeonardEugeneDickson,1874-1954）的《现代代数论》（ModernAlgebraicTheories）作为教材之外，还采用了查申豪司（HansZassenhaus,1912-1991）的著作《群论教科书》（LehrbuchderGruppentheorie）。数论课程曾采用迪克森的《初等数论》（ElementaryTheoryofNumbers）作为教材。圆球几何课程的教材选自布拉施克（WilhelmBlaschke,1885-1962）的《网络几何学》（GeometriederGewebe）。拓扑学课程使用的参考书是霍普夫(AlexandroffHopf，生卒年不详)的《拓扑学》(Topologie)。参阅文献[2]、[3]、[7]。

[⑦]1939—1940年度华罗庚、蒋硕民、曾远荣、陈省身、王湘浩等主持代数讨论班；1939—1940和1940—1941两个年度陈省身、程毓淮、刘晋年、江泽涵等主持形势几何学讨论班；1940—1941年度蒋硕民、陈省身、许宝騄、王湘浩、庄圻泰等主持分析讨论班；1940—1941年度程毓淮、刘晋年等在叙永分校开设群论讨论班；1941—1942年度华罗庚主持解析数论讨论班；1943—1944年度江泽涵主持拓扑群讨论班；1940年陈省身、华罗庚、王竹溪主持李群讨论班。另外，不拘形式、自由结合的小型讨论班则经常举行。

[⑧]联大数学系教师阵容最强的时期会聚了中国数学界的名家大师，既包括郑之蕃、杨武之、江泽涵、姜立夫这一辈中国近代数学的启蒙者，又包括曾远荣、华罗庚、陈省身、许宝騄、蒋硕民、申又枨、刘晋年、程毓淮、张希陆、赵访熊、李盛华、祥等已经初露锋芒的少壮英才。此外，还有段学复、闵嗣鹤、徐贤修、王湘浩、钟开莱等均为20岁上下暂露头角的数学新秀。除郑之蕃外，杨武之、姜立夫、江泽涵等资格较老的教师都具有博士头衔，他们中年纪大者也只有40多岁。陈省身、许宝騄、曾远荣、刘晋年、申又枨等均为30岁左右，皆在国外获得了博士学位。

摘要：西南联合大学数学系在中国近代数学史上占有重要地位。通过对该系培养的数学家徐利治的访谈，提供一份关于西南联合大学数学系的史料。从他对西南联合大学数学系招考、课程、教材及参考书、数学讨论班、教师与教学风格、学生管理与研究生培养等方面的回忆，以及他对西南联合大学数学系的亲身感悟，可以了解该系教育活动的一些细节，并可以看出这个战时数学教育机构的某些特色。

微积分论文范文第8篇

关键词：西南联合大学数学系；教育工作；战时；中国近代数学

Abstract：TheDepartmentofMathematicsofNationalSouth-WestAssociatedUniversityoccupiesanimportantpositioninthehistoryofmodernChinesemathematics.AninterviewwithProfessorHSULizhiwhowascultivatedinthedepartmentprovidessomehistoricalsourcesconcerningthedepartment.ProfessorHSUrecallsenrollment,curriculumsetting,teachingmaterials,mathematicalseminars,teachers，teachingstyles,andtheeducationofgraduatestudentsinthedepartment.Healsotalksabouthispersonalexperienceontheteachingandlearninginthedepartment.Fromtheinterview,onecanknownotonlysomeconcretedetailsoftheeducationactivities,butalsosomecharactersofthedepartment.

Keywords：DepartmentofMathematicsofSouth-WestAssociatedUniversity，teachingandlearning,wartime,modernChinesemathematics

西南联合大学（以下简称“联大”）数学系是抗战时期由北京大学数学系、清华大学数学系，以及南开大学数学系组建的高等数学教育机构。在战时教学、科研，以及生活条件异常艰难的情况下，这个新建的数学系取得了同期其他高等数学教育机构与之难以比拟的成绩，较为出色地完成了战时国立高等数学教育机构的使命，并成为那一时期中国数学发展的一个重要表征。目前，学术界对联大数学系的课程与教学、教师与学生的概况，已经进行了介绍与研究。[1-4]但联大数学系教育工作的细节及特色，尚值得进一步挖掘和探讨。徐利治教授的访谈录，对此提供了一份史料。

徐利治，大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生，祖籍江苏，早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后，避难到西南，后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后，考取联大数学系。入学不久，迫于经济拮据，休学一年。在联大复学后，悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前，在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5]1945年毕业后，经华罗庚举荐，清华数学系主任杨武之首肯，留任华罗庚的助教。1946年联大结束，随清华返回北京（时称北平），遂后不到三年，便由助教提升为教员。1949年新中国成立前，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后，继续在清华任教，旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整，同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学（今吉林大学）组建数学系。此后，长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近，以及高维边界型求积法等方面的研究，且在国内倡导数学方法论的研究，并取得了重要的成就。[6]

访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问，郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日，以及11月4日写给郭金海的信函。

1招考

问：您报考联大时，清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考，还是这三校单独招考？

徐利治（以下简称“徐”）：不是联大招考，也不是清华、北大、南开这三校单独招考，而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考，分文科组与理工组。考文科组数学简单一点，考理工组数学多一点。我1940年考大学时，报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中，数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数，比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何，考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿，分第一，第二志愿等。后来我被联大录取。

问：教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么？

徐：联大既设有数学系，又设有师范学院数学系。从理想目标看，联大数学系是为了培养数学专家，师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差，缺乏必需的书籍杂志，而且师生生活艰苦等因素的影响，联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

2课程

问：联大数学系课程设置的模式是什么？

徐：联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化，也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的，但在一定程度上也参照了英国的模式。

问：联大数学系自1938年成立至1946年结束，共计8个学年度，每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动，但从整体来看，“三高（高等代数、高等微积分及高等几何）”的基础性地位较高。[7]据统计，有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程，分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中，虽“三高”没有开齐，但也开设其中的2门。这是否符合实际情况？

徐：基本符合。联大数学系的课程主要分两种，一种是专业必修课程，另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础，而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲，“三高”是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后，学习其他的课程困难就不大了。

问：陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝騄等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何？

徐：他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课，有些则已经接近国际水平，有的在国内还未正式开设过。例如，陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何（二）等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学（拓扑学），这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外，尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝騄先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授。此外，江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

问：联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点？

徐：联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务，在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝騄先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务，欧美的一些大学也是这样。一般情况下，这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课，有学生选修即可。

问：联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程？

徐：不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外，还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等，整个学年须修满30多个学分[④]。因此，这一年时间很紧张，也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

问：在抗战前的清华，新生一入校，其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度，清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量，还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上，否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样？

徐：也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以，学数学不行。学生不及格，还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分，绝对不能入数学系。

问：联大时期，国文课是理工科学生的公共必修课程，而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题？

徐：我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下，高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课，当然可以增大学生的词汇量，但最重要的是有利于学生开阔视野，拓宽思路。因而，我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习，不仅取消了理工科学生的国文课，而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野，养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

问：联大时期的国文课主要包括哪些内容？

徐：主要包括文言文与白话文撰写的文章，以及作文等。如，徐志摩的《我所知道的康桥》，胡适于五四时期撰写的反封建文章，清华散文作家林徽因的《窗子以外》，朱自清的《背影》和《荷塘月色》，还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长，他的课讲得很好，常引用高尔基作品中的名句。

问：学生喜欢这门课吗？

徐：喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野，而且还能休息脑子。其实，国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

问：联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足？

徐：据我的回忆，诸如，实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要，当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大，前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

3教材及参考书

问：从目前的研究与文献来看，联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么？

徐：联大数学系在教材和参考书选取上，尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点，即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书，只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材，就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著，除非在特殊情况下，大学教师才可自编教材。

问：联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时，是使用中文，还是使用外文？

徐：一般使用中文和英文两种语言教学，也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士，精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文，而且用词还非常地道，其教学已经达到较高的双语教学标准。例如，刘晋年先生给我们讲复变函数论时，都是在黑板上使用英文表述，而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练，在外语水平上也得到了提高。一般情况下，教授批改作业和出题考试也都用英文，所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

4数学讨论班

问：到20世纪20年代末与30年代初，数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用，且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况，且不在少数[⑦]。[8]（[2]，190-191页）当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

徐：一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容，超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足，联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由，而且有奋进向上的精神。

问：开设数学讨论班的最显著益处是什么？

徐：讨论班这种形式的教学对于促进教师之间，教师与学生之间的学术交流，培养研究兴趣，锻炼分析探索能力等均是有益的。

问：当时数学讨论班的具体形式是什么？教师与学生的积极性如何？

徐：常常以分工研读一本名著，用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加，随时可以提问讨论。气氛往往很活跃，年青人积极性较高。

问：数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识，或研究工作的前沿，还是教材上的知识？

徐：主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

5教师、风格及传统

问：联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系，教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的？

徐：这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格，也就是说每位教师既受到联大的聘请，又受到其所在学校的内部聘请，因而当时的教师一般持有两张聘书。例如，华罗庚先生是清华的，他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书；江泽涵先生是北大的，他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后，清华留我任助教。我也拿到两张聘书，一张是联大的，一张是清华的。

问：在联大，北大数学系、清华数学系，以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同？

徐：我在联大学习的时候，北大、清华这两个数学系的教师，都曾教过我的课。例如，我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何；清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面，确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真，基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多，讲课随便一些，备课差一些，但也是很有启发性的。如，华罗庚先生给我们讲近世代数的时候，有几次因为在定理推导过程中出现错误，被挂在黑板上，讲不下去。但他讲课很有风度，非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课，但我听王寿仁先生说，陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题，陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前，经常会和学生闲谈3、5分钟，然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时，在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量，说他曾在德国访问过,看到德国人很讲齐心一致，就象一批方向一致的向量那样，指向同一方向，所以力量就大，做事往往能事半功倍，等等。南开数学系教师教学态度一贯认真，这是公认的“姜老夫子”（姜立夫先生）在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如，刘晋年先生来自南开，他在教学上备课认真，讲课精细的风格，就反映了南开传统的一个方面。

那时教师讲错了没有关系，可以重来。老师在讲课时讲些闲话，学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲，联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生，对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行，讲课时讲些闲话是不允许的，教师会受到批评。

问：北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学，但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期，北大数学系与清华数学系的传统有何不同？

徐：在20世纪50年代之前，国内大学数学系以发扬欧美学术传统，仿效欧美体制为主。在宏观方面讲，在联大数学系，北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言，每个数学系在价值取向上各有所重，各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础，侧重教与学，而清华数学系偏重科学研究，提倡、鼓励教师。在20世纪50年代，苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”，意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少，但不注重发表文章。此外，在提拔年青人上，清华较放手，北大则略为保守。到复校时期，虽然时局不稳，环境艰苦，清华还是比较注重研究，当时正是因为我的研究成果略多，职级晋升就较快，没有三年就升为专任教员（相当于讲师）了。北大数学系的孙树本老先生，虽数学根基厚实，但多少年都没有被提升。从某种程度上讲，北大有些保守，受传统影响较大，相比之下，清华对西方文化吸收得更好一些。

问：陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学，但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因？

徐：我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量，是促成精诚合作的根本原因。又，三校图书资料的共享共用，一些讨论班的合办共建，以及教课任务方面的相互支持，是助长合作的主要因素。此外，抗日战争年代，大家都有共赴困难之心，也是一个潜在因素。

6学生管理与研究生培养

问：在学生管理上，联大数学系的显著特点是什么？

徐：联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点，其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由，旁听自由，而且转系亦十分自由。例如，钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长，曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后，觉得吴先生讲的内容书本上基本都有，自己在课下看书即可，于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生，很快就发现钟开莱缺席，很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过，就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系，后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值，数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生，后来都成为著名的数学家。实际上，抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如，清华数学系的施祥林、许宝騄、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的，柯召、许宝騄等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想，实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间，而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如，施祥林考入清华大学时总分第七，数学满分。再如，钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲，他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后，一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感，因而在学习上会更加抓紧。

问：您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作？

徐：联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写一篇论文，但没有论文答辩，也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少，只是个别教授有一、二个研究生。如，孙树本跟江泽涵先生做研究生；钟开莱先跟华罗庚先生做研究生，后来转到许宝騄先生门下；彭慧云跟华罗庚先生做研究生；王寿仁跟许宝騄先生做研究生；孙本旺跟姜立夫先生做研究生；严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是，联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时，发现了一个问题。后来，他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》（SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni），发表在《意大利数学联合会会刊》（BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana）上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识，而且也能提高学生的科研水平。

问：联大数学系研究生的主要研究方向有哪些？

徐：据我所闻，联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论（李群），学生有严志达、王宪钟；解析数论与概率统计，学生有钟开莱、彭慧云；高等统计，学生有王寿仁；形势几何（拓扑），学生有孙树本等。

问：联大数学系怎样为研究生开课？

徐：由于研究生人数太少，基本上不专门开课，是由导师指定文献资料，让研究生独自钻研，有问题时找导师讨论。

问：这些课程处于怎样的程度？是否达到了欧美大学研究生的水平？

徐：据我所知，当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著，大都是处于研究前沿，或接近前沿的题材，所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上，他们后来也都完成了论文写作，并发表了符合导师要求的研究成果。

7几点体会

问：您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些？

徐：第一，联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到，转系自由，数学系不但欢迎有志学生从外系转进来，而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如，王浩在联大数学系是优秀学生，学了两年数学后，感觉对数理逻辑更感兴趣，立志要成逻辑学家，便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年，果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上，人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的，有了“自我发现”，又有了受尊重和发展的环境与条件，那就会很顺利成才了。第二，联大有自由讲学的风气，鼓励学生们自由听讲，参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三，联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作，直接面向原著。例如，曾远荣教授讲授微积分课后，鼓励学生去看哈代（GodfreyHaroldHardy,1877-1947）的名著《纯粹数学》(PureMathematics)，讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔（HermannKlausHugoWeyl,1885-1955）的著作《典型群论》（ClassicalGroups）等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

参考文献：

[1]杨武之.国立西南联合大学数学系概况[J].教学与教材研究.1999，（1）：32-36.

[2]西南联合大学北京校友会.国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[M].北京：北京大学出版社，1996.183-197.

[3]清华大学校史组.清华大学校史稿[M].北京：中华书局，1981.340-342.

[4]IsraelJ.Lianda:AChineseUniversityinWarandRevolution[M].Stanford:StanfordUniversityPress,1998.

[5]YuanTung-li.BibliographyofChineseMathematics[M].Washington:DistrictofColumbia.1963.46.

[6]隋允康，王青建.徐利治[A].中国科学技术协会.中国科学技术专家传略·理学编·数学卷1[Z].石家庄：河北教育出版社，1996.422-435.

[7]北京大学，清华大学，南开大学，云南师范大学.国立西南联合大学史料[Z].卷3.昆明：云南教育出版社，1998.113-415.

[8]陈省身.联大六年（1937-1943）.张奠宙，王善平.陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，2002.8.

[9]徐晋如.清华第一，北大第二[M].北京：台海出版社，2003.

[10]陈省身.回忆杨武之[A].张奠宙，王善平.陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，2002.84.

[11]田方增.向江师致敬并继续学习[A].江泽涵先生纪念文集编委会.数学泰斗世代宗师[Z].北京：北京大学出版社，1998.366-367.

[12]ChernShiing-shen,yenChih-ta.SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni[J].BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana,1940,(2):434-437.

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[①]联大数学系主任也兼任师范学院数学系主任职务。先由江泽涵自1938年至1939年11月担任。然后杨武之自1939年11月至1942年11月担任。继杨武之后又由江泽涵自1942年11月至1943年6月担任。后由赵访熊自1943年6月至1943年11月担任。赵访熊辞职后又由杨武之继任一直至联大结束。联大师范学院数学系教授由姜立夫、江泽涵、杨武之三位兼任，另聘刘薰宇为专任讲师。两年后刘薰宇去职，复聘杨善基为副教授，专任师范学院数学系课务。一年后杨善基又去职。最后两年课务概由讲师姜淑汇、教员蓝仲雄负责。参阅文献[1]。

[②]除了“三高”之外，还包括概率论、近世代数、复变函数论、数论等课程。

[③]联大数学系在8个学年度中为本科生与研究生开设了近30门选修课程。参阅文献[7]。

[④]联大理学院一年级公共必修课共计36-38学分。参阅文献[2]。

[⑤]数学系课程总则.见：清华大学档案，全宗号2，目录号3，校3，案卷号091。

[⑥]在联大数学系，微积分课程用奥斯古德（WilliamFoggOsgood,1864-1943）所著《微积分引论》（IntroductiontotheCaculus）与柯朗（RichardCourant,1888-1972）的《微积分》（DifferentialandIntegralCalculus）等作为教材。另外以熊庆来编著的《高等算学分析》作为参考教材。熊庆来的这部书主要是以辜尔萨（Éouard-Jean-BaptisteGoursat,1858-1936）所著《数学分析教程》（Coursd’AnalyseMathématique）为蓝本，是国内学者自己编著的第一部关于此类课程的教材，与萨本栋的《普通物理学》、陈桢的《普通生物学》一起，被公认为是当时国内理科教材中的高水平中文教科书。这部书在抗战之前曾被列入大学丛书之中。高等代数课程的教材使用过波赫耳（MaximeBôcher,1867-1918）所著《高等代数学通论》(IntroductiontoHigherAlgebra)、许来曷（Otto.Schreier，1901-1929）与施伯纳（Emanuel.Sperner,1905-?）合著《解析几何与代数》（EinfuhrungindieAnalytischeGeometrieundAlgebra）等。高等几何课程的教材为克莱因（FelixChristianKlein,1849-1925）所著《高等几何》（HohereGeometrie）。参考书一般为格劳斯坦(WilliamCasparGraustein)著《高等几何》（HigherGeometry）。复变函数论课程的参考书除了使用过蒂奇马什（EdwardCharlesTitchmarsh，1899-1963）著《函数论》（TheoryofFunctions）之外，还使用过奥斯古德所著《单复变函数论》（TheoryofFunctionsofOneComplexVariable）。近世代数课程选用范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden,1903-1996）著《近世代数》（ModernAlgebra）为教材；微分几何课程选取维布伦(OswaldVeblen，1880-1960)和怀特海（JohnHenryConstantineWhitehead，1904-1960）合写的《微分几何基础》（TheFoundationofDifferentialGeometry），以及格劳斯坦著《微分几何学》（DifferentialGeometry）等。微分方程式论课程采用柯朗与希尔伯特（DavidHilbert,1862-1943）合著的《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）为参考书。群论课程除了选取迪克森（LeonardEugeneDickson,1874-1954）的《现代代数论》（ModernAlgebraicTheories）作为教材之外，还采用了查申豪司（HansZassenhaus,1912-1991）的著作《群论教科书》（LehrbuchderGruppentheorie）。数论课程曾采用迪克森的《初等数论》（ElementaryTheoryofNumbers）作为教材。圆球几何课程的教材选自布拉施克（WilhelmBlaschke,1885-1962）的《网络几何学》（GeometriederGewebe）。拓扑学课程使用的参考书是霍普夫(AlexandroffHopf，生卒年不详)的《拓扑学》(Topologie)。参阅文献[2]、[3]、[7]。

[⑦]1939—1940年度华罗庚、蒋硕民、曾远荣、陈省身、王湘浩等主持代数讨论班；1939—1940和1940—1941两个年度陈省身、程毓淮、刘晋年、江泽涵等主持形势几何学讨论班；1940—1941年度蒋硕民、陈省身、许宝騄、王湘浩、庄圻泰等主持分析讨论班；1940—1941年度程毓淮、刘晋年等在叙永分校开设群论讨论班；1941—1942年度华罗庚主持解析数论讨论班；1943—1944年度江泽涵主持拓扑群讨论班；1940年陈省身、华罗庚、王竹溪主持李群讨论班。另外，不拘形式、自由结合的小型讨论班则经常举行。

微积分论文范文第9篇

关键词：西南联合大学数学系；教育工作；战时；中国近代数学

abstract： the department of mathematics of national south-west associated university occupies an important position in the history of modern chinese mathematics. an interview with professor hsu lizhi who was cultivated in the department provides some historical sources concerning the department. professor hsu recalls enrollment, curriculum setting, teaching materials, mathematical seminars, teachers，teaching styles, and the education of graduate students in the department. he also talks about his personal experience on the teaching and learning in the department. from the interview, one can know not only some concrete details of the education activities, but also some characters of the department.

key words： department of mathematics of south-west associated university，teaching and learning, wartime, modern chinese mathematics

西南联合大学（以下简称“联大”）数学系是抗战时期由北京大学数学系、清华大学数学系，以及南开大学数学系组建的高等数学教育机构。在战时教学、科研，以及生活条件异常艰难的情况下，这个新建的数学系取得了同期其他高等数学教育机构与之难以比拟的成绩，较为出色地完成了战时国立高等数学教育机构的使命，并成为那一时期中国数学发展的一个重要表征。目前，学术界对联大数学系的课程与教学、教师与学生的概况，已经进行了介绍与研究。[1-4]但联大数学系教育工作的细节及特色，尚值得进一步挖掘和探讨。徐利治教授的访谈录，对此提供了一份史料。

徐利治，大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生，祖籍江苏，早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后，避难到西南，后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后，考取联大数学系。入学不久，迫于经济拮据，休学一年。在联大复学后，悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前，在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5] 1945年毕业后，经华罗庚举荐，清华数学系主任杨武之首肯，留任华罗庚的助教。1946年联大结束，随清华返回北京（时称北平），遂后不到三年，便由助教提升为教员。1949年新中国成立前，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后，继续在清华任教，旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整，同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学（今吉林大学）组建数学系。此后，长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近，以及高维边界型求积法等方面的研究，且在国内倡导数学方法论的研究，并取得了重要的成就。[6]

访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问，郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日，以及11月4日写给郭金海的信函。

1 招考

问：您报考联大时，清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考，还是这三校单独招考？

徐利治（以下简称“徐”）：不是联大招考，也不是清华、北大、南开这三校单独招考，而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考，分文科组与理工组。考文科组数学简单一点，考理工组数学多一点。我1940年考大学时，报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中，数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数，比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何，考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿，分第一，第二志愿等。后来我被联大录取。

问：教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么？

徐：联大既设有数学系，又设有师范学院数学系。从理想目标看，联大数学系是为了培养数学专家，师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差，缺乏必需的书籍杂志，而且师生生活艰苦等因素的影响，联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

2 课程

问：联大数学系课程设置的模式是什么？

徐：联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化，也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的，但在一定程度上也参照了英国的模式。

问：联大数学系自1938年成立至1946年结束，共计8个学年度，每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动，但从整体来看，“三高（高等代数、高等微积分及高等几何）”的基础性地位较高。[7]据统计，有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程，分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中，虽“三高”没有开齐，但也开设其中的2门。这是否符合实际情况？

徐：基本符合。联大数学系的课程主要分两种，一种是专业必修课程，另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础，而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲，“三高” 是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后，学习其他的课程困难就不大了。

问：陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝?等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何？

徐：他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课，有些则已经接近国际水平，有的在国内还未正式开设过。例如，陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何（二）等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学（拓扑学），这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外，尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝?先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授。此外，江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

问：联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点？

徐：联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务，在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝?先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务，欧美的一些大学也是这样。一般情况下，这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课，有学生选修即可。

问：联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程？

徐：不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外，还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等，整个学年须修满30多个学分[④]。因此，这一年时间很紧张，也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

问：在抗战前的清华，新生一入校，其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度，清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量，还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上，否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样？

徐：也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以，学数学不行。学生不及格，还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分，绝对不能入数学系。

问：联大时期，国文课是理工科学生的公共必修课程，而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题？

徐：我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下，高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课，当然可以增大学生的词汇量，但最重要的是有利于学生开阔视野，拓宽思路。因而，我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习，不仅取消了理工科学生的国文课，而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野，养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

问：联大时期的国文课主要包括哪些内容？

徐：主要包括文言文与白话文撰写的文章，以及作文等。如，徐志摩的《我所知道的康桥》，胡适于五四时期撰写的反封建文章，清华散文作家林徽因的《窗子以外》，朱自清的《背影》和《荷塘月色》，还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长，他的课讲得很好，常引用高尔基作品中的名句。

问：学生喜欢这门课吗？

徐：喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野，而且还能休息脑子。其实，国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

问：联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足？

徐：据我的回忆，诸如，实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要，当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大，前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

3教材及参考书

问：从目前的研究与文献来看，联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么？

徐：联大数学系在教材和参考书选取上，尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点，即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书，只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材，就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著，除非在特殊情况下，大学教师才可自编教材。

问：联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时，是使用中文，还是使用外文？

徐：一般使用中文和英文两种语言教学，也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士，精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文，而且用词还非常地道，其教学已经达到较高的双语教学标准。例如，刘晋年先生给我们讲复变函数论时，都是在黑板上使用英文表述，而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练，在外语水平上也得到了提高。一般情况下，教授批改作业和出题考试也都用英文，所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

4 数学讨论班

问：到20世纪20年代末与30年代初，数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用，且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况，且不在少数[⑦]。[8]（[2]，190-191页）当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

徐：一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容，超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足，联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由，而且有奋进向上的精神。

问：开设数学讨论班的最显著益处是什么？

徐：讨论班这种形式的教学对于促进教师之间，教师与学生之间的学术交流，培养研究兴趣，锻炼分析探索能力等均是有益的。

问：当时数学讨论班的具体形式是什么？教师与学生的积极性如何？

徐：常常以分工研读一本名著，用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加，随时可以提问讨论。气氛往往很活跃，年青人积极性较高。

问：数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识，或研究工作的前沿，还是教材上的知识？

徐：主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

5 教师、风格及传统

问：联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系，教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的？

徐：这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格，也就是说每位教师既受到联大的聘请，又受到其所在学校的内部聘请，因而当时的教师一般持有两张聘书。例如，华罗庚先生是清华的，他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书；江泽涵先生是北大的，他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后，清华留我任助教。我也拿到两张聘书，一张是联大的，一张是清华的。

问：在联大，北大数学系、清华数学系，以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同？

徐：我在联大学习的时候，北大、清华这两个数学系的教师，都曾教过我的课。例如，我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何；清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面，确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真，基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多，讲课随便一些，备课差一些，但也是很有启发性的。如，华罗庚先生给我们讲近世代数的时候，有几次因为在定理推导过程中出现错误，被挂在黑板上，讲不下去。但他讲课很有风度，非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课，但我听王寿仁先生说，陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题，陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前，经常会和学生闲谈3、5分钟，然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时，在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量，说他曾在德国访问过,看到德国人很讲齐心一致，就象一批方向一致的向量那样，指向同一方向，所以力量就大，做事往往能事半功倍，等等。南开数学系教师教学态度一贯认真，这是公认的“姜老夫子”（姜立夫先生）在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如，刘晋年先生来自南开，他在教学上备课认真，讲课精细的风格，就反映了南开传统的一个方面。

那时教师讲错了没有关系，可以重来。老师在讲课时讲些闲话，学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲，联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生，对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行，讲课时讲些闲话是不允许的，教师会受到批评。

问：北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学，但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期，北大数学系与清华数学系的传统有何不同？

徐：在20世纪50年代之前，国内大学数学系以发扬欧美学术传统，仿效欧美体制为主。在宏观方面讲，在联大数学系，北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言，每个数学系在价值取向上各有所重，各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础，侧重教与学，而清华数学系偏重科学研究，提倡、鼓励教师。在20世纪50年代，苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”，意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少，但不注重发表文章。此外，在提拔年青人上，清华较放手，北大则略为保守。到复校时期，虽然时局不稳，环境艰苦，清华还是比较注重研究，当时正是因为我的研究成果略多，职级晋升就较快，没有三年就升为专任教员（相当于讲师）了。北大数学系的孙树本老先生，虽数学根基厚实，但多少年都没有被提升。从某种程度上讲，北大有些保守，受传统影响较大，相比之下，清华对西方文化吸收得更好一些。

问：陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学，但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因？

徐：我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量，是促成精诚合作的根本原因。又，三校图书资料的共享共用，一些讨论班的合办共建，以及教课任务方面的相互支持，是助长合作的主要因素。此外，抗日战争年代，大家都有共赴困难之心，也是一个潜在因素。

6 学生管理与研究生培养

问：在学生管理上，联大数学系的显著特点是什么？

徐：联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点，其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由，旁听自由，而且转系亦十分自由。例如，钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长，曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后，觉得吴先生讲的内容书本上基本都有，自己在课下看书即可，于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生，很快就发现钟开莱缺席，很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过，就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系，后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值，数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生，后来都成为著名的数学家。实际上，抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如，清华数学系的施祥林、许宝?、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的，柯召、许宝?等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想，实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间，而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如，施祥林考入清华大学时总分第七，数学满分。再如，钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲，他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后，一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感，因而在学习上会更加抓紧。

问：您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作？

徐：联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写一篇论文，但没有论文答辩，也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少，只是个别教授有一、二个研究生。如，孙树本跟江泽涵先生做研究生；钟开莱先跟华罗庚先生做研究生，后来转到许宝?先生门下；彭慧云跟华罗庚先生做研究生；王寿仁跟许宝?先生做研究生；孙本旺跟姜立夫先生做研究生；严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是，联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时，发现了一个问题。后来，他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》 （sulla formula principale cinematica dello spazio ad dimensioni），发表在《意大利数学联合会会刊》（bollettino della unione mathematica italiana）上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识，而且也能提高学生的科研水平。

问：联大数学系研究生的主要研究方向有哪些？

徐：据我所闻，联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论（李群），学生有严志达、王宪钟；解析数论与概率统计，学生有钟开莱、彭慧云；高等统计，学生有王寿仁；形势几何（拓扑），学生有孙树本等。

问：联大数学系怎样为研究生开课？

徐：由于研究生人数太少，基本上不专门开课，是由导师指定文献资料，让研究生独自钻研，有问题时找导师讨论。

问：这些课程处于怎样的程度？是否达到了欧美大学研究生的水平？

徐：据我所知，当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著，大都是处于研究前沿，或接近前沿的题材，所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上，他们后来也都完成了论文写作，并发表了符合导师要求的研究成果。

7 几点体会

问：您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些？

徐：第一，联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到，转系自由，数学系不但欢迎有志学生从外系转进来，而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如，王浩在联大数学系是优秀学生，学了两年数学后，感觉对数理逻辑更感兴趣，立志要成逻辑学家，便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年，果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上，人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的，有了“自我发现”，又有了受尊重和发展的环境与条件，那就会很顺利成才了。第二，联大有自由讲学的风气，鼓励学生们自由听讲，参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三，联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作，直接面向原著。例如，曾远荣教授讲授微积分课后，鼓励学生去看哈代（godfrey harold hardy, 1877-1947）的名著《纯粹数学》(pure mathematics)， 讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔（hermann klaus hugo weyl, 1885-1955）的著作《典型群论》（classical groups）等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

参考文献：

[1] 杨武之.国立西南联合大学数学系概况[j].教学与教材研究.1999，（1）：32-36.

[2] 西南联合大学北京校友会.国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[m].北京：北京大学出版社，1996.183-197.

[3] 清华大学校史组.清华大学校史稿[m].北京：中华书局，1981.340-342.

[4] israel j. lianda: a chinese university in war and revolution [m]. stanford: stanford university press, 1998.

[5] yuan tung-li. bibliography of chinese mathematics [m]. washington: district of columbia. 1963. 46.

[6] 隋允康，王青建.徐利治[a].中国科学技术协会.中国科学技术专家传略·理学编·数学卷1[z].石家庄：河北教育出版社，1996. 422-435.

[7] 北京大学，清华大学，南开大学，云南师范大学. 国立西南联合大学史料[z].卷3.昆明：云南教育出版社，1998.113-415.

[8] 陈省身.联大六年（1937-1943）. 张奠宙，王善平.陈省身文集[z].上海：华东师范大学出版社，2002.8.

[9] 徐晋如.清华第一，北大第二[m]. 北京：台海出版社，2003.

[10] 陈省身.回忆杨武之[a].张奠宙，王善平.陈省身文集[z].上海：华东师范大学出版社，2002.84.

[11] 田方增.向江师致敬并继续学习[a].江泽涵先生纪念文集编委会.数学泰斗 世代宗师[z].北京：北京大学出版社，1998.366-367.

[12] chern shiing-shen, yen chih-ta. sulla formula principale cinematica dello spazio ad dimensioni [j]. bollettino della unione mathematica italiana, 1940, (2): 434-437.

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[①]联大数学系主任也兼任师范学院数学系主任职务。先由江泽涵自1938年至1939年11月担任。然后杨武之自1939年11月至1942年11月担任。继杨武之后又由江泽涵自1942年11月至1943年6月担任。后由赵访熊自1943年6月至1943年11月担任。赵访熊辞职后又由杨武之继任一直至联大结束。联大师范学院数学系教授由姜立夫、江泽涵、杨武之三位兼任，另聘刘薰宇为专任讲师。两年后刘薰宇去职，复聘杨善基为副教授，专任师范学院数学系课务。一年后杨善基又去职。最后两年课务概由讲师姜淑汇、教员蓝仲雄负责。参阅文献[1]。

[②]除了“三高”之外，还包括概率论、近世代数、复变函数论、数论等课程。

[③]联大数学系在8个学年度中为本科生与研究生开设了近30门选修课程。参阅文献[7]。

[④] 联大理学院一年级公共必修课共计36-38学分。参阅文献[2]。

[⑤]数学系课程总则.见 ：清华大学档案，全宗号2，目录号3，校3，案卷号091。

[⑥]在联大数学系，微积分课程用奥斯古德（william fogg osgood, 1864-1943）所著《微积分引论》（introduction to the caculus）与柯朗（richard courant, 1888-1972）的《微积分》（differential and integral calculus）等作为教材。另外以熊庆来编著的《高等算学分析》作为参考教材。熊庆来的这部书主要是以辜尔萨（éouard-jean-baptiste goursat, 1858-1936）所著《数学分析教程》（cours d’ analyse mathématique）为蓝本，是国内学者自己编著的第一部关于此类课程的教材，与萨本栋的《普通物理学》、陈桢的《普通生物学》一起，被公认为是当时国内理科教材中的高水平中文教科书。这部书在抗战之前曾被列入大学丛书之中。高等代数课程的教材使用过波赫耳（maxime bôcher, 1867-1918）所著《高等代数学通论》(introduction to higher algebra)、许来曷（otto. schreier，1901-1929）与施伯纳（emanuel. sperner, 1905-?）合著《解析几何与代数》（einfuhrung in die analytische geometrie und algebra）等。高等几何课程的教材为克莱因（felix christian klein, 1849-1925）所著《高等几何》（hohere geometrie）。参考书一般为格劳斯坦(william caspar graustein )著《高等几何》（higher geometry）。复变函数论课程的参考书除了使用过蒂奇马什（edward charles titchmarsh， 1899-1963）著《函数论》（theory of functions）之外，还使用过奥斯古德所著《单复变函数论》（theory of functions of one complex variable）。近世代数课程选用范德瓦尔登（bartel leendert van der waerden, 1903-1996）著《近世代数》（modern algebra）为教材；微分几何课程选取维布伦(oswald veblen，1880-1960)和怀特海（john henry constantine whitehead，1904-1960）合写的《微分几何基础》（the foundation of differential geometry），以及格劳斯坦著《微分几何学》（differential geometry）等。微分方程式论课程采用柯朗与希尔伯特（david hilbert, 1862-1943）合著的《数学物理方法》（methods of mathematical physics）为参考书。群论课程除了选取迪克森（leonard eugene dickson, 1874-1954）的《现代代数论》（modern algebraic theories）作为教材之外，还采用了查申豪司（hans zassenhaus, 1912-1991）的著作《群论教科书》（lehrbuch der gruppentheorie）。数论课程曾采用迪克森的《初等数论》（elementary theory of numbers）作为教材。圆球几何课程的教材选自布拉施克（wilhelm blaschke, 1885-1962）的《网络几何学》（geometrie der gewebe）。拓扑学课程使用的参考书是霍普夫(alexandroff hopf，生卒年不详)的《拓扑学》( topologie)。参阅文献[2]、[3]、[7]。

[⑦]1939—1940年度华罗庚、蒋硕民、曾远荣、陈省身、王湘浩等主持代数讨论班；1939—1940和1940—1941两个年度陈省身、程毓淮、刘晋年、江泽涵等主持形势几何学讨论班；1940—1941年度蒋硕民、陈省身、许宝?、王湘浩、庄圻泰等主持分析讨论班；1940—1941年度程毓淮、刘晋年等在叙永分校开设群论讨论班；1941—1942年度华罗庚主持解析数论讨论班；1943—1944年度江泽涵主持拓扑群讨论班；1940年陈省身、华罗庚、王竹溪主持李群讨论班。另外，不拘形式、自由结合的小型讨论班则经常举行。

微积分论文范文第10篇

关键词：西南联合大学数学系；教育工作；战时；中国近代数学

Abstract：TheDepartmentofMathematicsofNationalSouth-WestAssociatedUniversityoccupiesanimportantpositioninthehistoryofmodernChinesemathematics.AninterviewwithProfessorHSULizhiwhowascultivatedinthedepartmentprovidessomehistoricalsourcesconcerningthedepartment.ProfessorHSUrecallsenrollment,curriculumsetting,teachingmaterials,mathematicalseminars,teachers，teachingstyles,andtheeducationofgraduatestudentsinthedepartment.Healsotalksabouthispersonalexperienceontheteachingandlearninginthedepartment.Fromtheinterview,onecanknownotonlysomeconcretedetailsoftheeducationactivities,butalsosomecharactersofthedepartment.

Keywords：DepartmentofMathematicsofSouth-WestAssociatedUniversity，teachingandlearning,wartime,modernChinesemathematics

西南联合大学（以下简称“联大”）数学系是抗战时期由北京大学数学系、清华大学数学系，以及南开大学数学系组建的高等数学教育机构。在战时教学、科研，以及生活条件异常艰难的情况下，这个新建的数学系取得了同期其他高等数学教育机构与之难以比拟的成绩，较为出色地完成了战时国立高等数学教育机构的使命，并成为那一时期中国数学发展的一个重要表征。目前，学术界对联大数学系的课程与教学、教师与学生的概况，已经进行了介绍与研究。[1-4]但联大数学系教育工作的细节及特色，尚值得进一步挖掘和探讨。徐利治教授的访谈录，对此提供了一份史料。

徐利治，大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生，祖籍江苏，早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后，避难到西南，后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后，考取联大数学系。入学不久，迫于经济拮据，休学一年。在联大复学后，悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前，在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5]1945年毕业后，经华罗庚举荐，清华数学系主任杨武之首肯，留任华罗庚的助教。1946年联大结束，随清华返回北京（时称北平），遂后不到三年，便由助教提升为教员。1949年新中国成立前，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后，继续在清华任教，旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整，同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学（今吉林大学）组建数学系。此后，长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近，以及高维边界型求积法等方面的研究，且在国内倡导数学方法论的研究，并取得了重要的成就。[6]

访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问，郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日，以及11月4日写给郭金海的信函。

1招考

问：您报考联大时，清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考，还是这三校单独招考？

徐利治（以下简称“徐”）：不是联大招考，也不是清华、北大、南开这三校单独招考，而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考，分文科组与理工组。考文科组数学简单一点，考理工组数学多一点。我1940年考大学时，报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中，数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数，比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何，考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿，分第一，第二志愿等。后来我被联大录取。

问：教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么？

徐：联大既设有数学系，又设有师范学院数学系。从理想目标看，联大数学系是为了培养数学专家，师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差，缺乏必需的书籍杂志，而且师生生活艰苦等因素的影响，联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

2课程

问：联大数学系课程设置的模式是什么？

徐：联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化，也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的，但在一定程度上也参照了英国的模式。

问：联大数学系自1938年成立至1946年结束，共计8个学年度，每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动，但从整体来看，“三高（高等代数、高等微积分及高等几何）”的基础性地位较高。[7]据统计，有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程，分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中，虽“三高”没有开齐，但也开设其中的2门。这是否符合实际情况？

徐：基本符合。联大数学系的课程主要分两种，一种是专业必修课程，另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础，而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲，“三高”是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后，学习其他的课程困难就不大了。

问：陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝騄等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何？

徐：他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课，有些则已经接近国际水平，有的在国内还未正式开设过。例如，陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何（二）等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学（拓扑学），这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外，尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝騄先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授。此外，江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

问：联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点？

徐：联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务，在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝騄先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务，欧美的一些大学也是这样。一般情况下，这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课，有学生选修即可。

问：联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程？

徐：不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外，还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等，整个学年须修满30多个学分[④]。因此，这一年时间很紧张，也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

问：在抗战前的清华，新生一入校，其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度，清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量，还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上，否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样？

徐：也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以，学数学不行。学生不及格，还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分，绝对不能入数学系。

问：联大时期，国文课是理工科学生的公共必修课程，而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题？

徐：我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下，高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课，当然可以增大学生的词汇量，但最重要的是有利于学生开阔视野，拓宽思路。因而，我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习，不仅取消了理工科学生的国文课，而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野，养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

问：联大时期的国文课主要包括哪些内容？

徐：主要包括文言文与白话文撰写的文章，以及作文等。如，徐志摩的《我所知道的康桥》，胡适于五四时期撰写的反封建文章，清华散文作家林徽因的《窗子以外》，朱自清的《背影》和《荷塘月色》，还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长，他的课讲得很好，常引用高尔基作品中的名句。

问：学生喜欢这门课吗？

徐：喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野，而且还能休息脑子。其实，国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

问：联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足？

徐：据我的回忆，诸如，实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要，当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大，前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

3教材及参考书

问：从目前的研究与文献来看，联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么？

徐：联大数学系在教材和参考书选取上，尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点，即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书，只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材，就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著，除非在特殊情况下，大学教师才可自编教材。

问：联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时，是使用中文，还是使用外文？

徐：一般使用中文和英文两种语言教学，也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士，精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文，而且用词还非常地道，其教学已经达到较高的双语教学标准。例如，刘晋年先生给我们讲复变函数论时，都是在黑板上使用英文表述，而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练，在外语水平上也得到了提高。一般情况下，教授批改作业和出题考试也都用英文，所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

4数学讨论班

问：到20世纪20年代末与30年代初，数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用，且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况，且不在少数[⑦]。[8]（[2]，190-191页）当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

徐：一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容，超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足，联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由，而且有奋进向上的精神。

问：开设数学讨论班的最显著益处是什么？

徐：讨论班这种形式的教学对于促进教师之间，教师与学生之间的学术交流，培养研究兴趣，锻炼分析探索能力等均是有益的。

问：当时数学讨论班的具体形式是什么？教师与学生的积极性如何？

徐：常常以分工研读一本名著，用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加，随时可以提问讨论。气氛往往很活跃，年青人积极性较高。

问：数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识，或研究工作的前沿，还是教材上的知识？

徐：主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

5教师、风格及传统

问：联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系，教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的？

徐：这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格，也就是说每位教师既受到联大的聘请，又受到其所在学校的内部聘请，因而当时的教师一般持有两张聘书。例如，华罗庚先生是清华的，他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书；江泽涵先生是北大的，他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后，清华留我任助教。我也拿到两张聘书，一张是联大的，一张是清华的。

问：在联大，北大数学系、清华数学系，以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同？

徐：我在联大学习的时候，北大、清华这两个数学系的教师，都曾教过我的课。例如，我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何；清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面，确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真，基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多，讲课随便一些，备课差一些，但也是很有启发性的。如，华罗庚先生给我们讲近世代数的时候，有几次因为在定理推导过程中出现错误，被挂在黑板上，讲不下去。但他讲课很有风度，非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课，但我听王寿仁先生说，陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题，陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前，经常会和学生闲谈3、5分钟，然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时，在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量，说他曾在德国访问过,看到德国人很讲齐心一致，就象一批方向一致的向量那样，指向同一方向，所以力量就大，做事往往能事半功倍，等等。南开数学系教师教学态度一贯认真，这是公认的“姜老夫子”（姜立夫先生）在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如，刘晋年先生来自南开，他在教学上备课认真，讲课精细的风格，就反映了南开传统的一个方面。那时教师讲错了没有关系，可以重来。老师在讲课时讲些闲话，学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲，联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生，对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行，讲课时讲些闲话是不允许的，教师会受到批评。

问：北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学，但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期，北大数学系与清华数学系的传统有何不同？

徐：在20世纪50年代之前，国内大学数学系以发扬欧美学术传统，仿效欧美体制为主。在宏观方面讲，在联大数学系，北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言，每个数学系在价值取向上各有所重，各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础，侧重教与学，而清华数学系偏重科学研究，提倡、鼓励教师。在20世纪50年代，苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”，意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少，但不注重发表文章。此外，在提拔年青人上，清华较放手，北大则略为保守。到复校时期，虽然时局不稳，环境艰苦，清华还是比较注重研究，当时正是因为我的研究成果略多，职级晋升就较快，没有三年就升为专任教员（相当于讲师）了。北大数学系的孙树本老先生，虽数学根基厚实，但多少年都没有被提升。从某种程度上讲，北大有些保守，受传统影响较大，相比之下，清华对西方文化吸收得更好一些。

问：陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学，但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因？

徐：我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量，是促成精诚合作的根本原因。又，三校图书资料的共享共用，一些讨论班的合办共建，以及教课任务方面的相互支持，是助长合作的主要因素。此外，抗日战争年代，大家都有共赴困难之心，也是一个潜在因素。

6学生管理与研究生培养

问：在学生管理上，联大数学系的显著特点是什么？

徐：联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点，其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由，旁听自由，而且转系亦十分自由。例如，钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长，曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后，觉得吴先生讲的内容书本上基本都有，自己在课下看书即可，于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生，很快就发现钟开莱缺席，很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过，就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系，后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值，数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生，后来都成为著名的数学家。实际上，抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如，清华数学系的施祥林、许宝騄、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的，柯召、许宝騄等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想，实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间，而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如，施祥林考入清华大学时总分第七，数学满分。再如，钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲，他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后，一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感，因而在学习上会更加抓紧。

问：您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作？

徐：联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写一篇论文，但没有论文答辩，也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少，只是个别教授有一、二个研究生。如，孙树本跟江泽涵先生做研究生；钟开莱先跟华罗庚先生做研究生，后来转到许宝騄先生门下；彭慧云跟华罗庚先生做研究生；王寿仁跟许宝騄先生做研究生；孙本旺跟姜立夫先生做研究生；严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是，联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时，发现了一个问题。后来，他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》（SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni），发表在《意大利数学联合会会刊》（BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana）上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识，而且也能提高学生的科研水平。

问：联大数学系研究生的主要研究方向有哪些？

徐：据我所闻，联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论（李群），学生有严志达、王宪钟；解析数论与概率统计，学生有钟开莱、彭慧云；高等统计，学生有王寿仁；形势几何（拓扑），学生有孙树本等。

问：联大数学系怎样为研究生开课？

徐：由于研究生人数太少，基本上不专门开课，是由导师指定文献资料，让研究生独自钻研，有问题时找导师讨论。

问：这些课程处于怎样的程度？是否达到了欧美大学研究生的水平？

徐：据我所知，当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著，大都是处于研究前沿，或接近前沿的题材，所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上，他们后来也都完成了论文写作，并发表了符合导师要求的研究成果。

7几点体会

问：您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些？

徐：第一，联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到，转系自由，数学系不但欢迎有志学生从外系转进来，而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如，王浩在联大数学系是优秀学生，学了两年数学后，感觉对数理逻辑更感兴趣，立志要成逻辑学家，便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年，果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上，人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的，有了“自我发现”，又有了受尊重和发展的环境与条件，那就会很顺利成才了。第二，联大有自由讲学的风气，鼓励学生们自由听讲，参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三，联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作，直接面向原著。例如，曾远荣教授讲授微积分课后，鼓励学生去看哈代（GodfreyHaroldHardy,1877-1947）的名著《纯粹数学》(PureMathematics)，讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔（HermannKlausHugoWeyl,1885-1955）的著作《典型群论》（ClassicalGroups）等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

参考文献：

[1]杨武之.国立西南联合大学数学系概况[J].教学与教材研究.1999，（1）：32-36.

[2]西南联合大学北京校友会.国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[M].北京：北京大学出版社，1996.183-197.

[3]清华大学校史组.清华大学校史稿[M].北京：中华书局，1981.340-342.

[4]IsraelJ.Lianda:AChineseUniversityinWarandRevolution[M].Stanford:StanfordUniversityPress,1998.

[5]YuanTung-li.BibliographyofChineseMathematics[M].Washington:DistrictofColumbia.1963.46.

[6]隋允康，王青建.徐利治[A].中国科学技术协会.中国科学技术专家传略·理学编·数学卷1[Z].石家庄：河北教育出版社，1996.422-435.

[7]北京大学，清华大学，南开大学，云南师范大学.国立西南联合大学史料[Z].卷3.昆明：云南教育出版社，1998.113-415.

[8]陈省身.联大六年（1937-1943）.张奠宙，王善平.陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，2002.8.

[9]徐晋如.清华第一，北大第二[M].北京：台海出版社，2003.

[10]陈省身.回忆杨武之[A].张奠宙，王善平.陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，2002.84.

[11]田方增.向江师致敬并继续学习[A].江泽涵先生纪念文集编委会.数学泰斗世代宗师[Z].北京：北京大学出版社，1998.366-367.

[12]ChernShiing-shen,yenChih-ta.SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni[J].BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana,1940,(2):434-437.

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[①]联大数学系主任也兼任师范学院数学系主任职务。先由江泽涵自1938年至1939年11月担任。然后杨武之自1939年11月至1942年11月担任。继杨武之后又由江泽涵自1942年11月至1943年6月担任。后由赵访熊自1943年6月至1943年11月担任。赵访熊辞职后又由杨武之继任一直至联大结束。联大师范学院数学系教授由姜立夫、江泽涵、杨武之三位兼任，另聘刘薰宇为专任讲师。两年后刘薰宇去职，复聘杨善基为副教授，专任师范学院数学系课务。一年后杨善基又去职。最后两年课务概由讲师姜淑汇、教员蓝仲雄负责。参阅文献[1]。

[②]除了“三高”之外，还包括概率论、近世代数、复变函数论、数论等课程。

[③]联大数学系在8个学年度中为本科生与研究生开设了近30门选修课程。参阅文献[7]。

[④]联大理学院一年级公共必修课共计36-38学分。参阅文献[2]。

[⑤]数学系课程总则.见：清华大学档案，全宗号2，目录号3，校3，案卷号091。

[⑥]在联大数学系，微积分课程用奥斯古德（WilliamFoggOsgood,1864-1943）所著《微积分引论》（IntroductiontotheCaculus）与柯朗（RichardCourant,1888-1972）的《微积分》（DifferentialandIntegralCalculus）等作为教材。另外以熊庆来编著的《高等算学分析》作为参考教材。熊庆来的这部书主要是以辜尔萨（Éouard-Jean-BaptisteGoursat,1858-1936）所著《数学分析教程》（Coursd’AnalyseMathématique）为蓝本，是国内学者自己编著的第一部关于此类课程的教材，与萨本栋的《普通物理学》、陈桢的《普通生物学》一起，被公认为是当时国内理科教材中的高水平中文教科书。这部书在抗战之前曾被列入大学丛书之中。高等代数课程的教材使用过波赫耳（MaximeBôcher,1867-1918）所著《高等代数学通论》(IntroductiontoHigherAlgebra)、许来曷（Otto.Schreier，1901-1929）与施伯纳（Emanuel.Sperner,1905-?）合著《解析几何与代数》（EinfuhrungindieAnalytischeGeometrieundAlgebra）等。高等几何课程的教材为克莱因（FelixChristianKlein,1849-1925）所著《高等几何》（HohereGeometrie）。参考书一般为格劳斯坦(WilliamCasparGraustein)著《高等几何》（HigherGeometry）。复变函数论课程的参考书除了使用过蒂奇马什（EdwardCharlesTitchmarsh，1899-1963）著《函数论》（TheoryofFunctions）之外，还使用过奥斯古德所著《单复变函数论》（TheoryofFunctionsofOneComplexVariable）。近世代数课程选用范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden,1903-1996）著《近世代数》（ModernAlgebra）为教材；微分几何课程选取维布伦(OswaldVeblen，1880-1960)和怀特海（JohnHenryConstantineWhitehead，1904-1960）合写的《微分几何基础》（TheFoundationofDifferentialGeometry），以及格劳斯坦著《微分几何学》（DifferentialGeometry）等。微分方程式论课程采用柯朗与希尔伯特（DavidHilbert,1862-1943）合著的《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）为参考书。群论课程除了选取迪克森（LeonardEugeneDickson,1874-1954）的《现代代数论》（ModernAlgebraicTheories）作为教材之外，还采用了查申豪司（HansZassenhaus,1912-1991）的著作《群论教科书》（LehrbuchderGruppentheorie）。数论课程曾采用迪克森的《初等数论》（ElementaryTheoryofNumbers）作为教材。圆球几何课程的教材选自布拉施克（WilhelmBlaschke,1885-1962）的《网络几何学》（GeometriederGewebe）。拓扑学课程使用的参考书是霍普夫(AlexandroffHopf，生卒年不详)的《拓扑学》(Topologie)。参阅文献[2]、[3]、[7]。

[⑦]1939—1940年度华罗庚、蒋硕民、曾远荣、陈省身、王湘浩等主持代数讨论班；1939—1940和1940—1941两个年度陈省身、程毓淮、刘晋年、江泽涵等主持形势几何学讨论班；1940—1941年度蒋硕民、陈省身、许宝騄、王湘浩、庄圻泰等主持分析讨论班；1940—1941年度程毓淮、刘晋年等在叙永分校开设群论讨论班；1941—1942年度华罗庚主持解析数论讨论班；1943—1944年度江泽涵主持拓扑群讨论班；1940年陈省身、华罗庚、王竹溪主持李群讨论班。另外，不拘形式、自由结合的小型讨论班则经常举行。